58、正弦稳态：谐振电路的深入剖析

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于 2025-07-24 15:03:05 发布

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分类专栏：从零构建：模拟与数字电路基础文章标签：谐振电路品质因数Q 谐振频率

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正弦稳态：谐振电路的深入剖析

1. 谐振电路基础

谐振系统在其系统函数中具有形如 (s^{2}+2\alpha s + \omega_{o}^{2}) 的二次表达式，且具有复根。这种系统会呈现出振荡行为。例如，在一些电子设备中，这种振荡行为可用于信号的筛选和处理。

通过阻抗方法分析谐振电路，能将其视为高度选择性的滤波器，这与之前时域计算相互补充。滤波器的选择性与电路的品质因数 (Q) 相关。品质因数 (Q) 越高，滤波器的选择性越强，就像一个更精准的筛子，能更好地筛选出特定频率的信号。

谐振电路的性能可通过频率响应来概括，频率响应包括幅度和相角随频率变化的曲线。以下几个约束条件有助于我们直观理解二阶谐振系统频率响应（包括幅度和相位）的形状：
- 低频渐近线：反映了电路在低频时的特性。
- 高频渐近线：体现了电路在高频时的表现。
- 谐振频率处的响应幅度和相位：是谐振电路的关键特征点。

2. 品质因数 (Q) 的多种定义

品质因数 (Q)、谐振频率 (\omega_{o}) 和阻尼因子 (\alpha) 是表征谐振系统行为的三个关键参数。可以通过将谐振系统函数写成标准形式，直接从二次项中确定 (\alpha) 和 (\omega_{o})，而 (Q) 可由 (Q = \frac{\omega_{o}}{2\alpha}) 得到。

带宽和有阻尼谐振频率 (\omega_{d}) 也是谐振系统中的重要参数，分别由以下公式给出：
- 带宽 (= 2\alpha)
- (\omega_{d}=\sqrt{\omega_{o}^{2}-\alpha^{2}})

在高 (Q) 电路中，(\omega_{d}) 的值接近 (\omega_{o})。

品质因数 (Q) 有三种不同的定义：
- 基于无阻尼谐振频率与阻尼因子的比值：(Q = \frac{\omega_{o}}{2\alpha})（在瞬态激励情况下）。
- 基于频率响应中谐振峰的宽度：(Q=\frac{\omega_{o}}{\omega_{2}-\omega_{1}})，其中 (\omega_{2}-\omega_{1}) 为带宽，(\omega_{1}) 和 (\omega_{2}) 是响应幅度降至峰值的 (0.707) 倍时的频率。
- 基于谐振时存储能量与每弧度平均耗散能量的比值：(Q = \frac{Stored\ energy}{Average\ energy\ dissipated\ per\ radian})。

在二阶电路中，这三种定义得出的值相同，但在高阶电路中会略有差异。

3. 不同结构谐振电路的特性

3.1 并联 RLC 谐振结构

在并联 RLC 谐振结构中，并联组合两端的电压在谐振频率 (\omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}}) 处达到最大值。阻尼因子 (\alpha=\frac{1}{2RC})，品质因数 (Q = \frac{\omega_{o}}{2\alpha}=R\sqrt{\frac{C}{L}})，带宽 (Bandwidth = 2\alpha=\frac{1}{RC})。

3.2 串联 RLC 谐振结构

在串联 RLC 谐振结构中，元件中的电流在谐振频率 (\omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}}) 处达到最大值。阻尼因子 (\alpha=\frac{R}{2L})，品质因数 (Q = \frac{\omega_{o}}{2\alpha}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}})，带宽 (Bandwidth = 2\alpha=\frac{R}{L})。

带宽与谐振频率通过品质因数相关联，即 (Q=\frac{Resonant\ frequency}{Bandwidth})，所以 (Q) 越高，带宽越窄，选择性越高。

4. 谐振电路中的储能情况

以串联谐振电路为例，假设电压源为余弦波 (v_{i}=V_{i}\cos(\omega t))，当电路在谐振频率 (\omega = \omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}}) 下驱动时，电流的复振幅 (I=\frac{V_{i}}{R})。此时，电容电压 (V_{c}=\frac{I}{j\omega_{o}C}=-jV_{i}\left(\frac{\omega_{o}L}{R}\right))，电感电压 (V_{l}=j\omega_{o}LI = jV_{i}\left(\frac{\omega_{o}L}{R}\right))，且 (|V_{c}| = |V_{l}| = QV_{i})。

虽然电感和电容电压之和为零，但在高 (Q) 谐振电路中，电容或电感上的电压可能很大，若超过元件的额定电压，可能会损坏元件。不过，这一原理也用于测量电感的 (Q) 值的仪器中。

在谐振时，电容的储能 (w_{C}=\frac{1}{4}CV_{i}^{2}Q^{2}(1 - \cos(2\omega_{o}t)))，电感的储能 (w_{L}=\frac{1}{4}\frac{L}{R^{2}}V_{i}^{2}(1 + \cos(2\omega_{o}t)))，系统的总储能 (w_{total}=w_{L}+w_{C}=\frac{1}{2}\frac{L}{R^{2}}V_{i}^{2}) 是恒定的。能量在电感和电容之间以两倍输入频率来回转换。若电路不在谐振频率下驱动，储能将不再恒定，需要从电源获取无功功率。

5. 高 (Q) RLC 电路的时域与频域行为示例

考虑一个 RLC 电路，使用阻抗方法，系统函数 (|H_{c}(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(1 - \omega^{2}LC)^{2}+(\omega RC)^{2}}})，串联谐振电路的 (Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}})。

当 (R = 50\Omega) 时，(Q = 25)，高频 (Q) 值意味着频率响应会有明显的峰值。从时域角度看，若输入为零且电容有初始电压，电路会振荡约 25 个周期才衰减到不可观测的水平。

当 (R = 500\Omega) 时，(Q = 2.5)，频率响应不会有明显的峰值，时域中电容初始电压引起的瞬态响应会很快消失。

以下是不同 (R) 值下电路特性的对比表格：
| (R) 值 ((\Omega)) | (Q) 值 | 频率响应 | 时域响应 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 50 | 25 | 有明显峰值 | 振荡约 25 个周期后衰减 |
| 500 | 2.5 | 无明显峰值 | 瞬态响应快速消失 |

6. 谐振电路的应用——滤波器

谐振系统是二阶滤波器的基础，包括低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）和带阻滤波器（BSF）。通过不同的电路连接方式，可以实现不同类型的滤波器功能。例如，从电容两端取输出的电路可构成低通滤波器，它允许低频信号通过，而阻挡高频信号。

以下是几种滤波器的简单示意图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([输入信号]):::startend --> B(RLC 电路):::process
    B --> C(低通滤波器输出):::process
    B --> D(高通滤波器输出):::process
    B --> E(带通滤波器输出):::process
    B --> F(带阻滤波器输出):::process

7. 练习题与问题

为了更好地理解和掌握谐振电路的知识，下面给出一些练习题和问题：
- 练习题 ：
- 对于给定的电路，确定 R - L 并联组合的等效电路，并找到使总阻抗为纯电阻的串联阻抗及该电阻的值。
- 已知并联 RLC 网络的参数，求谐振频率、品质因数、带宽等参数。
- 根据并联谐振 RLC 电路的电压响应，求电路元件的参数。
- 设计一个无损耦合网络，使功率在特定频率下最大程度地传输到天线。
- 问题：
- 分析不同参数下电路的 Bode 图和阻抗特性。
- 计算电路的传递函数、等效阻抗等。
- 根据电路的响应特性，确定元件的参数和电路的类型。

通过解决这些练习题和问题，可以加深对谐振电路的理解和应用能力。

正弦稳态：谐振电路的深入剖析

8. 练习题与问题详解

8.1 练习题解答

练习题 1 ：
- 对于 R - L 并联组合，设其等效电路为电阻 (R’) 与电感 (L’) 串联。根据并联阻抗公式 (Z_1=\frac{R\times j\omega L}{R + j\omega L})，通过一系列复数运算（将分子分母同乘 (R - j\omega L)）可得 (Z_1=\frac{R\omega^{2}L^{2}}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}+j\frac{R^{2}\omega L}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}})，从而确定 (R’=\frac{R\omega^{2}L^{2}}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}})，(L’=\frac{R^{2}L}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}})。
- 要使总阻抗 (Z_2) 为纯电阻，设串联阻抗 (Z = R_{add}+jX_{add})，则 (Z_2 = Z_1+Z)，令虚部为零即可求出 (Z) 及纯电阻值。
练习题 2 ：
已知并联 RLC 网络 (R = 1k\Omega)，(L=\frac{1}{12}H)，(C=\frac{1}{3}\mu F)。
- 谐振频率 (\omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{12}\times\frac{1}{3}\times10^{- 6}}}=6\times10^{3}rad/s)。
- 频率 (f_{o}=\frac{\omega_{o}}{2\pi}=\frac{6\times10^{3}}{2\pi}\approx955Hz)。
- 阻尼因子 (\alpha=\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2\times10^{3}\times\frac{1}{3}\times10^{-6}} = 1500)。
- 品质因数 (Q=\frac{\omega_{o}}{2\alpha}=\frac{6\times10^{3}}{2\times1500}=2)。
- 有阻尼谐振频率 (\omega_{d}=\sqrt{\omega_{o}^{2}-\alpha^{2}}=\sqrt{(6\times10^{3})^{2}-1500^{2}}\approx5809.47rad/s)。
- 半功率频率 (\omega_{1}=\omega_{o}-\alpha=6\times10^{3}-1500 = 4500rad/s)，(\omega_{2}=\omega_{o}+\alpha=6\times10^{3}+1500 = 7500rad/s)，带宽 (\beta=\omega_{2}-\omega_{1}=3000rad/s)。
练习题 3 ：
已知并联谐振 RLC 电路由电流源 (i(t)=0.2\cos\omega t) 驱动，(\omega = 2500rad/s) 时 (V_{max}=80V)，(\omega = 2200rad/s) 时 (V = 40V)。
- 在谐振频率 (\omega_{o}=2500rad/s) 时，(Z = R)，(V_{max}=I\times R)，(I = 0.2A)，所以 (R=\frac{V_{max}}{I}=\frac{80}{0.2}=400\Omega)。
- 由 (|Z|=\frac{R}{\sqrt{1 + Q^{2}(\frac{\omega}{\omega_{o}}-\frac{\omega_{o}}{\omega})^{2}}})，当 (\omega = 2200rad/s)，(V = 40V)，(I = 0.2A)，(|Z|=\frac{V}{I}=200\Omega)，代入可得 (Q = 3.33)。
- 又 (Q=\omega_{o}RC)，(C=\frac{Q}{\omega_{o}R}=\frac{3.33}{2500\times400}=3.33\times10^{-6}F)，(L=\frac{1}{\omega_{o}^{2}C}=\frac{1}{2500^{2}\times3.33\times10^{-6}}\approx0.048H)。
练习题 4 ：
对于电桥电路，要使 (v_1 - v_2 = 0)，根据电桥平衡条件列出等式，经过化简可得 (L=\frac{R_1R_2C}{1+\omega^{2}R_2^{2}C^{2}})。

8.2 问题解答

问题 1 ：
- 对于串联谐振电路，其阻抗 (Z = R + j(\omega L-\frac{1}{\omega C}))，传递函数 (H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{R + sL+\frac{1}{sC}}=\frac{1}{s^{2}LC + sRC+1})。
- 绘制 Bode 图时，低频渐近线：当 (\omega\to0)，(|H(j\omega)|\to1)；高频渐近线：当 (\omega\to\infty)，(|H(j\omega)|\to0)。
- 谐振频率定义为分母中 (s^{2}) 和 (s^{0}) 项系数相等时的频率，即 (\omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}})，(Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}})。
问题 2 ：
- 当 (R = L = C = 1) 时，(Z = R + j(\omega L-\frac{1}{\omega C})=1 + j(\omega-\frac{1}{\omega}))，谐振频率 (\omega_{o}=1rad/s)。
- 当 (R = 1)，(L = C = 2) 时，(Z = 1 + j(\omega\times2-\frac{1}{2\omega}))，谐振频率 (\omega_{o}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{2\times2}} = 0.5rad/s)。
- 对比可知，改变 (L) 和 (C) 的值会改变谐振频率，而 (R) 主要影响带宽。

9. 谐振电路在实际中的重要性及拓展思考

谐振电路在电子工程领域有着广泛的应用，除了前面提到的滤波器，还在通信、电力系统等方面发挥着重要作用。

在通信领域，谐振电路可用于调谐电路，如 AM 收音机的调谐器，通过调整电容值改变谐振频率，从而选择不同频率的电台信号。在电力系统中，谐振可能会导致过电压或过电流，对设备造成损坏，但合理利用谐振也可以提高功率传输效率。

以下是谐振电路在不同领域应用的简单流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([电子系统]):::startend --> B(通信):::process
    A --> C(电力系统):::process
    A --> D(信号处理):::process
    B --> B1(调谐电路):::process
    B --> B2(滤波器):::process
    C --> C1(功率传输):::process
    C --> C2(过电压保护):::process
    D --> D1(信号筛选):::process
    D --> D2(频率合成):::process

对于谐振电路的进一步研究，可以考虑以下几个方向：
- 高阶谐振电路的特性和应用，高阶电路可以实现更复杂的滤波功能。
- 有源谐振电路的设计，有源元件可以提供增益，改善电路性能。
- 谐振电路在新能源领域的应用，如太阳能发电系统中的最大功率点跟踪。

通过对谐振电路的深入学习和研究，我们可以更好地理解和应用这一重要的电路概念，为电子工程领域的发展做出贡献。

总之，谐振电路是电子工程中一个非常重要的概念，它涉及到频域和时域的分析，品质因数、谐振频率等参数的计算，以及在滤波器等方面的应用。通过练习题和问题的解答，我们可以更深入地掌握谐振电路的知识，为实际应用打下坚实的基础。