24、使用相关技术-工具变量(IV)方法在系统识别中的应用

使用相关技术-工具变量(IV)方法在系统识别中的应用

1. 工具变量方法的引入

在系统识别中，最小二乘法（LS）因其简单性和广泛应用而备受青睐。然而，LS方法在处理闭环数据时可能会产生有偏估计，尤其是在存在干扰或模型阶数较低的情况下。为了克服这一问题，工具变量（IV）方法被提出，它通过引入与输入相关但与方程扰动不相关的信号向量 ( Z(t) ) 来改进参数估计。

2. 工具变量方法的基本原理

工具变量方法的核心思想是使用一个工具变量向量 ( Z(t) )，该向量与输入信号 ( u(t) ) 相关，但与方程扰动 ( e(t) ) 不相关。具体来说，假设我们有一个线性过程模型：

[ y(t) = G(q)u(t) + v(t) ]

其中 ( G(q) ) 是传递函数，( v(t) ) 是输出干扰。通过引入工具变量 ( Z(t) )，我们可以尝试估计参数，使得估计结果更加准确和一致。

2.1 工具变量估计的推导

考虑方程误差模型：

[ y(t) = \phi^T(t)\theta + e(t) ]

其中 ( \phi(t) ) 是数据向量，( \theta ) 是参数向量，( e(t) ) 是方程误差。为了消除偏差，我们使用工具变量 ( Z(t) ) 来估计参数。具体步骤如下：

1. 定义工具变量 ：选择一个与输入 ( u(t) ) 相关但与方程扰动 ( e(t) ) 不相关的工具变量 ( Z(t) )。
2. 相关性计算 ：利用 ( Z(