18、分割与列举算法：解决难题的有效策略

分割与列举算法：解决难题的有效策略

在算法领域，面对一些复杂的难题，我们常常需要寻找高效的解决方案。分割与列举（Split and List）算法就是这样一种策略，它通过将问题分割、列举子问题的解，并利用快速多项式时间算法进行组合，为解决难题提供了新的思路。

1. 排序与搜索基础

在向量空间 $Q^m$ 上，我们可以定义字典序（lexicographical order），用符号 $\prec$ 表示。对于向量 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 和 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_m) \in Q^m$，当且仅当存在 $t \in {1,2,\cdots,m}$，使得对于所有 $i < t$ 有 $x_i = y_i$ 且 $x_t < y_t$ 时，我们定义 $x \prec y$。例如，$(2,4,8,3) \prec (2,7,2,4)$。若 $x \prec y$ 或 $x = y$，我们记为 $x \preceq y$。

1.1 2 - 表问题

我们先来看一个“玩具”问题——2 - 表问题（2 - TABLE problem）。给定两个大小为 $m \times k$ 的表 $T_1$ 和 $T_2$，以及一个向量 $s \in Q^m$，每个表由 $k$ 个 $Q^m$ 中的向量组成，问题是判断表中是否存在第一列的一个向量和第二列的一个向量，使得它们的和为 $s$。

一个简单的解决方案是尝试所有可能的向量对，每次比较需要 $O(m)$ 时间，向量对的数量为 $O(k^2)$，因此运行时间为 $O(mk^2)$。但我们可以采用更聪明的方法。

引