19/9/26 binary search_为什么树的内路长等于查找失败的次数之和-优快云博客

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本文深入探讨了二分查找算法与比较树的概念，详细分析了binary_search_1和binary_search_2两种二分查找变体的比较次数统计，阐述了成功查找与失败查找的平均比较次数计算方法，以及路长定理的应用。通过对比两种算法，揭示了不同查找策略下的性能差异。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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参考资料：

比较树：

知识点参考文档
1.树节点键值（key）的比较
2.叶子/尾结点/外节点
其他节点/内节点
3.一个特定查找算法中做的比较次数，就是从树的顶（我们叫它“根”）到某个适当“叶”之间路径上所有遍历的内节点数量。

binary_search_1

1.binary_search_1的比较统计：每次查找都在叶节点处结束。
2.为了获取成功查找及失败查找的比较平均数，我们需要使用树的“外径长”：它是遍历每个叶节点到根节点时，所经过的树枝的数量总和。
3.其中一半的叶节点符合成功查找，另一半是失败查找。
因此n=10时，binary_search_1的成功查找或非成功查找的比较平均数，都是4.4。

binary_search_2

1.三路比较，把两种比较合并成一种。
2.意味着每个叶节点都是以非成功查找结束的，每个非叶节点都是符合成功查找。
3.每个所示的节点都进行了两次比较，除非在某个节点上成功找到目标键的话，那么它就只进行了一次比较。
4.binary_search_2的比较统计：（除非在节点上找到目标键）每个非叶节点都进行了两次比较。被遍历的内部节点数，要比经过的树枝数多1（对于每个n=10时的内节点）。因此我们获取成功查找的比较平均数是4.8。
公式中的（-1），是因为实际中，当目标键被找到时，少做了一次比较。

失败查找：因此树的外径长指的只是失败查找的比较次数。
成功查找：“内径长”，它被定义为，所有非叶节点到根节点遍历所经过的树枝总数。
内径计算如下图：

在这里插入图片描述

关于算法的比较

在这里插入图片描述

比较树和递归树，对于递归算法来说，这两种事情经常被视为同种事情。

从n=10时的binary_search_1和binary_search_2的树图来看，很容易能看出每个算法要进行多少次比较。最坏的查找情况，就是这个数字比树的高还要多1。

实际上对于每次查找来说，它都是在查从根节点到叶节点之间的节点数。