27、图像量化与抖动技术详解

图像量化与抖动技术详解

1. 最优量化方法

1.1 一维最优量化

在一维情况下，存在特定的方程来确定最优量化值和区间端点。第一个方程表明，量化值是区间 $[c_{k - 1}, c_{k}]$ 内概率分布 $p(c)$ 的质心；第二个方程指出，量化区间的端点是相邻量化值的平均值。当概率分布为均匀分布，即 $p(c) = 1 / (c_N - c_0)$ 时，最优解对应于前面提到的一维均匀量化。不过，方程的解先验上只是误差函数 $D$ 的一个临界点，不一定是最小值。对于某些概率分布，如均匀分布或正态（高斯）分布，该解确实能使 $D$ 最小。均匀分布时对应均匀量化，而正态分布的解更复杂，需数值计算。

1.2 多维最优量化 - 松弛法

在维度大于 1 时，计算更为复杂，因为涉及对量化单元边界的积分。一种更合适的量化方法是松弛过程，通过逐次逼近获得解。
设颜色向量 $c$ 需映射到向量 $c’$，有 $N$ 个量化级别 $c’ 1, \cdots, c’_N$。使用平方欧几里得度量 $d(c_1, c_2) = \langle c_1 - c_2, c_1 - c_2 \rangle$，均方误差为：
$D = \int {-\infty}^{+\infty} d(c, c’) p(c) dc = \sum_{i = 1}^{N} \int_{c \in C_i} d(c, c’_i) p(c) dc$
其中 $p$ 是概率分布，$C_i$ 是对应于级别 $c’_i$ 的量化单元。要获得最优量化，需满足两个条件：
- 条件 (a) ：量化映射 $q$ 需将每种颜色