动态规划 dp 题目与讲解

user_4

墨衍会员 · AI 创作全网分发码龄112天

关注

原创最新推荐文章于 2026-08-27 14:28:54 发布 267 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

蓝桥动态规划（dp）题目讲解 动态规划（dp）一直都是蓝桥杯等算法比赛常常要考的知识点，借助这个机会，我把我的一些看法（比较初级）分享给大家。dp的题比较重要的就是定义，初始化和状态转移方程。我们直接上例子。阅读详情

本文为在学动规的朋友们列一个题目。大家可以自己写一写，本人自己写起来觉得挺有帮助的。

[信息与未来 2026] 旅行计划

题目描述

Dr. X 想从城市 $0$ 出发前往城市 $n$ 。对于所有满足 $\le i \le n - 1$ 的整数 $i$ ，城市 $i$ 与城市 $i + 1$ 之间都有高铁和飞机两种出行方式：

坐高铁从城市 $i$ 到城市 $i + 1$ 花费的时间为 $g_i$ ；
坐飞机从城市 $i$ 到城市 $i + 1$ 花费的时间为 $f_i$ 。

然而，Dr. X 很害怕坐飞机，因此他希望整个行程中乘坐飞机的次数不得超过 $k$ 次。

为了减少坐飞机的次数，Dr. X 可以选择从城市 $i$ 直接飞到城市 $i + j$ ( $\ge 1$ )，总飞行时间等于途经各段航线的飞行时间之和 $fi+fi+1+⋯+fi+j−1,\begin{aligned} f_i + f_{i+1} + \cdots + f_{i+j-1}, \end{aligned}$ 但这样一次连续飞行 只算乘坐一次飞机。请计算 Dr. X 从城市 $0$ 出发到达城市 $n$ 所需的最少时间。

输入格式

输入第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$ ，分别表示路线的数量和最多允许的坐飞机次数。

第二行包含 $n$ 个空格分隔的整数 $g0,g1,…,gn−1g_0, g_1, \ldots, g_{n-1}$ ，其中 $g_i$ 表示从城市 $i$ 坐高铁到城市 $i + 1$ 所花费的时间。

第三行包含 $n$ 个空格分隔的整数 $f0,f1,…,fn−1f_0, f_1, \ldots, f_{n-1}$ ，其中 $f_i$ 表示从城市 $i$ 坐飞机到城市 $i + 1$ 所花费的时间。

输出格式

输出一个整数，表示 Dr. X 从城市 $0$ 到达城市 $n$ 所需的最少时间。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 1
4 6 8
1 11 4

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

3 2
4 6 8
1 11 4

输出 #2

输入输出样例 #3

输入 #3

3 1
4 6 8
1 7 4

输出 #3

说明/提示

样例 1 解释

最快的方式是从城市 $0$ 坐高铁到城市 $1$ ，再从城市 $1$ 坐高铁到城市 $2$ ，最后从城市 $2$ 坐飞机到城市 $3$ ，总耗时为 $4 + 6 + 4 = 14$ 。总共坐飞机 $1$ 次，满足限制。

样例 2 解释

最快的方式是从城市 $0$ 坐飞机到城市 $1$ ，从城市 $1$ 坐高铁到城市 $2$ ，从城市 $2$ 坐飞机到城市 $3$ ，总耗时为 $1 + 6 + 4 = 11$ 。总共坐飞机 $2$ 次。

样例 3 解释

尽管 $g_1 < f_1$ ，但在只能坐飞机 $1$ 次的情况下，最优方案是从城市 $0$ 直接飞到城市 $3$ ，总耗时为 $1 + 7 + 4 = 12$ 。

数据规模

对于 $10%10\%$ 的数据， $k = 1$ ， $\le 200$ 。
对于 $30%30\%$ 的数据， $k = 1$ ， $\le 100,000$ 。
对于另外 $40%40\%$ 的数据， $\le 100$ ， $\le 1,000$ 。
对于 $100%100\%$ 的数据， $\le 1,000$ ， $\le 100,000$ ， $\le n$ ，且 $\le g_i, f_i \le 100,000$ 。

大家可以自己写一写
下面给大家几个样例大家可以自己测试一下

输入：20 0
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999
输出：120

输入：20 20
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
输出：210

输入：20 1
500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500
2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1
输出：86

输入：20 5
20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100
100 1 100 2 100 3 100 4 100 5 100 6 100 7 100 8 100 9 100 10
输出：35

输入：20 3
100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000 100000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
输出：20

输入：20 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
输出：20

输入：20 15
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1
输出：72

这道题用 $dp[t][i]\mathit{dp}[t][i]$ 表示乘坐 $t$ 次飞机到第 $i$ 座城市所花费的最短时间。~~（重点）~~

$dp[t][i]\mathit{dp}[t][i]$ 可以分两种情况讨论：

1、从第 $i - 1$ 座城市到第 $i$ 座是坐高铁的，那么此时到第 $i - 1$ 座城市的坐飞机次数和到第 $i$ 座城市时相等，即
$dp[i][t]=dp[i−1][t]+g[i−1]\mathit{dp}[i][t] = \mathit{dp}[i-1][t] + g[i-1]$

2、Dr.X也有可能是从第 $j$ 座城市连续坐飞机来第 $i$ 座城市的，这次连续的飞机算一次坐飞机机会并且耗时为各航线飞行时间之和。我们为了知道第 $j$ 座城市到第 $i$ 座城市的时间之和，可以用前缀和。设 $s [i] =$ 第0座城市到第 $i$ 座连续坐飞机所需要的时间之和。那么第 $j$ 座城市到第 $i$ 座城市的时间之和就是 $(s [i] - s [j])$ ，所以

$dp[i][t]=min⁡0≤j<i{dp[j][t−1]+s[i]−s[j]}\mathit{dp}[i][t] = \min_{0\le j < i}\big\{ \mathit{dp}[j][t-1] + s[i] - s[j] \big\}$

提取 $s [i]$ 得：
$dp[i][t]=(min⁡0≤j<i(dp[j][t−1]−s[j]))+s[i]\mathit{dp}[i][t] = \bigg(\min_{0\le j < i} \big(\mathit{dp}[j][t-1] - s[j]\big)\bigg) + s[i]$

献代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k;
long long g[100005],f[100005],s[100005];
long long dp[100005][1005]; 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i];
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>f[i];

    // 预处理飞行前缀和 s
    s[0] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i] = s[i-1] + f[i-1];
    }

    // 初始化，边界：t=0，0次飞机，全程高铁
    dp[0][0] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + g[i-1];
    }

    // 枚举飞机使用次数 t
    for(int t=1;t<=k;t++){
        long long min_val = dp[0][t-1] - s[0];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            // 转移1：上一个城市坐高铁过来
            dp[i][t] = dp[i-1][t] + g[i-1];
            // 转移2：从前面某个j坐飞机直达i
            dp[i][t] = min(dp[i][t], min_val + s[i]);
            // 更新最小值，当前i作为后续的j
            long long now = dp[i][t-1] - s[i];
            if(now < min_val) min_val = now;
        }
    }

    // 答案：0~k次飞机取最小
    long long ans = 1e18;
    for(int t=0;t<=k;t++){
        ans = min(ans, dp[n][t]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}