17、突破矩形网格的图像表示

突破矩形网格的图像表示

1. 不规则采样数据的离散傅里叶变换（DFT）

在图像处理中，传统的图像数据常以规则的矩形网格形式表示，但不规则采样数据的处理也具有重要意义。首先，回顾连续傅里叶变换的定义：
对于函数 $p(x)$，其连续傅里叶变换为：
$P(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) e^{-j\omega x} dx$
其逆变换为：
$p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} P(\omega) e^{j\omega x} d\omega$
其中，$\omega$ 是频率。

假设函数 $p(x)$ 以规则间隔 $T_S$ 采样 $N$ 次，得到样本 $p_n$，即 $p_n \equiv p(x_n)$，其中 $x_n = nT_S$，$n = 0, \cdots, N - 1$，总信号持续时间 $T \equiv NT_S$。此时，$p_n$ 的傅里叶变换仅在特定规则间隔的频率 $\omega_m$ 上定义，$\omega_m \equiv m\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi m}{NT_S}$，$m = 0, \cdots, N - 1$。则规则采样数据的离散傅里叶变换（DFT）为：
$P(m) = \sum_{n = 0}^{N - 1} p(n) e^{-j\frac{2\pi}{N} mn}$
其逆变换为：
$p(n) = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} P(m) e^{j\frac{2\pi}{N} mn}$

若不知道样本 $x_n$