<think>我们正在讨论B+树的插入、构建和删除操作。根据用户提供的引用材料，我们可以总结如下：
1. 引用[1]提到B+树是为磁盘设计的一种平衡查找树，所有记录节点按键值顺序存放在同一层的叶节点中，叶节点通过指针连接。插入删除操作需要调整以维持平衡。
2. 引用[2]指出B+树的插入和删除流程与B树类似，但B+树的关键码个数和子节点个数对等，方便记忆使用。
3. 引用[3]说明B+树使用填充因子（最小50%）控制删除变化，删除操作要保证叶节点记录排序，并考虑三种情况。
4. 引用[4]详细描述了B树的插入操作：在叶子节点插入，若节点超过容量则分裂，并将中间值插入父节点，递归向上。
但注意，用户要求的是B+树，因此我们需要根据B+树的特性进行调整。
下面我们详细解释B+树的插入、构建（即创建）和删除操作。
一、B+树的基本概念
B+树是B树的变种，主要特点：
- 所有关键字都出现在叶子节点的链表中（有序），且链表中的关键字恰好是有序的。
- 非叶子节点相当于叶子节点的索引（稀疏索引），非叶子节点中的每个关键字只存储子树中最大（或最小）关键字。
- 节点结构：一个节点通常包含多个关键字和多个子节点指针。对于m阶B+树：
- 根节点至少有2个子节点（除非树为空），最多有m个子节点。
- 非根内部节点至少有ceil(m/2)个子节点，最多有m个子节点。
- 叶子节点：每个叶子节点至少包含ceil(m/2)个关键字，最多m个关键字。
- 叶子节点之间通过指针相连，形成双向链表（或单向链表，根据实现）。
二、构建（创建）B+树
构建B+树的过程就是不断插入关键字直到满足B+树结构的过程。因此，构建可以看作是一系列插入操作。
三、插入操作
步骤：
1. 查找：从根节点开始，根据关键字大小找到合适的叶子节点。
2. 插入：将新关键字插入到该叶子节点中（按顺序插入）。
3. 判断：如果叶子节点关键字个数不超过m-1（因为一个节点最多m个关键字），则结束。
如果超过（即等于m），则进行分裂：
a. 将该节点分裂成两个节点：左节点包含前ceil(m/2)个关键字，右节点包含剩余的关键字。
b. 将右节点的第一个关键字（即最小关键字）复制（注意：B+树中，非叶子节点的关键字是子节点的最小关键字的副本）到父节点中，并设置父节点中相应的指针（左节点和右节点）。
c. 如果父节点也因此超过m-1，则递归向上分裂，直到根节点。如果根节点分裂，则树的高度增加1。
注意：在B+树中，分裂时非叶子节点分裂后，中间关键字会上升到父节点，但是在叶子节点分裂时，分裂后右节点的第一个关键字也会被复制到父节点中（而不是移动，因此叶子节点中这个关键字仍然存在）。同时，叶子节点分裂后，需要维护叶子节点之间的链表指针。
四、删除操作
步骤：
1. 查找：找到包含该关键字的叶子节点。
2. 删除：从叶子节点中删除该关键字。
3. 判断：如果叶子节点关键字个数不少于ceil(m/2)-1（即至少半满），则结束。
如果删除后关键字个数小于ceil(m/2)-1（即下溢），则需要处理：
a. 尝试向兄弟节点借关键字：如果相邻兄弟节点有富余（即关键字个数大于ceil(m/2)-1），则从兄弟节点借一个关键字（并调整父节点中的索引关键字）。
b. 如果兄弟节点也不够借，则合并节点：将该节点与相邻兄弟节点合并，并删除父节点中对应的关键字（和指针）。合并后，父节点可能会下溢，需要递归向上处理直到根节点。如果根节点只剩下一个子节点，则合并后的节点成为新的根节点，树的高度减少1。
注意：删除时，如果关键字也存在于非叶子节点中，那么需要更新非叶子节点中的关键字（通常用后继关键字替换）。
五、详细步骤示例（以5阶B+树为例，即m=5）
每个节点最多5个子节点（即最多4个关键字），最少ceil(5/2)=3个子节点（即最少2个关键字？不对，注意：非叶子节点和叶子节点的要求不同）
准确说：
- 非叶子节点（除根）：关键字数范围：ceil(m/2)-1 ~ m-1，即2~4（因为m=5，ceil(5/2)=3，所以关键字数至少2，最多4）
- 叶子节点：关键字数范围：ceil(m/2) ~ m，即3~5（但实际实现中，叶子节点和非叶子节点的最小关键字数通常都是ceil(m/2)-1？需要统一）
实际上，对于叶子节点，最小关键字数应为ceil(m/2)（即3），最大为m（5）。非叶子节点最小关键字数为ceil(m/2)-1（即2），最大为m-1（4）。注意：非叶子节点的关键字数等于其子节点数-1。
插入示例：初始为空，依次插入1,4,7,10,17,21,31,25,19,20,28,42。
删除示例：在插入后的基础上删除某些关键字，例如删除21。
由于篇幅，我们这里不展开具体示例，但可以描述过程。
六、填充因子（Fill Factor）
引用[3]提到，B+树使用填充因子来控制删除的变化，50%是填充因子可设的最小值。填充因子是指节点中关键字数量与节点容量的比值。在删除操作中，当节点关键字数低于填充因子时（比如50%），可能触发合并操作。
七、与B树的区别
引用[2]提到，B+树的关键码个数和子节点的个数是对等的（即非叶子节点有n个关键字，就有n+1个子节点）。而B树中，节点有n个关键字，则有n+1个子节点，这一点是相同的。但B+树的所有数据都存储在叶子节点，且叶子节点有链表连接。
下面我们用伪代码描述插入和删除操作。
插入伪代码（递归实现）：
```
function insert(node, key, value):
if node is leaf:
将(key, value)按顺序插入node中
if node中的关键字个数 > m-1:
split_leaf(node)
else:
根据key选择下一个子节点child
insert(child, key, value)
function split_leaf(node):
mid = ceil(m/2) # 分裂点
创建新叶子节点new_node
将node中从mid开始的关键字移到new_node
更新node和new_node的链表指针
parent = node.parent
将new_node的第一个关键字（min_key）和指向new_node的指针插入parent中
if parent中的关键字个数 > m-1:
split_non_leaf(parent) # 非叶子节点的分裂类似，但处理细节不同
function split_non_leaf(node):
mid = ceil(m/2) # 注意：非叶子节点分裂时，中间关键字会上升到父节点，而叶子节点分裂时是复制关键字到父节点
创建新非叶子节点new_node
将node中从mid+1开始的关键字和子指针移到new_node（注意：中间关键字mid被提升到父节点，不留在新节点中）
parent = node.parent
将node的中间关键字（即mid位置的关键字）和指向new_node的指针插入parent
if parent中的关键字个数 > m-1:
split_non_leaf(parent)
```
删除伪代码：
```
function delete(node, key):
if node is leaf:
从node中删除key
if node的关键字个数 < ceil(m/2) 且 node不是根节点:
borrow_or_merge(node)
else:
根据key选择子节点child
delete(child, key)
function borrow_or_merge(node):
尝试从左兄弟借：
if 左兄弟存在且左兄弟的关键字个数 > ceil(m/2):
从左兄弟借一个关键字（最后一个）插入node的第一个位置，并更新父节点中的索引关键字
return
尝试从右兄弟借：
if 右兄弟存在且右兄弟的关键字个数 > ceil(m/2):
从右兄弟借一个关键字（第一个）插入node的最后，并更新父节点中的索引关键字
return
# 如果兄弟节点都不够借，则合并
if 左兄弟存在:
将node的所有关键字合并到左兄弟（注意：合并后，父节点中指向node的指针和对应的关键字需要删除）
删除父节点中对应的关键字和指针（即node对应的索引关键字）
将左兄弟作为新节点
else if 右兄弟存在:
将右兄弟的所有关键字合并到node
删除父节点中对应的关键字和指针（即右兄弟对应的索引关键字）
此时node成为合并后的节点
# 检查父节点
parent = node.parent
删除后，如果parent的关键字个数 < ceil(m/2)-1 且 parent不是根节点:
borrow_or_merge(parent)
else if parent的关键字个数==0: # 说明parent是根节点且现在只有一个子节点
将合并后的节点设为新的根节点
释放原根节点
```
注意：在删除非叶子节点中的关键字时，由于这个关键字可能也存在于叶子节点中，所以删除叶子节点中的关键字后，如果这个关键字在非叶子节点中作为索引，则需要用叶子节点中新的最小关键字（或后继）来替换非叶子节点中的关键字。
八、总结
B+树的插入和删除操作需要维护平衡，通过分裂和合并操作来保证节点关键字数量在指定范围内。构建过程就是不断插入，删除操作则要注意可能引发的连锁调整。
最后，我们生成相关问题。
注意：在回答中，我们引用了用户提供的引用，在相关位置标注了引用标记。但注意，我们的回答主要依据B+树的通用原理，引用材料作为参考。
</think>
### B+树的插入、构建与删除操作详解
#### 一、B+树基本结构
B+树是一种**多路平衡查找树**，专为磁盘存储优化设计。其核心特征：
1. **节点结构**
- 内部节点：存储索引键（$k$个关键字）和子节点指针（$k+1$个）
- 叶子节点：存储数据记录键值对，并通过指针顺序链接[^1]
$$ \text{阶数}m \Rightarrow \begin{cases}
\text{根节点} & \text{子节点数} \in [2, m] \\
\text{内部节点} & \text{子节点数} \in \lceil m/2 \rceil, m \\
\text{叶子节点} & \text{关键字数} \in \lceil m/2 \rceil, m
\end{cases} $$
2. **与B树区别**
| 特性 | B树 | B+树 |
|--------------|--------------------|---------------------|
| 数据存储位置 | 所有节点 | 仅叶子节点 |
| 关键字重复 | 无 | 内部节点关键字重复 |
| 叶子节点链接 | 无 | 双向链表链接 |
| 查询稳定性 | 不稳定 | 稳定（全遍历叶子） |
---
#### 二、B+树构建过程
构建即**批量插入**过程，以5阶B+树（$m=5$）为例：
```python
# 伪代码：B+树构建框架
def build_bplus_tree(keys):
root = LeafNode() # 初始为空叶子节点
for key in keys:
root = insert(root, key, value) # 逐元素插入
return root
```
**构建示例**（插入序列：5, 8, 3, 7, 1）：
1. 插入5, 8, 3：
`[1, 3, 5, 8]`（叶子节点未满）
2. 插入7：
`[1, 3, 5, 7, 8]`（达到上限$m=5$）
3. **节点分裂**：
- 左叶子：`[1, 3, 5]`
- 右叶子：`[7, 8]`
- 新根节点：`[5, 7]`（5为左子树max，7为右子树min）[^4]
---
#### 三、插入操作详解
**核心步骤**：
1. **定位叶子节点**：递归查找到目标叶子节点[^4]
2. **有序插入**：将键值对插入叶子节点并保持有序
3. **分裂判断**：
- 若关键字数 $\leq m-1$：完成
- 若关键字数 $> m-1$：触发分裂
**分裂算法**（叶子节点）：
```python
def split_leaf(node):
mid = ceil(m/2) # 分裂点（如m=5时mid=3）
new_node = LeafNode()
# 移动后半部分数据
new_node.keys = node.keys[mid:]
node.keys = node.keys[:mid]
# 更新叶子链表
new_node.next = node.next
node.next = new_node
# 向上传递最小关键字
return new_node.keys[0] # 用于父节点插入
```
**分裂传播**（非叶子节点）：
1. 提取中间关键字 $k_{mid}$（位置 $\lceil m/2 \rceil$）
2. 分裂为两个节点：
- 左节点：$[k_1,...,k_{mid-1}]$
- 右节点：$[k_{mid+1},...,k_m]$
3. 将 $k_{mid}$ 插入父节点[^2]
> **示例**：向`[10,20,30,40]`（m=5）插入25
> - 插入后：`[10,20,25,30,40]` → 分裂为 `[10,20]` 和 `[25,30,40]`
> - 父节点新增关键字：25[^1]
---
#### 四、删除操作详解
**核心步骤**：
1. **定位目标**：找到包含关键字的叶子节点
2. **安全删除**：移除关键字后判断填充因子（通常 $\geq$50%[^3]）
3. **平衡修复**：
- **借用相邻节点**（首选）：若兄弟节点有富余关键字
- **节点合并**（次选）：当兄弟节点无富余时
**删除场景处理**：
1. **叶子节点删除**：
- 情况1：删除后关键字数 $\geq \lceil m/2 \rceil$ → 直接删除
- 情况2：删除后不足 → 向兄弟借关键字
- 情况3：兄弟不足 → 合并节点[^3]
**非叶子节点调整**：
删除后若关键字数 $< \lceil m/2 \rceil -1$，需递归向上合并[^4]
```python
def delete(root, key):
leaf = find_leaf(root, key)
if key not in leaf.keys:
return # 关键字不存在
leaf.remove(key) # 从叶子删除
if len(leaf.keys) < ceil(m/2): # 检查填充因子
sibling = get_adjacent_sibling(leaf)
if sibling.can_lend(): # 场景2：借用
borrow_key(leaf, sibling)
else: # 场景3：合并
merge_nodes(leaf, sibling)
if parent.needs_merge(): # 递归检查父节点
propagate_merge(parent)
```
**合并示例**（5阶树删除后）：
- 初始：叶子A=`[2,3]`, 叶子B=`[5,7]`（需$\geq3$关键字）
- 删除7后：叶子B=`[5]`（不足）
- 合并结果：`[2,3,5]`，父节点删除对应关键字[^2]
---
#### 五、操作复杂度分析
| 操作 | 时间复杂度 | 磁盘I/O次数 |
|------|------------|------------|
| 查询 | $O(\log_m n)$ | $\log_m n$ |
| 插入 | $O(\log_m n)$ | $\log_m n$（分裂时最多$2\log_m n$） |
| 删除 | $O(\log_m n)$ | $\log_m n$（合并时最多$2\log_m n$) |
> **优势**：相比二叉树，B+树通过高扇出（fan-out）显著减少I/O操作[^1]
---
### 总结
B+树通过**多路平衡**和**分层索引**实现高效磁盘操作：
1. **插入**：定位叶子 → 有序插入 → 递归分裂
2. **删除**：定位叶子 → 安全删除 → 借位/合并
3. **构建**：批量插入的迭代过程
其设计保证了：
- 所有操作时间复杂度稳定在 $O(\log_m n)$
- 叶子节点链表支持高效范围查询
- 填充因子维持空间利用率 $\geq$ 50%
本文详细解析了M阶B树的结构特性，包括根节点与非树叶节点的儿子数范围，以及所有树叶处于同一深度的特点。通过数学推导，估计了关键字数目为N时，B树高度的上界为log(n)(N+1)，并提供了详细的计算过程。
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