计算：第一部分 计算的诞生 第 1 章 毕达哥拉斯的困惑 数的计算

1.背景介绍

在古希腊时期，毕达哥拉斯和他的学派对数的研究达到了前所未有的深度。他们发现了一种神奇的关系，即在一个直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。这个定理被称为毕达哥拉斯定理，是几何学的基石之一。然而，毕达哥拉斯和他的学派在研究这个定理的过程中，遇到了一个困惑：存在一些无法用有理数表示的长度，例如直角三角形的斜边和边长。这个问题引发了对数的深入研究，也是计算的起源之一。

2.核心概念与联系

在解决毕达哥拉斯的困惑时，我们需要理解两个核心概念：有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，而无理数则不能。例如，$\sqrt{2}$就是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比。这个发现对于毕达哥拉斯学派来说是一个巨大的冲击，因为他们坚信所有的数都可以用整数的比来表示。

3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解

在解决毕达哥拉斯的困惑时，我们需要使用到一种叫做连分数的算法。连分数是一种表示实数的方法，它可以将任何实数表示为一系列的整数。例如，$\sqrt{2}$的连分数表示为$[1;2,2,2,\ldots]$。这个表示方法可以帮助我们更好地理解无理数。

连分数的计算可以通过以下步骤进行：

1. 将实数的整数部分和小数部分分开，整数部分作为连分数的第一个元素。
2. 将小数部分的倒数取整，得到的整数作为连分数的下一个元素。
3. 重复第二步，直到小数部分为0或达到所需的精度。

例如，计算$\sqrt{2}$的连分数表示：