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快速特征求解器：QR 与 Lanczos 方法解析
1. 快速特征求解器基础
在特征求解器的领域中，存在一些基础的操作和特性。例如，在代码实现中，有如下的代码片段：
ChebyshevPoints(npts,x);
for(j=0;j<npts;j++)
A[j] = pow(x[row],j);
delete[] x;
这里的
ChebyshevPoints
函数可能用于生成切比雪夫点，后续通过循环将这些点的幂赋值给数组
A
，最后释放
x
数组的内存。
同时，对于 Householder 矩阵，由于其特殊形式，我们无需显式地构造它。利用这种特殊形式，矩阵乘法
A * H
可以在 $O(n^2)$ 操作内完成，而不是普通矩阵 - 矩阵乘法所需的 $O(n^3)$ 操作。另外，使用
MPI Alltoall
函数来转置中间阶段的
A * H
，方便再次进行前乘
H
的操作。不过，
MPI Alltoall
函数是一种非常耗费通信资源的调用，因为它需要每个进程与所有其他进程交换信息，常被用于并行机器通信能力的基准测试。
2. 全局特征求解器概述
全局特征求解器与局部特征求解器不同，它不需要对特征值有良好的初始猜测，并且能够提供整个特征谱。这里主要讨论两种基于不同概念的方法：QR 方法和 Lanczos 方法。QR 方法是半直接且通用的，而 Lanczos 方法是迭代的，适用于对称稀疏特征系统。
2.1 QR 特征求解器
2.1.1 基本原理
QR 特征求解器的主要思想是构造一系列相似矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_k$，其中 $A_1 = A$，并且当 $k \to \infty$ 时，$A_k$ 趋近于一个上三角矩阵，形式如下：
[
A_k \to
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & * & * & \cdots & * \
0 & \lambda_2 & * & \cdots & * \
0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & * \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}
]
根据 Schur 三角化定理，如果在相似变换中涉及正交矩阵 $Q$，则该三角矩阵存在。如果矩阵 $A$ 是对称的，所有特征值都是实数，对角线上的标量元素对应这些实特征值；如果矩阵是非对称的，可能会遇到复特征值，它们会以 $2 \times 2$ 子矩阵的形式出现在对角线上，有时被称为“凸起”。
2.1.2 基本 QR 迭代
基本 QR 迭代的初始化步骤为 $A_0 = A$ 且 $A_0 = Q_0R_0$，然后进入循环：
[
\begin{align
}
A_1 &= R_0Q_0 \text{ 且 } A_1 = Q_1R_1 \
A_2 &= R_1Q_1 \text{ 且 } A_2 = Q_2R_2 \
&\cdots
\end{align
}
]
在这个算法中，关键是在 $Q_iR_i$ 分解和 $R_iQ_i$ 乘积之间交替进行。可以证明序列中的所有矩阵都是相似的，例如 $A_1 = R_0Q_0 = (Q_0^TA_0)Q_0$，由于 $Q_0^TQ_0 = I$，所以 $A_1$ 与 $A_0 = A$ 相似，对于迭代 $k$ 也有 $A_k = R_{k - 1}Q_{k - 1} = (Q_{k - 1}^TA_{k - 1})Q_{k - 1}$。
该方法在所有特征值具有不同大小时收敛，对角线元素的序列满足 $|\lambda_1| > |\lambda_2| > \cdots > |\lambda_n|$，收敛速率为 $\frac{|\lambda_{i + 1}|}{|\lambda_i|}$。
2.1.3 与 LR 方法的比较
可以使用 LU 分解代替 QR 分解来生成类似的序列，这就是 LR 方法。然而，由于不能进行主元选择，否则会破坏上三角结构并可能改变特征值，所以 LU 过程是不稳定的。而且，与 LU 分解不同，QR 分解可以应用于奇异矩阵。不过，当矩阵 $A$ 是带状且对角占优时，LU 分解可能比 QR 分解更适用，因为 LU 分解可以保持带宽，而 QR 方法在每次迭代中会填充初始为零的非对角元素。
2.2 Hessenberg QR 特征求解器
基本 QR 方法有两个主要缺点：一是每一步都需要进行 QR 分解，成本为 $O(\frac{4n^3}{3})$，是 LU 分解的两倍；二是如果两个特征值具有相同大小，方法会发散。
Hessenberg QR 特征求解器通过先将矩阵 $A$ 转换为上 Hessenberg 矩阵 $H$，然后对 $H$ 进行 QR 分解来解决这些问题。初始的 Hessenberg 约化成本为 $O(\frac{5}{3}n^3)$，但 Hessenberg 矩阵的 QR 分解成本为 $O(n^2)$，所以该方法比基本 QR 特征求解器更高效。
2.3 移位 QR 特征求解器
QR 特征求解器的收敛速率最多是线性的，为了提高收敛速率，我们可以采用移位的思想。假设矩阵只有实单特征值，我们对 $(H - \sigma I)$ 进行 QR 分解，而不是对 $H$ 进行分解，将整个特征谱移动 $\sigma$ 到 $(\lambda_i - \sigma)$。
具体来说，选择 $\sigma$ 使得位置 $(n, n - 1)$ 的元素尽可能快地收敛到零。收敛后，位置 $(n, n)$ 的元素（减去移位 $\sigma$ 后）就是所需的特征值。修改后的算法如下：
1. 进行 QR 分解：$H_k - h_{nn}^{(k)}I = Q_kR_k$
2. 获得新的迭代：$H_{k + 1} = R_kQ_k + h_{nn}^{(k)}I$
这种移位方法的收敛通常是二次的，如果原始矩阵 $A$ 是对称的，则收敛速率会增加到三次。对于双特征值或复特征值，移位策略需要改变，以有效处理矩阵 $A_k$ 对角线上的“凸起”。
2.4 对称 QR 特征求解器：Wilkinson 移位
对称矩阵具有特殊性质，其特征值都是实数，并且 Hessenberg 变换可以将矩阵约化为对称三对角矩阵。QR 迭代会保持这个性质。对称三对角矩阵的 QR 分解成本仅为 $O(n)$，而不是 Hessenberg 矩阵的 $O(n^2)$。
Wilkinson 建议使用 $2 \times 2$ 矩阵
[
\begin{bmatrix}
h_{n - 1, n - 1} & h_{n, n - 1} \
h_{n, n - 1} & h_{nn}
\end{bmatrix}
]
更接近 $h_{nn}$ 的特征值作为移位 $\sigma$ 来加速收敛。对称 QR 特征求解器的收敛是三次的，操作计数为 $O(n^2)$，但将 $A$ 约化为三对角矩阵有 $O(\frac{2}{3}n^3)$ 的成本。
2.5 并行 QR 特征求解器：分治法
Dongarra 和 Sorensen 开发了一种用于对称特征值问题的全并行算法，基于 QR 迭代和分治法。首先将矩阵 $A$ 约化为 Hessenberg 形式，然后将其转换为三对角矩阵 $T$，接着将 $T$ 分成两个半大小的对称三对角矩阵 $T_1$ 和 $T_2$。
通过适当的正交矩阵 $Q_1$ 和 $Q_2$ 对 $T_1$ 和 $T_2$ 进行对角化，将原问题转化为求解矩阵 $G = D + b_k\xi\xi^T$ 的特征值问题，其中 $D$ 是对角矩阵，$\xi$ 是向量。特征值 $\lambda_i$ 由方程
[
1 + b_k\sum_{i = 1}^{n}\frac{\xi_i^2}{d_i - \lambda} = 0
]
给出，这就是所谓的久期方程。
下面是一个简单的分治过程示例：
graph TD;
A[矩阵 A] --> B[约化为 Hessenberg 矩阵 H];
B --> C[转换为三对角矩阵 T];
C --> D[分成 T1 和 T2];
D --> E[对角化 T1 和 T2];
E --> F[求解久期方程得到特征值];
F --> G[计算特征向量];
2.6 并行 QR 特征求解器的代码实现
以下是一个使用 C++/MPI 实现的并行 QR 特征求解器的代码示例：
#include <iostream.h>
#include <iomanip.h>
#include "SCmathlib.h"
#include "SCchapter10.h"
#include <mpi.h>
// Global variable to set size of the system
const int size = 50;
int main(int argc, char *argv[]){
int i,j,k,ll,m,isum,ioffset,cnt,N1,N2;
int mynode, totalnodes;
MPI-Status status;
double bn,*tmpd,**tmpdd;
MPI-Init(&argc,&argv);
MPI-Comm-size(MPI-COMM-WORLD, &totalnodes);
MPI-Comm-rank(MPI-COMM-WORLD, &mynode);
// Set up storage on each process
double * a = new double[size];
double * b = new double[size];
double * lambda = new double[size];
double ** Q = CreateMatrix(size,size);
double ** Q1 = CreateMatrix(size,size);
double ** Q2 = CreateMatrix(size,size);
double * xi = new double[size];
double * d = new double[size];
int ** index = ICreateMatrix(totalnodes,totalnodes);
double ** adjust = CreateMatrix(totalnodes,totalnodes);
//Form the Matrix A
for(i=0;i<size;i++){
a[i] = i+1.5;
b[i] = 0.3;
}
//Set up recursive partitioning of the matrix.
//Each process will solve for some subset of the problem
index[0][0] = size;
for(i=0;i<log2(totalnodes);i++){
isum = 0;
for(j=0;j<pow(2,i);j++){
index[i+1][2*j] = index[i][j]/2;
index[i+1][2*j+1] = index[i][j] - index[i+1][2*j];
isum += index[i+1][2*j];
adjust[i][j] = b[isum-1];
a[isum-1] = a[isum-1] - b[isum-1];
a[isum] = a[isum] - b[isum-1];
isum += index[i+1][2*j+1];
}
}
// Each process solves recursively for its subpart of
// the problem.
ioffset = (int) log2(totalnodes);
isum = 0;
for(k=0;k<mynode;k++)
isum += index[ioffset][k];
TDQREigensolver(index[ioffset][mynode],&a[isum],
&b[isum],d,Q1);
// Fan-in algorithm to finish solving system
for(i=0;i<log2(totalnodes);i++){
isum = 0; cnt = 0;
for(j=0;j<totalnodes;j+=(int)pow(2.0,i)){
if(mynode == j){
if(isum%2==0){
MPI-Recv(d+index[ioffset][isum],index[ioffset]
[isum+1],MPI-DOUBLE, j+(int)pow(2.0,i),1,
MPI-COMM-WORLD,&status);
for(k=0;k<index[ioffset][isum+1];k++)
MPI-Recv(Q2[k],index[ioffset][isum+1],MPI-DOUBLE,
j+(int)pow(2.0,i),1,MPI-COMM-WORLD,
&status);
N1 = index[ioffset][isum];
N2 = index[ioffset][isum+1];
bn = adjust[ioffset-1][cnt++];
}
else{
MPI-Send(d,index[ioffset][isum],MPI-DOUBLE,
j-(int)pow(2.0,i),1,MPI-COMM-WORLD);
for(k=0;k<index[ioffset][isum];k++)
MPI-Send(Q1[k],index[ioffset][isum],MPI-DOUBLE,
j-(int)pow(2.0,i),1,MPI-COMM-WORLD);
}
}
isum++;
}
for(j=0;j<totalnodes;j+=(int)pow(2.0,i+1)){
if(mynode == j){
cnt = 0;
for(k=0;k<N1;k++)
xi[cnt++] = Q1[N1-1][k];
for(k=0;k<N2;k++)
xi[cnt++] = Q2[0][k];
// Solve for the secular equation to
// obtain eigenvalues
SolveSecularEq(bn,N1+N2,d,xi,lambda);
// Form the Q matrix from Q1 and Q2
for(k=0;k<N1;k++){
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++){
Q[k][ll] = 0.0;
for(m=0;m<N1;m++)
Q[k][ll] += Q1[k][m]*xi[m]/(d[m]-lambda[ll]);
}
}
for(k=0;k<N2;k++){
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++){
Q[N1+k][ll] = 0.0;
for(m=0;m<N2;m++)
Q[k+N1][ll] += Q2[k][m]*xi[N1+m]/
(d[N1+m]-lambda[ll]);
}
}
// Normalize the Q matrix so that each eigenvector
// has length one
double sum;
for(k=0;k<N1+N2;k++){
sum = 0.0;
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++)
sum+= Q[ll][k]*Q[ll][k];
sum = sqrt(sum);
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++)
Q[ll][k] = Q[ll][k]/sum;
}
// Swap d and lambda arrays for use in the
// next part of the fan-in algorithm
tmpd = d;
d = lambda;
lambda = tmpd;
// Swap Q and Q1 for use in the
// next part of the fan-in algorithm
tmpdd = Q1;
Q1 = Q;
Q = tmpdd;
}
}
ioffset = ioffset - 1;
}
if(mynode==0){
cout << "The eigenvalues are: " << endl;
for(k=0;k<size;k++)
cout << d[k] << endl;
}
MPI-Barrier(MPI-COMM-WORLD);
delete[] a;
delete[] b;
delete[] lambda;
delete[] xi;
delete[] d;
DestroyMatrix(Q,size,size);
DestroyMatrix(Q1,size,size);
DestroyMatrix(Q2,size,size);
DestroyMatrix(adjust,totalnodes,totalnodes);
IDestroyMatrix(index,totalnodes,totalnodes);
MPI-Finalize();
}
代码中的一些注意事项：
- 每个进程最初使用递归例程
TDQREigensolver
解决其分配的子问题。
- 使用
SolveSecularEq
例程来求解久期方程，该例程实现了一个简单的二分算法来寻找久期方程的根。
- 求解特征向量的方程 $y_i = (D - \lambda_iI)^{-1}\xi$ 并不总是数值稳定的，在某些文献中提出了更稳定的替代方法。
- 在分治过程中，空闲进程可以被调用回来解决久期方程或完成所需的矩阵乘法部分，以提高并行效率。
2.7 Lanczos 特征求解器
Lanczos 算法在 20 世纪 50 年代由 Lanczos 开发，特别适用于大型对称稀疏矩阵。QR 方法也可用于此类系统，但在每次迭代中不能保持新矩阵的稀疏性，因此效率较低。
2.7.1 基本原理
Lanczos 方法的关键思想是利用幂法迭代中产生的所有先前迭代向量 $v, Av, A^2v, \cdots, A^{k - 1}v$，这些 $k$ 个向量形成了所谓的 Krylov 空间 $K_k(A, v) = span{v, Av, A^2v, \cdots, A^{k - 1}}$。
为了使这些向量在计算上更友好，我们需要对它们进行正交化。这里使用了魔法三项递推公式来进行快速正交化。假设已经从前面的序列中产生了正交向量 $q_1, q_2, \cdots, q_k$，我们可以构造正交矩阵 $Q$，并通过相似变换 $Q^TAQ = T$ 将 $A$ 转换为其相似矩阵 $T$，其中 $T$ 是一个三对角矩阵，形式如下：
[
T_k =
\begin{bmatrix}
\alpha_1 & \beta_1 & 0 & \cdots & 0 \
\beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \cdots & 0 \
0 & \beta_2 & \alpha_3 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha_k
\end{bmatrix}
]
通过正交性条件，我们可以计算出系数 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$。
2.7.2 算法步骤
Lanczos 算法的正交化版本如下：
LANCZOS ALGORITHM
Initialize:
Choose q0 = 0; arbitrary
r ≠ 0; and β0 = ∥r∥2
Begin Loop: for j = 1, ...
qj = r / βj−1
r = Aqj
αj = qj^T r
r = r - qj−1βj−1
r = r - qjαj
Orthogonalize if necessary
βj = ∥r∥2
Compute approximate eigenvalues of Tj
Test for convergence
endfor
End Loop
2.7.3 算法特点
-
该算法每次迭代可以使用单个矩阵 - 向量乘积和 BLAS1 例程（如
ddot和daxpy）实现，在任何给定时间只需要存储三个向量 $r, q_j, q_{j - 1}$。 - 如果进行 $n$ 次迭代，我们可以获得矩阵 $A$ 的整个特征谱。也可以在任何迭代 $j < n$ 时停止，得到矩阵 $A$ 的前 $j$ 个特征值的近似值。
- 如果矩阵 $A$ 的特征值分离不好，可以使用移位并采用矩阵 $(A - \sigma I)^{-1}$ 来生成适当的 Krylov 子空间。
- Lanczos 算法可以扩展到非对称系统。
2.8 总结
本文介绍了多种特征求解器，包括 QR 特征求解器及其各种改进版本，如 Hessenberg QR 特征求解器、移位 QR 特征求解器和对称 QR 特征求解器，以及 Lanczos 特征求解器。不同的方法适用于不同类型的矩阵，例如 QR 方法适用于一般矩阵，而 Lanczos 方法适用于大型对称稀疏矩阵。在实际应用中，需要根据矩阵的特点和问题的需求选择合适的方法。同时，通过并行计算可以提高特征求解的效率，如并行 QR 特征求解器的分治法实现。
2.9 展望
未来的研究可以集中在进一步提高这些特征求解器的效率和稳定性上。例如，对于 Lanczos 算法，可以研究更有效的正交化方法来解决正交性丢失的问题。对于并行特征求解器，可以探索更高效的并行算法和通信策略，以充分利用多核和分布式计算资源。此外，还可以研究如何将这些特征求解器应用于更广泛的领域，如机器学习、数据分析和科学计算等。
2.10 算法对比
为了更清晰地了解不同特征求解器的特点，下面对几种主要的特征求解器进行对比，具体内容如下表所示：
| 特征求解器 | 适用矩阵类型 | 计算复杂度 | 收敛情况 | 特点 |
| — | — | — | — | — |
| 基本 QR 特征求解器 | 一般矩阵 | 每步 QR 分解成本 $O(\frac{4n^3}{3})$ | 所有特征值不同大小时收敛，收敛速率 $\frac{|\lambda_{i + 1}|}{|\lambda_i|}$ | 半直接且通用，但成本高，两特征值同大小时发散 |
| Hessenberg QR 特征求解器 | 一般矩阵 | 初始 Hessenberg 约化 $O(\frac{5}{3}n^3)$，后续 QR 分解 $O(n^2)$ | 改善了基本 QR 方法的收敛问题 | 先将矩阵转换为 Hessenberg 矩阵再分解，更高效 |
| 移位 QR 特征求解器 | 一般矩阵 | - | 通常二次收敛，对称矩阵三次收敛 | 通过移位提高收敛速率 |
| 对称 QR 特征求解器（Wilkinson 移位） | 对称矩阵 | 约化到三对角矩阵 $O(\frac{2}{3}n^3)$，后续操作 $O(n^2)$ | 三次收敛 | 利用对称矩阵特性，采用 Wilkinson 移位加速 |
| 并行 QR 特征求解器（分治法） | 对称矩阵 | - | - | 基于分治法，适合并行计算，提高效率 |
| Lanczos 特征求解器 | 大型对称稀疏矩阵 | - | - | 利用 Krylov 空间，保持稀疏性，可局部或全局求解特征值 |
2.11 实际应用建议
在实际应用中，选择合适的特征求解器至关重要。以下是一些根据矩阵特点的选择建议：
-
一般矩阵
：如果矩阵规模较小且特征值差异较大，基本 QR 特征求解器可以作为一个选择。但如果对计算效率有较高要求，Hessenberg QR 特征求解器可能更合适。
-
对称矩阵
：对于对称矩阵，对称 QR 特征求解器（Wilkinson 移位）通常能提供较好的收敛速度和计算效率。如果矩阵规模较大且具备并行计算条件，并行 QR 特征求解器（分治法）是一个不错的选择。
-
大型对称稀疏矩阵
：Lanczos 特征求解器是处理这类矩阵的首选，它能够充分利用矩阵的稀疏性，减少不必要的计算。
2.12 代码优化思路
对于前面给出的并行 QR 特征求解器的代码，我们可以从以下几个方面进行优化：
-
通信优化
：在代码中，
MPI Alltoall
函数调用是一个通信瓶颈。可以考虑采用更高效的通信模式，例如使用非阻塞通信来重叠计算和通信，减少等待时间。
-
内存管理
：代码中使用了大量的动态内存分配，如
new
操作。在使用完后及时释放内存，避免内存泄漏。同时，可以考虑使用内存池技术来减少内存分配和释放的开销。
-
算法优化
：对于
SolveSecularEq
例程，可以采用更高效的根查找算法，如修改后的 Newton - Raphson 方法，以提高求解久期方程的效率。
2.13 优化后的代码示例（部分）
以下是对通信部分进行优化的代码示例，使用非阻塞通信：
#include <iostream.h>
#include <iomanip.h>
#include "SCmathlib.h"
#include "SCchapter10.h"
#include <mpi.h>
// Global variable to set size of the system
const int size = 50;
int main(int argc, char *argv[]){
int i,j,k,ll,m,isum,ioffset,cnt,N1,N2;
int mynode, totalnodes;
MPI_Request request[2];
MPI_Status status[2];
double bn,*tmpd,**tmpdd;
MPI_Init(&argc,&argv);
MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &totalnodes);
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &mynode);
// Set up storage on each process
double * a = new double[size];
double * b = new double[size];
double * lambda = new double[size];
double ** Q = CreateMatrix(size,size);
double ** Q1 = CreateMatrix(size,size);
double ** Q2 = CreateMatrix(size,size);
double * xi = new double[size];
double * d = new double[size];
int ** index = ICreateMatrix(totalnodes,totalnodes);
double ** adjust = CreateMatrix(totalnodes,totalnodes);
//Form the Matrix A
for(i=0;i<size;i++){
a[i] = i+1.5;
b[i] = 0.3;
}
//Set up recursive partitioning of the matrix.
//Each process will solve for some subset of the problem
index[0][0] = size;
for(i=0;i<log2(totalnodes);i++){
isum = 0;
for(j=0;j<pow(2,i);j++){
index[i+1][2*j] = index[i][j]/2;
index[i+1][2*j+1] = index[i][j] - index[i+1][2*j];
isum += index[i+1][2*j];
adjust[i][j] = b[isum-1];
a[isum-1] = a[isum-1] - b[isum-1];
a[isum] = a[isum] - b[isum-1];
isum += index[i+1][2*j+1];
}
}
// Each process solves recursively for its subpart of
// the problem.
ioffset = (int) log2(totalnodes);
isum = 0;
for(k=0;k<mynode;k++)
isum += index[ioffset][k];
TDQREigensolver(index[ioffset][mynode],&a[isum],
&b[isum],d,Q1);
// Fan-in algorithm to finish solving system
for(i=0;i<log2(totalnodes);i++){
isum = 0; cnt = 0;
for(j=0;j<totalnodes;j+=(int)pow(2.0,i)){
if(mynode == j){
if(isum%2==0){
MPI_Irecv(d+index[ioffset][isum],index[ioffset]
[isum+1],MPI_DOUBLE, j+(int)pow(2.0,i),1,
MPI_COMM_WORLD,&request[0]);
for(k=0;k<index[ioffset][isum+1];k++)
MPI_Irecv(Q2[k],index[ioffset][isum+1],MPI_DOUBLE,
j+(int)pow(2.0,i),1,MPI_COMM_WORLD,
&request[1]);
// 可以在这里插入一些计算代码，与通信重叠
MPI_Waitall(2, request, status);
N1 = index[ioffset][isum];
N2 = index[ioffset][isum+1];
bn = adjust[ioffset-1][cnt++];
}
else{
MPI_Isend(d,index[ioffset][isum],MPI_DOUBLE,
j-(int)pow(2.0,i),1,MPI_COMM_WORLD,&request[0]);
for(k=0;k<index[ioffset][isum];k++)
MPI_Isend(Q1[k],index[ioffset][isum],MPI_DOUBLE,
j-(int)pow(2.0,i),1,MPI_COMM_WORLD,&request[1]);
// 可以在这里插入一些计算代码，与通信重叠
MPI_Waitall(2, request, status);
}
}
isum++;
}
for(j=0;j<totalnodes;j+=(int)pow(2.0,i+1)){
if(mynode == j){
cnt = 0;
for(k=0;k<N1;k++)
xi[cnt++] = Q1[N1-1][k];
for(k=0;k<N2;k++)
xi[cnt++] = Q2[0][k];
// Solve for the secular equation to
// obtain eigenvalues
SolveSecularEq(bn,N1+N2,d,xi,lambda);
// Form the Q matrix from Q1 and Q2
for(k=0;k<N1;k++){
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++){
Q[k][ll] = 0.0;
for(m=0;m<N1;m++)
Q[k][ll] += Q1[k][m]*xi[m]/(d[m]-lambda[ll]);
}
}
for(k=0;k<N2;k++){
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++){
Q[N1+k][ll] = 0.0;
for(m=0;m<N2;m++)
Q[k+N1][ll] += Q2[k][m]*xi[N1+m]/
(d[N1+m]-lambda[ll]);
}
}
// Normalize the Q matrix so that each eigenvector
// has length one
double sum;
for(k=0;k<N1+N2;k++){
sum = 0.0;
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++)
sum+= Q[ll][k]*Q[ll][k];
sum = sqrt(sum);
for(ll=0;ll<N1+N2;ll++)
Q[ll][k] = Q[ll][k]/sum;
}
// Swap d and lambda arrays for use in the
// next part of the fan-in algorithm
tmpd = d;
d = lambda;
lambda = tmpd;
// Swap Q and Q1 for use in the
// next part of the fan-in algorithm
tmpdd = Q1;
Q1 = Q;
Q = tmpdd;
}
}
ioffset = ioffset - 1;
}
if(mynode==0){
cout << "The eigenvalues are: " << endl;
for(k=0;k<size;k++)
cout << d[k] << endl;
}
MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD);
delete[] a;
delete[] b;
delete[] lambda;
delete[] xi;
delete[] d;
DestroyMatrix(Q,size,size);
DestroyMatrix(Q1,size,size);
DestroyMatrix(Q2,size,size);
DestroyMatrix(adjust,totalnodes,totalnodes);
IDestroyMatrix(index,totalnodes,totalnodes);
MPI_Finalize();
}
2.14 总结与展望
本文全面介绍了多种快速特征求解器，包括 QR 特征求解器及其改进版本和 Lanczos 特征求解器。通过对比不同求解器的特点和适用场景，我们可以根据具体的矩阵类型和问题需求做出合理的选择。同时，给出了代码优化的思路和示例，以提高特征求解的效率。
未来，随着计算能力的不断提升和应用场景的不断拓展，特征求解器的研究将朝着更高效率、更高稳定性和更广泛适用性的方向发展。例如，结合深度学习技术，开发自适应的特征求解算法，根据矩阵的特征自动选择最优的求解方法。此外，对于大规模分布式系统中的特征求解问题，还需要进一步研究高效的并行算法和通信策略。
以下是一个整体的流程图，展示了特征求解器的选择和处理流程：
graph LR;
A[矩阵类型] --> B{是否为对称矩阵};
B -- 是 --> C{是否为稀疏矩阵};
C -- 是 --> D[Lanczos 特征求解器];
C -- 否 --> E[对称 QR 特征求解器（Wilkinson 移位）];
B -- 否 --> F{矩阵规模和特征值情况};
F -- 规模小且特征值差异大 --> G[基本 QR 特征求解器];
F -- 其他 --> H[Hessenberg QR 特征求解器];
D --> I[求解特征值和特征向量];
E --> I;
G --> I;
H --> I;
I --> J{是否需要并行计算};
J -- 是 --> K[并行 QR 特征求解器（分治法）];
J -- 否 --> L[串行求解结果];
通过以上的介绍和分析，希望读者能够对快速特征求解器有更深入的理解，并在实际应用中做出正确的决策。
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