数理逻辑2 -- 量化理论7

《逻辑的引擎》一书里提到希尔伯特的宏伟计划，要构建一个逻辑根基，以至于所有的数学都建立在这个根基之上。哥德尔著名的“不完备定理”让这个计划落空了。但在一开始，哥德尔非常拥护这个计划，还在1930年给出了一个“完备性定理”的证明。它不难（当然是指对那班天才数学家而言不难，对我们来说，呵呵），给出了希尔伯特想要的结果，只用了逻辑学家普遍掌握的技巧。这个完备性定理跟后面著名的“不完备定理”究竟什么关系，要慢慢读下去才知道。

这里讲的完备性定理很好理解，即任何一阶谓词演算（只包含逻辑公理的一阶逻辑理论）中，所有定理都是逻辑有效的，所有逻辑有效的好式子都是定理。前半部分很好证，前面笔记也有所提及。难就难在后半部分，哥德尔在1930年首次给出了证明。后来其它数学家给出不同证明，教材也就采用了后来的证明。

在这里要先介绍一些康托尔集合论的概念，它关系到经常碰到的一个术语“可数的”，英文叫做”countable”，或者”denumerable”。我们经常会看到诸如”countablely many”，”countablely infinite”。这里”可数的”意思是：对于一个无限集$A$，如果它能与自然数集存在一一对应关系，则$A$就是可数的。

康托尔是第一个研究“无限大”的数学家。在他之前，“无限大”被看作是“不可完成的极限”，因此讨论它不仅没有意义，而且也是危险的。一些哲学家，比如莱布尼茨，认为不可完成的极限是上帝的事，不是人类能关心的事情。但康托尔第一次给出了“无限大”的分类，他说无限大和无限大是不一样的，比如自然数集的无限大和实数集的无限大就不是一回事，但自然数集和偶数集的无限大是一回事。

为此，康托尔定义了集合的基数，用希伯来字母表中第一个字母表示（类似$N$，这里的latex打不出来）。然后他接着定义如果两个集合能建立一一对应的关系，则它们的基数相等。有限集合的基数就是元素的个数。对于无限集，康托尔用$N_0$表示自然数集的基数，用$N_1$表示实数集的基数。他巧妙地证明了（著名的“对角线论证法”）证明了$N_0$和$N_1$不相等，也即自然数和实数无法建立一一对应的关系。接下来他给出了一个著名的猜想，被希尔伯特列入了“二十世纪的23个数学问题”中的第一个，即“连续统假设”问题。康托尔猜想，$N_0$和$N_1$之间不存在任何基数，也即自然数之后，“紧接着”下一个无限集合就是实数集。

康托尔是伟大的，他一个人在“无限的深渊”中探索。他的理念遭到一些数学家、哲学家反对，因为讨论“无法完成的极限”是危险的，毫无意义的，而且要证明一个东西是否存在，应该给出构造性证明。而希尔伯特反对这一观念，他给出例子说“一个教堂里显然存在一个头发最少的人，并不需要把每个人的头发数一遍”。 他又说“谁也无法把我们从康托尔创造的乐园中赶出去”，激励了更多数学家沿着康托尔开创的道路探索。更多的八卦，请参考“逻辑的引擎”一书。

让我们回到“完备性定理”的故事，它是说在一阶谓词演算中（即只包含逻辑公理的一阶理论），任一定理都是逻辑有效的。反过来，任一逻辑有效的wf都是定理。前者好证，前面的讨论中已给出证明。关键是后者，它又涉及到各种“存在性”的证明。

我们先尝试用通俗的语言来描述完备性定理的证明。首先看看它难在哪里。在一个一阶理论$K$中，给定一个好式子$B$，已知它是逻辑有效的，即对任一解释它都为真。现在要证明这个wf是$K$中的定理，也即存在一个证明序列，使得$\vdash_K B$。这个问题要想直接证是很难的，很难通过“构造法”证明，即你很难对于任一逻辑有效的$B$，你都能构造出一个证明序列出来。

因此，另一种方法是采取“反证法”。证明思路如下：假设$B$不是定理，那么根据一阶理论的一致性，就可以推导得出$\vdash_K \neg B$。接着，把这个$\neg B$当成公理加进$K$，得到一个“扩展的理论”$K'$。接下来，找一个解释$M$，使得$\models_M \neg B$（$\models_M$表示在$M$中为真）。这样$\models_M B$和$\models_M \neg B$就产生了矛盾。

上述证明思路关键在于扩展的理论$K'$存在这么一个满足$\vdash_M \neg B$的解释$M$。为此，$K'$必须具备一些性质，比如一致性、完备性、还有“替罪羊性”(scapegoat theory)，还有“可数性”。所以，以下这一大堆引理，就是为了证明$K'$具备这些性质。然后再加一个引理，证明具备这些性质的$K'$都能构造出一个我们想要的解释$M$。

完整的证明需要三个关键引理：
引理2.33：如果$K$是一致的，那么存在一个$K$的扩展理论$K'$，它是一致的，也是完备的。
引理2.34：如果$K$是一致的，那么存在一个$K$的扩展理论$K'$，它是一致的，也是“替罪羊式”的（scapegoat theory），同时它包含“可数的”无限多个闭合项。
引理2.35：如果$J$是一致的，完备的，替罪羊式的理论，那么存在一个$J$的模型$M$，它的定义域$D$就是$J$中闭合项的集合。

上述引理2.33-2.35需要一大堆通俗说明来加强理解。首先，引理2.35中说的是，有这么样一个解释$M$，以$J$自己所有闭合项的集合为定义域$D$，能构建出那样映射，使得$J$中的常量符号、变量符号、函数符号、谓词符号又能映射到$D$中去。然后，在这样的一个解释$M$中，所有$J$中的公理都为真，即$M$是$J$的模型。

其次，引理2.33-2.35涉及到一些术语，之后会给出具体定义。这些术语是：闭合项(closed term)，扩展理论(extension)，完备性(complete)，替罪羊(scapegoat)，相似性(similar)，可数的无限多个(denumerably many)。其中“可数的无限多个”，前面已讨论过，就是能和自然数集建立一一对应关系。

最后，为了证明引理2.33-2.35，还需一些引理以作辅助：
引理2.36：如果$B(x_i)$和$B(x_j)$相似，那么$\vdash (\forall x_i)B(x_i) \Leftrightarrow (\forall x_j)B(x_j)$。
引理2.37：如果一个闭合好式子（不含自由变量）$\neg B$在$K$中无法证明，那么把$B$作为新增公理得到$K'$，则$K'$是一致的。
引理2.38：对于一个一阶语言，它的表达式是可数的。同样，它的项、好式子、闭合好式子，也都是可数的。

引理2.37是关键的，而引理2.36和引理2.38看起来则是“细枝末节”的证明。

下一节笔记将依次给出引理的证明，其中会穿插术语的定义。