10、马氏数据聚类：原理、算法与应用

马氏数据聚类：原理、算法与应用

1. 平面中的马氏距离类函数

在平面中，以原点为中心，半轴长为 (a,b > 0)，绕原点旋转角度 (\theta) 的椭圆 (E(O, a, b, \theta)) 有如下方程：
[
\frac{(x_1 \cos \theta + x_2 \sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta)^2}{b^2} = 1
]
其中 (x = (x_1, x_2) \in R^2)。通过定义 (U =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}) 以及 (\Sigma := U \text{diag}(a^2, b^2) U^T)，上述椭圆方程可写为 (x \Sigma x^T = 1)。

实际上，平面中所有以原点为中心的椭圆集合与所有对称正定的 (2 \times 2) 矩阵集合之间存在一一对应关系。例如，对于以原点为中心、半径为 (r) 的圆盘 (K(0, r) \subset R^2)，其面积为 (r^2\pi)。对该圆盘进行各种变形，在一个方向上拉伸/收缩，在正交方向上收缩/拉伸，可得到半轴长为 (a) 和 (b) 的椭圆，且其面积仍为 (r^2\pi)，即 (ab = r^2)，与旋转角度 (\theta) 无关。

为了使椭圆上所有点到原点的距离相同，我们定义马氏距离类函数 (d_m : R^2 \times R^2 \to R^+) 为：