直积与张量积的数学与物理定义异同

数学定义与物理定义的异同，不是指数学上和物理上的定义之间有区别，而是数学家内部都有争议，物理学家内部也有类似争议。直积的思想背景来自Descartes，因此被称为Descartes积（Cartesian product）。直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）。因此有限个因子的直积就是离散积，因此也就是直和。直和只有在非 Abel范畴情形下才被称为“离散直积”。每个向量空间可以分解为一维子空间的直和。

张量积的定义有很多。

1）含单位元的结合交换环A上的两个幺模的张量积。若V_i，V_j是自由A模，e_i，e_j分别是V_i，V_j的基，那么（e_i ⅹ e_j）就是V_1与V_2的直积的基。如果V_i，V_j都是有限生成自由模，那么dim（V_iⅹV_j）= dimV_i X dimV_j。数域K上有限维向量空间就是有限生成模，所以就适用于这种情形。物理中经常用到的张量积也是这样定义的。我们可以把两个张量积的概念推广到多个甚至无限个的情形。

2）与上面定义相关的还有两个矩阵A与B的张量积，也称为Kronecker积。如果A的矩阵元为a_ij，B的矩阵元为b_mn，那么A与B的张量积的元素就是a_ij与b_mn分别相乘，形成的矩阵的行数就是im，列数就是jn。如果我们把矩阵A看为ij维空间，把矩阵B看成mn维空间，那么矩阵A与B的张量积就是ijmn维空间，与第一种定义是对应的。

3）（拓扑空间上）向量丛的张量积。各个向量丛的转移函数的矩阵张量积（Kronecker积）就是向量丛张量积的转移函数。