李群与李代数基础：第4节 泛包络代数

李群与李代数基础：第4节 泛包络代数

1.背景介绍

在研究李群和李代数时,我们经常会遇到一个问题:如何从一个李代数构造出对应的李群?这个问题的答案就是泛包络代数(Universal Enveloping Algebra)。泛包络代数为我们提供了一种从李代数到李群的桥梁,是李群和李代数理论中一个非常重要的概念。

2.核心概念与联系

2.1 李代数回顾

首先让我们回顾一下李代数的定义。一个李代数是一个向量空间$\mathfrak{g}$,再加上一个双线性运算$[-,-]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$,满足以下条件:

$$ \begin{align} [X,Y]&=-[Y,X] &\text{(反交换律)}\ [X,[Y,Z]]&=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]] &\text{(雅可比恒等式)} \end{align} $$

其中$X,Y,Z\in\mathfrak{g}$。我们通常将这个双线性运算称为李括号(Lie Bracket)。

2.2 从李代数到李群

现在我们想从一个给定的李代数$\mathfrak{g}$构造出一个李群$G$,使得$\mathfrak{g}$是$G$的李代数。这个过程可以通过泛包络代数来完成。

2.3 泛包络代数的定义

对于一