Modern Optimization Algorithms in Statistics, Econometr

作者：禅与计算机程序设计艺术

1.简介

在统计学、经济学、金融领域，由于复杂性、非线性、不确定性等原因，如何求解优化问题是至关重要的问题。本文将介绍一些经典的最优化算法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、BFGS方法、L-BFGS方法、Powell方法、Conjugate Gradient方法、Limited Memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (L-MGBFS)方法、Sequential Least Squares Programming (SLSQP)方法、Simulated Annealing方法、Stochastic Gradient Descent with Momentum (SGD-M)方法、Adagrad方法、Adadelta方法、RMSprop方法、Adam方法。并会结合实际应用案例介绍它们的特点和适用场景。

2. 算法背景介绍

梯度下降法(Gradient Descent)

梯度下降法（Gradient descent）是一种基于导数的迭代优化算法。其基本思想是在函数的山峰上寻找下坡路线，使得函数值降低，即下降最快。通过计算目标函数的梯度（斜率），可以得到该方向上的下降速度。

具体而言，给定初始点$x_0$,初始步长$\eta$,目标函数$f(\mathbf{x})$,求解其局部最小值的算法如下:

1. $k=0$
2. $x_{k+1} = x_k - \eta\nabla f(\mathbf{x}_k)$
3. while满足停止条件，执行以下