3、信号的数学模型与线性表示

信号的数学模型与线性表示

1. 信号的采样与重建

信号的采样是指获取信号在某些特定点上的值，例如获取信号 $f$ 的样本 $f(p_1), f(p_2), \cdots, f(p_k)$。图 2.4 展示了使用线性插值这种特定重建方法对信号进行采样和重建的过程。

如果插值方法能够恢复原始信号，即 $f_r = f$，我们称这种重建是理想的或精确的。在后续的内容中，我们不仅会拓展和详细阐述图像的采样与重建概念，还会简要探讨图像编码和解码的问题。

不同的功能模型源于对表示信号的函数的定义域和值域变量的不同解释。这些变量的物理解释虽然在数学上无关紧要，但却赋予了表示形式实际意义，在可以使用不同功能模型的应用中非常重要。接下来，我们将研究两种功能模型：空间模型和频谱模型。

2. 空间模型

在空间模型中，代表信号的函数 $f: U \subset R^m \to V$ 的定义域 $U$ 表示物理空间中的一个区域或一段时间间隔（当 $m = 1$ 时）。因此，$U$ 被称为空间域或时间域，当 $m = 1$ 时，这两个术语通常可以互换使用。该函数表示一个物理量，即 $V$ 中的一个向量，它随位置或时间而变化。定义域的维度称为信号的维度，例如当 $m = 1$ 时，我们得到一维信号，以此类推。

以下是不同类型信号在空间模型中的示例：
|信号类型|维度|定义域 $U$|函数含义|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|音频信号|一维|时间间隔|表示声音随时间的变化|
|摄影图像|二维|欧几里得平面 $R^2$ 的子集|将平面上的每个点 $p$ 与表示该点颜色信息的向量