排序和顺序统计学——中位数和顺序统计学

一个由n个元素组成的集合的第i个顺序统计就是该集合的第i小元素。
中位数：在i = ⌊(n + 1)/2⌋和⌈(n + 1)/2⌉处。(i = 1, 2, ... , n)
选择问题：
输入：一个含n个（不同的）数的集合A和一个数i，1 ≤ i≤ n。
输出：恰大于A中其他i-1个元素的x，(x ∈ A)。

一、求最大最小元

/**//*
 *Copyright(c) 2008 All rights reserved.
 *
 *MaxMin
 *Author:Greentea
 *Date:01.21
 */
#include <stdio.h>

struct data
...{
    int min, max;
};

typedef struct data data;

data MaxMin(int *a, int size)
...{
    data temp, l, r;
    int disize;

    if(size == 1)
    ...{
        temp.min = temp.max = a[0];
        return temp;
    }
    else if(size == 2)
    ...{
        if(a[0] < a[1])
        ...{
            temp.min = a[0];
            temp.max = a[1];
        }
        else
        ...{
            temp.min = a[1];
            temp.max = a[0];
        }
        return temp;
    }
    else
    ...{
        disize = size / 2;
        l = MaxMin(a, disize);
        r = MaxMin(a+disize, size-disize);
        if(l.max > r.max)
            temp.max = l.max;
        else
            temp.max = r.max;

        if(l.min < r.min)
            temp.min = l.min;
        else
            temp.min = r.min;

        return temp;
    }
}

int main(int argc, char **argv)
...{   
    int a[100];
    int size, i;
    data m;

    i = 0;
    scanf("%d", &size);
    while(i < size)
        scanf("%d", &a[i++]);
    m = MaxMin(a, size);
    printf("Min = %d, Max = %d ", m.min, m.max);

    return 0;
}

二、以线形期望时间做选择

/**//*
 *Copyright(c) 2008 All rights reserved.
 *
 *Quick Sort
 *Author:Greentea
 *Date:01.21
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int RandomizedPartition(int *a, int p, int r);
int Random(int low, int high);
void Exchange(int *a, int *b);
int Partition(int *a, int p, int r);
int RandomizedSelect(int *a, int p, int r, int i);

/**//*
 *产生介于low - high之间的随机数包括low和high
 *Return: random_num
 */
int Random(int low, int high)
...{
    int random_num;

    srand((unsigned)time(NULL));
    random_num = (rand() % (high - low + 1)) + low;

    return random_num;
}

void Exchange(int *a, int *b)
...{
    int temp;
    temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int Partition(int *a, int p, int r)
...{
    int i, j, x;

    i = p - 1;
    x = a[r];
    for(j = p; j < r; j++)
    ...{
        if(a[j] <= x)
        ...{
            i++;
            Exchange(&a[i], &a[j]);
        }
    }
    Exchange(&a[i+1], &a[r]);

    return i+1;
}

int RandomizedPartition(int *a, int p, int r)
...{
    int i;

    i = Random(p, r);
    Exchange(&a[i], &a[r]);

    return Partition(a, p, r);
}

int RandomizedSelect(int *a, int p, int r, int i)
...{
    int q, k;

    if(p == r)
        return a[p];
    q = RandomizedPartition(a, p, r);
    k = q - p + 1;
    if(i == k)
        return a[q];
    else if(i < k)
        return RandomizedSelect(a, p, q-1, i);
    else
        return RandomizedSelect(a, q+1, r, i-k);
}

int main(int argc, char **argv)
...{
    int i, temp;
    int A[10] = ...{5, 4, 9, 0, 23, 3, 6, 1, 2, 10};
    
    scanf("%d", &i);
    temp = RandomizedSelect(A, 0, 9, i);
    printf("第%d小元素是%d ", i, temp);

    return 0;
}

三、最坏情况线性时间的选择
Select通过执行下列步骤来确定长度为n输入数组中的第i小的元素：
1.将输入数组的n个元素划分成⌊n/5⌋组，每组5个元素，且至多只有一个组包含余下的n mod 5个元素。
2.通过插入排序来找出每组的中位数，并取其中间元素。
3.对第2步中找出的⌈n/5⌉个中位数，递归调用Select以找出其中位数x。
4.用修改的Partition版本，按x来对输入数组进行划分。
5.若i = k，则返回x。否则，若i < k，则在低区递归调用Select以找出第i小的元素；若i > k，则在高区找第(i - k)个最小元素。