动态规划：精确求解的理想与现实

1. 背景介绍

动态规划 (Dynamic Programming, DP) 作为一种重要的算法设计思想，在计算机科学领域有着广泛的应用。它通过将复杂问题分解为一系列重叠子问题，并存储子问题的解，从而避免重复计算，最终高效地解决原问题。动态规划在算法竞赛、软件开发、运筹优化等领域发挥着举足轻重的作用。

1.1 动态规划的起源与发展

动态规划的概念最早由 Richard Bellman 在 20 世纪 50 年代提出，用于解决多阶段决策过程中的优化问题。Bellman 提出了“最优性原理”，即一个最优策略的任何子策略也必须是最优的。基于此原理，动态规划通过递归的方式将问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算。

随着计算机科学的发展，动态规划算法逐渐应用于各种领域，并发展出多种不同的形式和技巧，例如：

• 状态转移方程: 描述子问题之间的关系，是动态规划的核心。
• 备忘录法: 通过存储子问题的解来避免重复计算。
• 递推法: 从初始状态开始，逐步计算后续状态的解。
• 回溯法: 从最终状态开始，逐步回溯到初始状态，并记录路径上的决策。