65、电路基础：麦克斯韦方程、三角函数与复数知识详解

电路基础：麦克斯韦方程、三角函数与复数知识详解

1. 基尔霍夫定律的推导

在电路分析中，基尔霍夫定律是非常重要的基础。我们可以从麦克斯韦方程出发，结合集总物质理论来推导基尔霍夫定律。

一般情况下，我们可以借助麦克斯韦方程和相关的连续性方程来求解电路问题。相关方程如下：
[
\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
]
[
\oint \vec{J} \cdot d\vec{S} = -\frac{\partial q}{\partial t}
]

根据集总物质理论，在封闭电路回路中，(\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0)；在电路节点处，(\frac{\partial q}{\partial t} = 0)。在这个约束条件下，上述一般方程可简化为：
[
\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0 \quad (A.1)
]
[
\oint \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0 \quad (A.2)
]

方程((A.1))表明，电场沿任何封闭路径的线积分必须为(0)；方程((A.2))表明，电流在任何表面上的面积分必须为(0)。

1.1 基尔霍夫电压定律（KVL）的推导

考虑一个由三条电路边(a \to b)，(b \to c)和(c \to a)构成的封闭回路，对其应用方程((A.1))可得：
[
\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{b}^{c} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{c}^{a} \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0
]

因为理想导线中(\int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0)，且元件(xy)两端的电位差(V_{xy} = \int_{x}^{y} \vec{E} \cdot d\vec{l})，所以可以写成：
[
\int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{b}^{c} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{c}^{a} \vec{E} \cdot d\vec{l} = v_1 + v_2 + v_3 = 0
]

这意味着，电路中任何封闭路径上的电压之和必须为(0)。由此，我们可以得出基尔霍夫电压定律：
基尔霍夫电压定律（KVL） ：网络中任何封闭路径上的电压代数和必须为零。

1.2 基尔霍夫电流定律（KCL）的推导

考虑一个封闭的盒状表面，应用方程((A.2))。假设只有电流通过表面(S_a)，(S_b)和(S_c)，则有：
[
\oint \vec{J} \cdot d\vec{S} = \int_{S_a} \vec{J} \cdot d\vec{S} + \int_{S_b} \vec{J} \cdot d\vec{S} + \int_{S_c} \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0
]

由于电流局限于进入三个表面的导线中，所以可得：
[
\int_{S_a} \vec{J} \cdot d\vec{S} + \int_{S_b} \vec{J} \cdot d\vec{S} + \int_{S_c} \vec{J} \cdot d\vec{S} = -i_a - i_b - i_c = 0
]

这表明，流入任何封闭表面的电流之和必须为(0)，本质上这是电荷守恒的体现。由此，我们可以得出基尔霍夫电流定律：
基尔霍夫电流定律（KCL） ：流出任何结点或节点的电流必须等于流入的电流，即流入任何节点的电流代数和必须为零。

2. 材料电阻的推导

材料的电阻与其几何形状有关。以一个圆柱形导线形状的电阻为例，假设其导电通道的横截面积为(a)，长度为(l)，电阻率为(\rho)。

对于既遵循欧姆定律又满足集总物质理论的集总元件，我们可以从欧姆定律的微观形式(\vec{E} = \rho \vec{J})（其中(\vec{J})是电流密度，(\rho)是电阻率，(\vec{E})是电阻内任意点的电场）出发，来推导其电阻。

电流(i)通过一个端子进入电阻后，会均匀地通过导电通道。电流(i)可表示为：
[
i = \int \vec{J} \cdot d\vec{S}
]

电阻两端的电压(v)定义为：
[
v = \int \vec{E} \cdot d\vec{l}
]

将(v)和(i)的表达式代入欧姆定律(R = \frac{v}{i})，可得：
[
R = \frac{\int \vec{E} \cdot d\vec{l}}{\int \vec{J} \cdot d\vec{S}}
]

对于横截面积为(a)，长度为(l)，端子位于圆形端面的圆柱形导线电阻，通过圆柱对称性，上述方程可简化为：
[
R = \frac{El}{Ja}
]

由(\vec{E} = \rho \vec{J})可知(\frac{E}{J} = \rho)，所以最终得到：
[
R = \rho \frac{l}{a}
]

同理，对于长度为(l)，宽度为(w)，高度为(h)，端子位于面积为(wh)的一对表面上的长方体电阻，其电阻为：
[
R = \rho \frac{l}{wh}
]

3. 三角函数及其恒等式

三角函数在二阶线性电路的瞬态分析以及任何线性电路的正弦稳态分析中经常会遇到。常见的三角函数有(\cos(\theta))，(\sin(\theta))和(\tan(\theta))。

在单位圆上，若一个点绕圆的角位置是从(x)轴开始测量的角度(\theta)，则该点的(x)和(y)坐标分别为(\cos(\theta))和(\sin(\theta))，同时(\tan(\theta) \equiv \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)})。

以下是一些常见的三角函数恒等式：
- 负角公式 ：
- (\cos(-\theta) = \cos(\theta))
- (\sin(-\theta) = -\sin(\theta))
- (\tan(-\theta) = -\tan(\theta))
- 相位移动公式 ：
- (\cos(\theta \pm \frac{\pi}{2}) = \cos(\theta \mp \frac{3\pi}{2}) = \mp \sin(\theta))
- (\sin(\theta \pm \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta \mp \frac{3\pi}{2}) = \pm \cos(\theta))
- (\tan(\theta \pm \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\tan(\theta)})
- (\cos(\theta \pm \pi) = -\cos(\theta))
- (\sin(\theta \pm \pi) = -\sin(\theta))
- (\tan(\theta \pm \pi) = \tan(\theta))
- (\cos(\theta \pm 2\pi) = \cos(\theta))
- (\sin(\theta \pm 2\pi) = \sin(\theta))
- (\tan(\theta \pm 2\pi) = \tan(\theta))
- 和差公式 ：
- (\cos(\theta_1 \pm \theta_2) = \cos(\theta_1) \cos(\theta_2) \mp \sin(\theta_1) \sin(\theta_2))
- (\sin(\theta_1 \pm \theta_2) = \sin(\theta_1) \cos(\theta_2) \pm \cos(\theta_1) \sin(\theta_2))
- (\tan(\theta_1 \pm \theta_2) = \frac{\tan(\theta_1) \pm \tan(\theta_2)}{1 \mp \tan(\theta_1) \tan(\theta_2)})
- 乘积公式 ：
- (\cos(\theta_1) \cos(\theta_2) = \frac{1}{2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + \cos(\theta_1 + \theta_2)))
- (\sin(\theta_1) \cos(\theta_2) = \frac{1}{2} (\sin(\theta_1 - \theta_2) + \sin(\theta_1 + \theta_2)))
- (\sin(\theta_1) \sin(\theta_2) = \frac{1}{2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) - \cos(\theta_1 + \theta_2)))
- 半角和倍角公式 ：
- (\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}})
- (\sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}})
- (\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = S \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}})（其中(S = \begin{cases} +1, & \frac{\theta}{2} \text{ 在第一或第三象限} \ -1, & \frac{\theta}{2} \text{ 在第二或第四象限} \end{cases})）
- (\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta))
- (\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta))
- (\tan(2\theta) = \frac{2 \tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)})
- 平方公式 ：
- (\cos^2(\theta) = \frac{1}{2} (1 + \cos(2\theta)))
- (\sin^2(\theta) = \frac{1}{2} (1 - \cos(2\theta)))
- (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1)
- 其他公式 ：
- (A_1 \cos(\theta) + A_2 \sin(\theta) = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \cos(\theta - \tan^{-1}(\frac{A_2}{A_1})) = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \sin(\theta + \tan^{-1}(\frac{A_1}{A_2})))
- (A_1 \cos(\theta) - A_2 \sin(\theta) = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \cos(\theta + \tan^{-1}(\frac{A_2}{A_1})) = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \sin(\theta - \tan^{-1}(\frac{A_1}{A_2})))

3.1 三角函数的泰勒级数展开

三角函数还可以通过泰勒级数展开来表示：
- (\cos(\theta) = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots)
- (\sin(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots)
- (\tan(\theta) = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \frac{2\theta^5}{15} + \frac{17\theta^7}{315} + \frac{62\theta^9}{2835} + \cdots)

3.2 三角函数与(e^{j\theta})的关系

通过泰勒级数展开，我们可以得到(e^{j\theta})与三角函数的关系：
[
e^{\theta} = 1 + \frac{\theta}{1!} + \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^5}{5!} + \cdots
]
[
e^{j\theta} = 1 + \frac{j\theta}{1!} - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{j\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{j\theta^5}{5!} + \cdots = \cos(\theta) + j \sin(\theta)
]

由此还可以得到：
- (\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2})
- (\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j})
- (\tan(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{e^{j\theta} - e^{-j\theta}})

4. 复数

复数(z)的一般形式为(z = a + jb)，其中(a)和(b)是实数，(j)是虚数单位，满足(j^2 = -1)。(a)称为(z)的实部，(b)称为(z)的虚部，可以分别用实部函数(\Re(z))和虚部函数(\Im(z))来提取，即(a = \Re(z))，(b = \Im(z))，更一般地，(z = \Re(z) + j\Im(z))。

如果(\Im(z) = 0)，则(z)是纯实数；如果(\Re(z) = 0)，则(z)是纯虚数；否则，(z)是复数。

4.1 复数的模和相位

复数可以看作是二维复平面上的一个点，从原点到该点的距离(r)称为复数(z)的模，记为(|z|)；从实轴到该点所在半径的角度(\theta)称为复数(z)的相位，记为(\angle z)。即：
[
r = |z|
]
[
\theta = \angle z
]

根据几何关系，可得：
[
|z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2}
]
[
\angle z = \tan^{-1}(\frac{\Im(z)}{\Re(z)})
]

同时，也可以通过模和相位来表示复数的实部和虚部：
[
\Re(z) = |z| \cos(\angle z)
]
[
\Im(z) = |z| \sin(\angle z)
]

4.2 复数的极坐标表示

利用上述关系，复数(z)可以用极坐标形式表示为：
[
z = a + jb = r \cos(\theta) + jr \sin(\theta) = r(\cos(\theta) + j \sin(\theta)) = r e^{j\theta} = |z| e^{j\angle z}
]

4.3 复数的加减运算

复数的加减运算与实数类似，实部和虚部分别相加减。设(z_1 = a_1 + jb_1)，(z_2 = a_2 + jb_2)，则：
[
z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + j(b_1 + b_2)
]
[
z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + j(b_1 - b_2)
]

由于实部和虚部是沿着复平面的正交轴定义的，所以复数的加减运算在直角坐标形式下更为方便。

4.4 复数的乘除运算

复数的乘除运算也与实数类似，但需要注意(j^2 = -1)。例如，设(z_1 = a_1 + jb_1)，(z_2 = a_2 + jb_2)，则：
[
z_1 z_2 = (a_1 + jb_1)(a_2 + jb_2) = a_1 a_2 + ja_1 b_2 + ja_2 b_1 + j^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + j(a_1 b_2 + a_2 b_1)
]

在极坐标形式下，复数的乘除运算更为简便。设(z_1 = |z_1| e^{j\angle z_1})，(z_2 = |z_2| e^{j\angle z_2})，则：
[
z_1 z_2 = |z_1| |z_2| e^{j(\angle z_1 + \angle z_2)}
]
[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{j(\angle z_1 - \angle z_2)}
]

综上所述，这些知识在电路分析、信号处理等领域都有广泛的应用。通过掌握基尔霍夫定律、材料电阻的计算、三角函数及其恒等式以及复数的运算，我们可以更好地理解和解决相关问题。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示复数运算的选择：

graph TD;
    A[复数运算] --> B{选择运算类型};
    B -->|加减| C[直角坐标形式];
    B -->|乘除| D[极坐标形式];

以下是一个表格总结复数的不同表示形式和运算规则：
| 表示形式 | 表达式 | 运算规则 |
| ---- | ---- | ---- |
| 直角坐标形式 | (z = a + jb) | 加减：实部和虚部分别相加减；乘除：展开并利用(j^2 = -1)化简 |
| 极坐标形式 | (z = |z| e^{j\angle z}) | 乘除：模相乘除，相位相加减 |

通过这些知识和工具，我们可以更高效地进行电路分析和信号处理等工作。希望这些内容对你有所帮助！

电路基础：麦克斯韦方程、三角函数与复数知识详解

5. 复数的共轭与性质

5.1 复数的共轭

对于复数 (z = a + jb)，其共轭复数记为 (\overline{z})，定义为 (\overline{z}=a - jb)。例如，若 (z = 3 + 2j)，则 (\overline{z}=3 - 2j)。

共轭复数具有以下一些重要性质：
- 若 (z = \Re(z)+j\Im(z))，则 (\overline{z}=\Re(z)-j\Im(z))。
- (z\overline{z}=(a + jb)(a - jb)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2})，这一性质在计算复数的模的平方时非常有用。
- (\Re(z)=\frac{z + \overline{z}}{2})，(\Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2j})，可以通过复数及其共轭来提取其实部和虚部。

5.2 (e^{j\theta}) 的性质

(e^{j\theta}) 是一个非常重要的复数形式，它具有以下性质：
- 周期性 ：(e^{j(\theta + 2\pi)}=e^{j\theta})，因为 (\cos(\theta + 2\pi)=\cos(\theta)) 且 (\sin(\theta + 2\pi)=\sin(\theta))。
- 旋转性质 ：当一个复数 (z = r e^{j\theta}) 乘以 (e^{j\varphi}) 时，即 (z’=z\times e^{j\varphi}=r e^{j(\theta+\varphi)})，相当于在复平面上将复数 (z) 旋转了角度 (\varphi)。

6. 复数函数与时间

在电路分析中，经常会遇到随时间变化的复数函数。例如，一个正弦信号可以用复数形式表示为 (v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi))，可以写成复数形式 (V = V_m e^{j(\omega t+\varphi)})，这里 (V_m) 是幅值，(\omega) 是角频率，(\varphi) 是相位。

下面是一个简单的步骤说明如何处理复数函数与时间的关系：
1. 将正弦信号转换为复数形式 ：对于 (v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi))，写成 (V = V_m e^{j(\omega t+\varphi)})。
2. 进行复数运算 ：在复数域中进行加减乘除等运算。例如，若有两个信号 (v_1(t)=V_{m1}\cos(\omega t+\varphi_1)) 和 (v_2(t)=V_{m2}\cos(\omega t+\varphi_2))，转换为复数形式 (V_1 = V_{m1} e^{j(\omega t+\varphi_1)}) 和 (V_2 = V_{m2} e^{j(\omega t+\varphi_2)})，然后进行运算 (V = V_1+V_2)。
3. 转换回时域 ：运算完成后，取复数的实部得到时域信号。即 (v(t)=\Re(V))。

7. 数值示例

7.1 基尔霍夫定律的数值示例

假设有一个简单的电路，包含三个电阻 (R_1 = 10\Omega)，(R_2 = 20\Omega)，(R_3 = 30\Omega) 组成一个闭合回路，电源电压 (V = 60V)。
- 根据基尔霍夫电压定律（KVL），设回路电流为 (I)，则 (IR_1+IR_2+IR_3 = V)。
- 代入数值可得 (I(10 + 20+30)=60)，解得 (I = 1A)。
- 各电阻上的电压分别为 (V_1=IR_1 = 10V)，(V_2=IR_2 = 20V)，(V_3=IR_3 = 30V)，且 (V_1+V_2+V_3=10 + 20+30 = 60V)，满足 KVL。

7.2 复数运算的数值示例

已知 (z_1 = 3 + 4j)，(z_2 = 1 - 2j)。
- 加法运算 ：(z_1+z_2=(3 + 1)+j(4-2)=4 + 2j)。
- 乘法运算 ：
- (z_1z_2=(3 + 4j)(1 - 2j)=3-6j + 4j-8j^{2})。
- 因为 (j^{2}=-1)，所以 (z_1z_2=3-2j + 8=11 - 2j)。

8. 总结与应用

8.1 知识总结

• 基尔霍夫定律 ：KVL 用于分析电路中闭合回路的电压关系，KCL 用于分析节点的电流关系。
• 材料电阻 ：电阻与材料的几何形状和电阻率有关，公式为 (R=\rho\frac{l}{a})（圆柱形）或 (R=\rho\frac{l}{wh})（长方体）。
• 三角函数 ：包含众多恒等式，如负角公式、和差公式等，可用于简化电路中的正弦信号分析。
• 复数 ：有直角坐标和极坐标两种表示形式，不同形式适用于不同的运算，共轭复数有重要性质。

8.2 应用场景

这些知识在多个领域有广泛应用：
- 电路设计 ：在设计电路时，使用基尔霍夫定律来分析电路的电流和电压分布，确定元件参数。
- 信号处理 ：利用三角函数和复数来处理和分析正弦信号，如滤波、调制等。
- 通信系统 ：在通信系统中，复数用于表示和处理射频信号，提高信号传输的效率和质量。

以下是一个 mermaid 流程图，展示电路分析的一般步骤：

graph TD;
    A[电路分析] --> B{确定分析目标};
    B -->|电压电流| C[应用基尔霍夫定律];
    B -->|信号处理| D[使用三角函数和复数];
    C --> E[列出方程];
    D --> F[转换为复数形式];
    E --> G[求解方程];
    F --> H[进行复数运算];
    G --> I[得到结果];
    H --> I;

以下是一个表格总结不同知识的应用场景：
| 知识领域 | 应用场景 |
| ---- | ---- |
| 基尔霍夫定律 | 电路设计、故障排查 |
| 材料电阻 | 电阻元件选型、电路功耗计算 |
| 三角函数 | 信号处理、振荡电路分析 |
| 复数 | 交流电路分析、通信信号调制解调 |

通过掌握这些电路基础的知识，我们能够更好地理解和解决实际中的电路和信号处理问题。希望这些内容能帮助你在相关领域取得更好的成果！