6、基础概念、工具与并行计算

基础概念、工具与并行计算

1. BLAS 相关说明

BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）在不同级别有多种用于不同操作的例程。例如，BLAS1 中有平面旋转生成例程，BLAS2 中有三角方程求解器，BLAS3 中有一般矩阵与三角矩阵的乘法例程。读者可通过 netlib 免费软件库的 URL（http://www.netlib.org/blas 和 http://www.netlib.org/atlas）在网上查找相关信息。

BLAS 支持单精度和双精度，分别对应子程序名称中的前缀 s 和 d。对于部分例程（点积和矩阵 - 向量积），还提供扩展精度以进行高精度计算（前缀 e），同时也支持复数运算。

2. 稀疏矩阵结构的利用

2.1 矩阵乘法复杂度

计算矩阵乘法 (C(m× n) = A(m× r)B(r × n)) 的计算复杂度渐近极限为 (O(2nmr))，但对于小矩阵，该极限会高估操作次数。实际中常遇到稀疏矩阵，需考虑稀疏性来更好地估计操作次数。

2.2 上三角矩阵乘法示例

以两个 (n × n) 的上三角方阵 (A) 和 (B) 相乘为例，结果矩阵 (C) 也是上三角矩阵。如 (n = 3) 时：
[
C =
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \
0 & a_{22}b_{22} & a_{22}