Pontryagin对偶与代数量子超群：有界型量子超群

Pontryagin对偶与代数量子超群：有界型量子超群

1.背景介绍

量子群和量子超群理论是近年来数学物理领域研究的一个重要热点。它们不仅在数学上具有丰富的代数和几何结构,而且在物理学中也有许多应用,例如量子反常统计力学、量子计算、量子场论和量子重力理论等。量子群和量子超群的研究为我们认识微观世界的本质提供了新的视角和工具。

有界型量子超群是量子超群理论中的一个重要分支,它是由Pontryagin对偶的观点出发构造的。Pontryagin对偶最初源于傅里叶分析,后来被推广到更一般的局部紧群和代数群的研究中。在量子群和量子超群的语境下,Pontryagin对偶为我们提供了一种将经典李群或李代数与量子群或量子超群联系起来的有力工具。

1.1 Pontryagin对偶的概念

对于任意一个局部紧拓扑群$G$,我们可以构造它的Pontryagin对偶群$\widehat{G}$,其元素是$G$上的连续同伦映射。$\widehat{G}$本身也是一个局部紧拓扑群,并且存在一个自然的同态$\kappa:G\rightarrow\widehat{\widehat{G}}$,将$G$嵌入到它的双对偶群中。当$\kappa$是一个同构时,我们称$G$是Pontryagin可对偶的。

1.2 有界型量子超群的构造

有界型量子超群的构造思路是:首先取一个半简单复李代数$\mathfrak{g}$,将其实例化为一个经典李群$G$。由于$G$是Pontryagin可对偶的