25、预测误差方法：获得白残差以改进过程模型

预测误差方法：获得白残差以改进过程模型

1. 引言

在工业过程识别中，预测误差方法（Prediction Error Method, PEM）是一种强大的工具，旨在通过调整模型参数使得预测误差（也即白残差）尽可能小，从而获得更准确的过程模型。与最小二乘法不同，预测误差方法不仅能够处理线性过程，还能克服最小二乘法的偏差问题，提供一致且高效的估计。本篇文章将详细介绍预测误差方法的理论基础、实现步骤及其在工业过程识别中的应用。

2. 广义最小二乘法(GLS)方法

广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是预测误差方法的一种扩展形式，它假设真实过程包含一个自回归（AR）过程，并通过最小化损失函数来估计模型参数。具体来说，GLS方法假设真实过程由以下方程描述：

[ y(t) = \frac{B(q)}{A(q)} u(t) + \frac{1}{D(q)} v(t) ]

其中 ( A(q) )、( B(q) ) 和 ( D(q) ) 是多项式，( v(t) ) 是白噪声。为了估计这些参数，我们引入一个损失函数：

[ V(\theta) = \sum_{t=1}^{N} e^2(t, \theta) ]

其中 ( e(t, \theta) ) 是预测误差。GLS方法通过最小化这个损失函数来确定模型参数。为了实现这一点，GLS方法采用了迭代算法，具体步骤如下：

1. 初始化 ：选择初始参数 ( \theta_0 )。
2. 计算残差 ：使用当前参数计算残