RSA算法推导及python实现

RSA算法推导及python实现

RSA算法原理

众所周知，所谓加密解密的好处就是我用很简单的路子就能解密，而不知道密码的人可能需要耗费极大的代价才能破解，而这样的代价在物理世界中几乎是不可能实现的。

RSA算法基于大数素因子分解的困难性，比如一个数n=187，并不容易知道它是11*17的结果，但我们直接一个乘法就能算出11 * 17 =187。

具体加解密的过程不再细说，网上很多。下面进行这种方式合理性的推导。

推导

已知加密时$c=m^e(moden)$解密时$m=c^d(moden)$,$c^d=(m^e{)}^d=m^{ed}=m^{k(p-1)(q-1)+1}=m\ast m^{k(p-1)(q-1)}=m\ast (m^{(p-1)(q-1)}{)}^k$

所以$c^{d}modn=m\ast (m^{(p-1)(q-1)}{)}^{k}modn$

因为$a\ast bmodn=((amodn)\ast (bmodn))modn$

下面证明$m^{(p-1)(q-1)}modn=1$，如果成立，那么$c^{d}modn=mmodn$,证明了解密公式的正确性。

欧拉扩展Fermat小定理

$ifgcd(a,n)=1,then{a}^{\varphi (n)}modn=1$

证明：

设{b1,...bϕ(n)}\{b_1,...b_{\phi(n)}\}{b1​,...bϕ(n)​}是n的简化剩余系，

/*简化剩余系可以理解为在[0,n-1]中与n只有公因子1的元素组成的集合 */

则{a∗b1,...a∗bϕ(n)}\{a*b_1,...a*b_{\phi(n)}\}{a∗b1​,...a∗bϕ(n)​}也是n的简化剩余系

/* 因为如果$a\ast b_{i}modn=a\ast b_{j}modn$,那么又gcd(a,n)=1，所以b可约,那么$b_{i}modn=b_{j}modn$，显然一个简化剩余系中两元素应该不同余，矛盾，得证 {a∗b1,...a∗bϕ(n)}\{a*b_1,...a*b_{\phi(n)}\}{a∗b1​,...a∗bϕ(n)​}中每个元素不同余，而且gcd(a,n)=1，所以每个元素又与n无大于1的公因子，所以是简化剩余系*/

所以$b_1\ast b_2\ast ...\ast b_{\varphi (n)}modn=a^{\varphi (n)}\ast b_1\ast b_2\ast ...\ast b_{\varphi (n)}modn$ …式1

又$b_1,b_2,...,b_{\varphi (n)}$都与n无大于1的公因子，所以$b_1\ast b_2\ast ...\ast b_{\varphi (n)}$与n的最大公因子是1.

所以式1的两边可同时约去$b_1\ast b_2\ast ...\ast b_{\varphi (n)}$，

/* 上边这个同余式两边约去c(c需要满足与模数m只有公因子1)仍成立的定理自己推吧 */

所以$a^{\varphi (n)}modn==1$

那么在如何用到RSA中？RSA中的n=pq，欲证明$m^{(p-1)(q-1)}modn=1$，只需

$\varphi (n)=(p-1)(q-1)$,下面讨论欧拉函数$\varphi (n)$

欧拉函数

$\varphi (n)$是n的简化剩余系中元素个数，若$n=p^r,then\varphi (n)=(p-1)p^{r-1}$,

因为若一个小于p的数含因子p，那这个数可表示为p*a，其中$1\le a\le p^{r-1}$,所以这样的数有$p^{r-1}$个。

若$gcd(m_1,m_2)=1$,$then\varphi (m_1\ast m_2)=\varphi (m_1)\ast \varphi (m_2)$

证明：

设x属于m1的简化剩余系，gcd(m1,x)=1,

y属于m1的简化剩余系，gcd(m2,y)=1

则$gcd(m_2\ast x+m_1\ast y,m_1\ast m_2)=1$, …式2

若式2不成立，则假设存在c>1,使$gcd(m_2\ast x+m_1\ast y,m_1\ast m_2)=c$,

则$m_1\ast m_2$含有因子c,因为$gcd(m_1,m_2)=1$，即m1与m2不含公因子。那就只有一个数含因子c，不妨设m1含因子c，$m_1=k_1\ast c$,

又$m_2\ast x+m_1\ast y=k_2\ast c$,所以带入m1，$m_2\ast x+k_1\ast c\ast y=k_2\ast c$,

$m_2\ast x=c(k_2-k_{1}y)$,因为m2不含因子c，又$m_2\ast x$有因子c，那只能是x含因子c，又m1含因子c，那么$gcd(m_1,x)=c$,与前述gcd(m1,x)=1矛盾。

因此式2成立。

这样$m_1\ast m_2$的简化剩余系可有$m_2\ast x+m_1\ast y$来构造，x有$\varphi (m_1)$个，y有$\varphi (m_2)$个，因此$m_1\ast m_2$的简化剩余系中元素个数有$\varphi (m_1)\ast \varphi (m_2)$个。

得证。

综上

$m^{(p-1)(q-1)}modn=1$

n=187
e=3
d=107



def encry(mess):
    cry=''
    for item in mess:
        m=ord(item)
        c=pow(m,e)%n
        cry=cry+chr(c)
    return cry


def decry(cry):
    mes=''
    for item in cry:
        c=ord(item)
        m=pow(c,d)%n
        mes=mes+chr(m)
    return mes

if __name__=='__main__':
    mess = 'meet at NEU tomorow'
    cry=encry(mess)
    print(cry)
    mes=decry(cry)
    print(mes)