36、迭代求解方法详解

迭代求解方法详解

1. 方法 $R_{\alpha}$ 的示例

在迭代求解中，有几种方法满足特定定理的假设，下面为你详细介绍：
- Tikhonov 正则化 ：通过 $g_{\alpha}(\lambda) := (\lambda + \alpha)^{-1}$ 定义，得到：
- $R_{\alpha}(K) = (K^{ }K + \alpha I)^{-1}K^{ }$
- $I - R_{\alpha}(K)K = \alpha(K^{ }K + \alpha I)^{-1}$
- 迭代 Tikhonov 正则化 ：通过 $g_{\alpha}(\lambda) := \sum_{j=0}^{n} \beta_{j}^{-1} \prod_{l=j}^{n} \beta_{l}(\lambda + \beta_{l})^{-1}$ 定义，其中 ${\beta_{j}}$ 是 $\mathbb{R}^{+}$ 中的有界序列，且 $\beta_{j + 1}^{-1}\beta_{j}$ 也有界。一个重要的特殊选择是 $\beta_{j} := \beta q^{j}$，其中 $q \in (0, 1]$ 且 $\beta$ 为正常数。当 $q = 1$ 时，该选择变为 Lardy 方法。有效正则化参数 $\alpha$ 由 $\alpha = \alpha_{k} := (\sum_{j=0}^{n_{k}} \beta_{j}^{-1})^{-1}$ 给出。当 $q = 1$ 时，$\alpha_{k} = \beta(n_{k} + 1)^{-1}$；当 $q