矩阵分析 复习

线性空间

极大线性无关组

1. 定义
   • 引理：扁的齐次方程组必有零解，即$Ax=0,A\in F^{m\times n},1\le m<n$,则必有非0解。 证明思路：对$m$数学归纳法：$m=1,n\ge 2$时，根据$a_{11}$是否为0分两种情况, 假设$m\le p$时成立，证明$m=p+1$的情形，此时假设$\alpha =0$和$\alpha ̸=0$的情况，$\alpha ̸=0$时，不妨设$a_{11}̸=0$ (具体过程见第一章PDF的第6页)
   • 线性表示与线性无关性 证明思路：反证法证明，假设
     $p>q$,由线性表达的矩阵表示得$A=BT,T\in F^{q\times p}$,由引理可知，必$\exists c\in F^q$非零，使得$Tc=0$。两边右乘$c$，$Ac=BTc\Rightarrow Ac=0$ 有非零解，与线性相关矛盾。
   • 子组可由向量组线性表示，向量组可以由极大线性无关组表示 证明思路：从向量组中任取一元${\alpha }_j$，若在极大线性无关组中，显然成立，否则把它插入到极大线性无关组中，由极大线性无关组的概念可知，一定线性相关，易知${\alpha }_j$可表，证毕。
   • 向量组的秩
     证明思路：使用极大线性无关组可表向量组，和子组可由向量组的概念推到出$s\le t,t\le s\Rightarrow s=t$

基与坐标

1. 基本定义
   【注】特殊地，规定仅含一个元素的线性空间为零维线性空间，其维度规定为0.
2. 基矩阵：由基向量组拼成的矩阵。
   
3. 有限维线性空间和无限维线性空间
   例子：R[x]=实系数多项式
   证明：用反证法，假设是有限维的,为$N$维，d=max{∂(fi(x))},xd+1d=max \{\partial (f_i(x))\} ,x^{d+1}d=max{∂(fi​(x))},xd+1,不可表示，矛盾。
   R[x]n={实系数多项式，最高次为n}R[x]_n=\{实系数多项式，最高次为n\}R[x]n​={实系数多项式，最高次为n}可由$[1x{x}^2\dots x^n]$唯一表示

线性子空间

1. 定义
   
   例子：ker(A) 与 im(A) 是子空间 而S={x:x∈Fn,Ax=b}S=\{x:x\in F^n,Ax=b\}S={x:x∈Fn,Ax=b}不是子空间
   向量组张成的子空间：W=span{β1,β2,…,βr}W=span\{\beta_1 ,\beta_2 ,\dots ,\beta_r\}W=span{β1​,β2​,…,βr​}
   对于给定的$A\in F^{m\times n},imA$就是由A的n个列向量所构成的$F^m$ 的向量组所张成的$F^m$子空间

2. 子空间与全空间的关系
   

3. 扩充全空间基的方法
   

4. 子空间的运算：交、和、直和、补子空间
   直和中元素的唯一分解性

线性映射

1. 定义
   
2. 线性同构
   
   可逆线性映射的逆映射也是线性映射。
3. 线性映射的矩阵表示
   

矩阵的等价和相似

1. 矩阵等价
   
   寻找矩阵的等价最简形
   
   矩阵行阶梯型：
   

2. 矩阵相似
   

3. 方矩阵的不变子空间
   

4. 一维不变子空间
   

5. Schur定理
   证明：数学归纳法

$\lambda$矩阵与矩阵的Jordan标准型

$\lambda$矩阵及其Smith标准型

1. 多项式矩阵
   $F[\lambda ]$表示系数在F中的$\lambda$的多项式全体，多项式环；$F(\lambda )$表示$\lambda$的有理分式的全体

   多项式矩阵的秩：其值为非零多项式的子行列式的子式的最大阶数
   单位模阵：（在多项式矩阵范围内可逆）
   单位模阵的行列式为非零常值多项式。

   多项式矩阵的三种初等行（列）变换。【注：乘除只能乘常数，其他与数值矩阵一样】
   引理：左上角将次

2. Smith标准型
   
   多项式的行列式因子
   k阶行列式因子指$A(\lambda )$所有k阶多项式式的最高公因式
   
   

不变因子
Smith标准型的对角线r多项式因子

三者关系

单位模阵的Smith标准型

3. 特征矩阵
   $\lambda I-A$
   特征矩阵的第二规范型(基于不变因子组)
   初等因子组
   初等因子组和不变因子组相互确定
   第三规范型（基于初等因子组）
   矩阵相似的等价条件