机器学习(三)逻辑回归以及python简单实现

虽然有回归两个字，但是依然是解决的时分类问题，是最经典的二分类算法。
分类算法有很多，例如支持向量机和神经网络。而逻辑回归算法应用的比较广，往往是优先选择的算法。

Sigmod函数

表达式：
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

自变量取值为任意实数，值域[0,1]
在线性回归中的结果预测出一个值，将这个值放到这个sigmod中，得到一个输出结果，而这个结果可以表示为概率值。

假设预测函数： $h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$，
其中 ${\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_{2}x+,...,{\theta }_{n}x={\sum }_{i=1}^n{\theta }_i{x}_i={\theta }^{T}x$

假设这是一个二分类任务：
$$\{\begin{array}{l}P(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)\\ P(y=0|x;\theta )=1-h_{\theta }(x)\end{array}$$
可以将上面的公式进行整合：
$$P(y|x;\theta )=(h_{\theta }(x){)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y}$$
上面的公式对于二分类任务(0,1)，整合后y取0只保留$(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y}$，y取1只保留$(h_{\theta }(x){)}^y$

逻辑回归似然函数

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{m}P(y_i|x_i;\theta )=\prod _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i{)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x_i){)}^{1-y_i})$$
对数似然函数为：
$$l(\theta )=logL(\theta )=\sum _{i=1}^m(y_{i}log{h}_{\theta }(xi)+(1-y)log(1-h_{\theta }(xi)))$$
而似然函数是要求一个最大值，此时应用梯度上升求最大值，但是一般通过引入$J(\theta )=-\frac{1}{m}l(\theta )$转换为梯度下降任务。

其中${\theta }_j$表示第$j$个特征。最终结果为$\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$
其中$x_i^j$表示第$i$个样本第$j$个特征。

更新参数${\theta }_j$

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$$
其中$\alpha$表示步长，${\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$表示方向，$\frac{1}{m}$表示综合考虑每一个样本。

多分类softmax

上面都是基于二分类的逻辑回归，而对于一个多分类问题，往往使用softmax算法，公式如下：
$$h_{\theta }(x^{(i)})=\left[\begin{array}{c}p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta )\\ p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta )\\ ⋮\\ p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta )\end{array}\right]=\frac{1}{{\sum }_{j=1}^k{e}^{{\theta }_j^T{x}^{(i)}}}\left[\begin{array}{c}{e}^{{\theta }_1^T{x}^{(i)}}\\ e^{{\theta }_2^T{x}^{(i)}}\\ ⋮\\ e^{{\theta }_k^T{x}^{(i)}}\end{array}\right]$$

python实现最简单的逻辑回归

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

数据

34.62365962451697,78.0246928153624,0
30.28671076822607,43.89499752400101,0
35.84740876993872,72.90219802708364,0
60.18259938620976,86.30855209546826,1
79.0327360507101,75.3443764369103,1
45.08327747668339,56.3163717815305,0
61.10666453684766,96.51142588489624,1
75.02474556738889,46.55401354116538,1
76.09878670226257,87.42056971926803,1
84.43281996120035,43.53339331072109,1

1.1 引入库

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

查看数据情况：

positive=pdData[pdData['Admitted']==1]
negative=pdData[pdData['Admitted']==0]

fig,ax=plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o',label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x',label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 score')
ax.set_ylabel('Exam 2 score')

输出结果如下：

2要完成的模块

• sigmod：映射到概率的函数
• model：返回预测结果值
• cost：计算参数损失
• gradient：计算每个参数的梯度方向
• descent：进行参数更新
• accuracy：计算精度

2.1目标

建立分类器，求解出三个参数${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2$，其中${\theta }_1$对应第一个考试成绩，${\theta }_2$对应第二个考试成绩，${\theta }_0$对应偏置项。
设置阈值，根据阈值判断录取结果。

2.2 sigmod函数

def sigmod(z):
    return 1/(1+np.exp(-1))

举例展示：

nums = np.arange(-10, 10, step=1)
fig,ax=plt.subplots(figsize=(12, 4))
ax.plot(nums,sigmod(nums),'r')

2.3 model

def model(X, theta):
    return sigmod(np.dot(X, theta.T)) # 进行矩阵乘法

$$({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2)\times \left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\end{array}\right]={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$$
构造初始化数据：

pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 添加列,列名Ones，数据全为1
orig_data = pdData.values # 将DataFrame转为矩阵

cols = orig_data.shape[1] #获取列数量 4
X = orig_data[:,0:cols-1] # 获取第一列、第二列、第三列数据
y = orig_data[:,cols-1:cols] #获取第四列数据
theta = np.zeros([1,3]) # 创建1行3列的零矩阵

查看数据X：

查看标签y：

查看参数$\theta$:

查看shape：

2.4 损失函数

将上面所讲的对数似然函数取负号，因为要转为梯度下降：
$$D(h_{\theta }(x),y)=-ylog(h_{\theta }(x))-(1-y)log(1-h_{\theta }(x))$$
求平均损失：
$$J(\theta )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}D(h_{\theta }(x_i),y_i)$$

def cost(X,y,theta):
    left=np.multiply(-y, np.log(model(X,theta)))
    right=np.multiply(1-y,np.log(1-model(X,theta)))
    return np.sum(left - right)/(len(X))

运行损失函数：

cost(X,y,theta)

结果如下：

0.6931471805599453

2.5 计算梯度

根据上面得出的偏导公式：
$$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^j$$
m表示样本个数，n表示参数$\theta$个数

def gradient(X,y,theta):
    grad = np.zeros(theta.shape) # 当前有三个参数，因此有三个梯度，梯度与theta一一对应
    error = (model(X,theta) - y).ravel() # 将负号提到里面
    for j in range(len(theta.ravel())): # 3个参数，求三次偏导
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0,j] = np.sum(term)/len(X)
    return grad

这样就获取到三个特征的梯度。

3 批量梯度下降GD、随机梯度下降SGD、小批量梯度下降的各自表现

STOP_ITER=0 # 迭代次数，按照迭代次数停止，
STOP_COST=1 # 损失变化，可以看迭代前的目标函数，和迭代后的目标函数，如果这两次迭代生成的目标函数差异非常小，就可以停止
STOP_GRAD=2 # 梯度变化，梯度如果变化很小，那么可以停止

def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER: return value > threshold
    elif type == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold

3.1 数据洗牌

防止数据有一定的规律，让模型的泛化能力能强，对数据进行洗牌，

import numpy.random

#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X,y

3.2 梯度下降

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # data:数据
    # theta: 参数
    # batchSize=1 表示随机梯度下降，batchSize=总样本数 表示梯度下降，batchSize=（1到总体之间）表示小批量梯度下降
    # stopType表示停止策略
    # thresh表示停止策略对应的阈值
    # alpha表示学习率
    
    # 初始化
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值
    
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize # 取batch数量个数据
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data) # 重新洗牌
        theta = theta-alpha*grad #更新参数
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 重新计算新的损失
        i += 1
        
        if stopType == STOP_ITER: value = i
        elif stopType == STOP_COST: value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD: value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

3.3 执行梯度下降函数

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

3.3.1 批量梯度下降GD

3.3.1.1 根据迭代次数进行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.000001)

按照迭代次数进行停止，迭代5000次，学习率是 0.000001
运行结果：

***Original data - learning rate: 1e-06 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.00027127  0.00705232  0.00376711]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.63 - Duration: 0.77s

其中x轴是迭代次数，y轴是损失值，随着迭代次数的增加，目标函数逐渐收敛。
当前的时间消耗0.77s。

3.3.1.2 根据损失函数变化进行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha = 0.001)

设置阈值1E-6，差不多需要迭代110000次。
输出结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: costs change < 1e-06
Theta: [[-5.13364014  0.04771429  0.04072397]] - Iter: 109901 - Last cost: 0.38 - Duration: 17.36s

可以看出时间花了17.36s

3.3.1.3 根据梯度值进行停止

runExpe(orig_data, theta, 100, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha = 0.001)

输出结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: gradient norm < 0.05
Theta: [[-2.37033409  0.02721692  0.01899456]] - Iter: 40045 - Last cost: 0.49 - Duration: 6.67s

根据第一张图，看似迭代5000次就已经到达瓶颈了，其实如果迭代11万次依然可以达到一个很高的准确率，所以不要被一张图蒙蔽了。

3.3.2 随机梯度下降SGD

每次只迭代一个样本

3.3.2.1 根据迭代次数进行停止

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

这里的学习率是0.001，根本不能收敛
输出结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Stochastic descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.38304524  0.02692472  0.07197214]] - Iter: 5000 - Last cost: 1.98 - Duration: 0.27s

而当我们的学习率改为0.000001后，输出结果如下：

3.3.3 小批量梯度下降

每次只迭代一批样本

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

输出结果如下：

***Original data - learning rate: 0.001 - Mini-batch (16) descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[-0.35752768  0.01835205  0.0004876 ]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.61 - Duration: 0.35s

与上面的图像相似，同样可以通过修改学习率进行改善：

除了将学习率调小之外，还有其他方式来改善。
可以通过对数据进行标准化，将数据按其属性（按列进行）减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。实现方式如下：

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha = 0.001)

输出结果如下：

***Scaled data - learning rate: 0.001 - Gradient descent - Stop: 5000 iterations
Theta: [[0.3080807  0.86494967 0.77367651]] - Iter: 5000 - Last cost: 0.38 - Duration: 0.86s

昨晚sklearning之后，变得收敛了。

4. 精度

def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]
    
scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a==1 and b==1) or (a==0 and b==0)) else 0 for (a,b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))