本文介绍了对称矩阵的特性，包括其特征值为实数且对应的特征向量正交，以及如何通过谱定理进行矩阵分解。接着，讨论了奇异值分解（SVD）的重要性及其在机器学习和图形压缩中的应用，并解释了如何将非对称矩阵转化为对称矩阵来执行SVD。最后，阐述了SVD在求解AX=0方程中的作用。
对称矩阵
- 对称矩阵的特征值是实数（越不对称越可能特征值不是实数），并且正交向量是相互正交的。也就是说正交向量构成的矩阵是正交矩阵。
- 在特征值构造对角矩阵这个文章我们提到了矩阵A可以这样分解成正交向量矩阵与特征值构成的对角矩阵的乘积 A = S Λ S − 1 A=SΛS^{-1} A=SΛS−1。其中S是特征向量构成的矩阵，而对称矩阵的特征向量都是相互正交。因此S是一个正交矩阵所以 S − 1 = S T S^{-1}=S^T S−1=ST，因此 A = S Λ S T A=SΛS^{T} A=SΛST.这个在数学叫做谱定理(spectral theorem)，谱(spectrum)指的是一个矩阵的特征值集合。来自光谱理论，光分解成几色光而矩阵也被分解成几个特征值。在力学上叫做主轴定理。
- A = S Λ S − 1 A=SΛS^{-1} A=
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