证明完全数都是偶数

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#抽象代数

于 2022-07-09 15:13:45 首次发布

这篇博客通过数学归纳法证明了完全数不可能为奇数，从而得出结论：所有完全数都是偶数。完全数是指其所有真因子之和等于它本身的自然数。文章详细展示了从奇数集合中排除完全数的过程，最终得出不存在奇数完全数的结论。

完全数定义

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如： $1 + 2 + 3 = 6$

证明

若证完全数都是偶数，即证完全数非奇数
假设存在奇数是完全数，设其为 $x$
设 $x$ 的因子集合为 $X$ ， $x$ 的真因子集合为 $X^{'}$ ， $X'=X-\{x\}$ ， $y=∑X′y=\sum X'$ ，奇数集为 $U$ ，则有 $\subset U$

取 $U$ 子集 $U_n$ ，且 $n∈U,n≥3n\in U,n\ge3$ ，其中 $Un={1,3,5,...,n},X⊂UnU_n=\{1,3,5,...,n\},X\sub U_n$
由于 $x = 1$ 时 $X^{'}$ 为空集，故此时 $x$ 不为完全数，所以从 $n≥3n\ge 3$ 的情况来讨论
对于给定的集合 $X$ 有 $x=∏Xx=\prod X$
若 $x > y$ ，假设 $x⋅k≤y+kx\cdot k\le y+k$ ，则 $k≤yx+1<2k\le {y\over x} + 1 \lt 2$
此时 $∀xsub∈X,xsub≥3,xsub⋅x>xsub+y\forall x_{sub} \in X,x_{sub}\ge3,x_{sub} \cdot x >x_{sub}+y$ ，所以对于给定的集合 $X$ 只需要讨论 $x=∏Xx=\prod X$ 的情况

当 $n = 3$ 时，有：
$\{1\},x=1,X'=\emptyset$ ，故此时 $x$ 不为完全数
$\{1,3\},x=3,X'=\{1\},y=1,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
则对 $∀X⊂U3,x\forall X \sub U_3,x$ 不为完全数
当 $n = 5$ 时，有：
$\{1,5\},x=5,X'=\{1\},y=1,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
$\{1,3,5\},x=15,X'=\{1,3,5\},y=9,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
则对 $∀X⊂U5,x\forall X \sub U_5,x$ 不为完全数
假设当 $n = k$ 时，仍有 $∀X⊂Uk,xk>yk\forall X \sub U_k,x_k\gt y_k$ ，即 $x_k$ 不为完全数
则当 $n = k + 2$ 时，有 $Uk+2=Uk∪{k+2}U_{k+2}=U_k\cup \{k+2\}$
$∵xk>yk\because x_k>y_k$ ，且显然 $k+2>2k+2\gt 2$
$∴xk⋅(k+2)>yk+(k+2)\therefore x_k\cdot (k+2)>y_k+(k+2)$
$∴\therefore$ 对 $∀X∈Uk+2\forall X \in U_{k+2}$ 有 $xk+2>yk+2x_{k+2}\gt y_{k+2}$ ，即 $x_{k+2}$ 不为完全数
$∴\therefore$ 根据数学归纳法，对 $∀X∈U\forall X \in U$ 有 $x>yx\gt y$ ，即 $x$ 不为完全数，即不存在奇数是完全数
$∴\therefore$ 完全数都是偶数成立