MIT18.06(7): 线性变换与JPEG图像压缩和小波基图像压缩,逆矩阵左逆与右逆和伪逆

线性变换

变换就是对一个向量进行平移旋转投影伸缩等操作。并不是所有的变换都是线性变换。
假设x是一个向量，T(x)表示对x进行变换。如果T(x)它满足下面这几个条件那么T(x)就是线性变换。下面这几个条件说了啥呢？它就是说我变换后的结果与变换前的结果它是成线性比的。

• T(x+y)=T(x)+T(y)
• T(cx)=cT(x)
• T(0)=0
  这个T(x)其实和我们平时接触的函数是一样的，只不过它是对向量进行操作。T(x)它就是一种输入与输出的映射$T:R^n\to R^m$。
  比如我们构造一个最简单的线性变换：T(x)=Ax，其中A是一个矩阵（类似我们平常常见的函数t(x)=3x）
  任何向量都可以由坐标系中的基向量们的线性组合所表示，如下图所示。
  

线性变换在图像压缩中的应用

JPEG压缩算法，也就是我们平常经常见到的JPG文件。它的思想是把图像分成很多块。举个例子有一个512x512像素的照片，把它分成8x8的块，每块的大小为64x64像素.然后我们用几个基向量线性组合来表示各个块。于是乎，对于每个小块我们只需要保存线性组合的系数和基向量。这样就实现了图像压缩。在图像压缩中基向量到底取多少决定了压缩的效率，其中有一个比较出名的叫做傅里叶基。傅里叶基就是把傅里叶矩阵的列向量作为基向量。

用傅里叶基表示图像可以用公式来描述：$x=\sum c_i{v}_i$其中$c_i$是线性组合系数, v i v_i