线性代数归纳(二)

二、矩阵

（一）矩阵的概念及其类型：

1.由m x n 个数aij排成的m行n列并由方括号括起来的矩形鼠标，称为m x n矩阵。

2.有以下这么几种特殊矩阵：

（1）当 m = n 时，矩阵A称之为n阶方阵。

（2）当 m = 1 时，矩阵A称为行矩阵。

（3）当 n = 1 时，矩阵A称为列矩阵。

（4）当所有元素为 0 时，矩阵A称为零矩阵，一般记为0mn或0矩阵。

（5）若有A矩阵，其对角线上的元素全为1，其余元素全为0，则称之为单位矩阵，记作En或E，单位矩阵与任意矩阵的乘积仍为任意矩阵的原型。

（6）对角矩阵：矩阵A中除了主对角线上的元素不全为0，其余元素全为0。

（7）数量矩阵：就是一种特殊的对角矩阵：其主对角线上的元素全部相等且不为0。

（8）上下三角矩阵：与上下三角行列式同理。

（9）对称矩阵与反对称矩阵：满足aij=aji的矩阵，则为对称矩阵，即A的转置矩阵＝A，那么称A为对称矩阵，若A的转置矩阵＝-A 则称A为反对称矩阵，且反对称矩阵的主对角线上的元素全为0。

（10）正交矩阵：如果n阶方阵A满足A×A的转置矩阵=A的转置矩阵×A=E，那么称A为正交矩阵。

（11）阶梯型矩阵：满足条件：1.矩阵的零行（即所有元素为零的行）位于矩阵的最下方。2.非零行的首个不为零元素的列标自顶而下随行标增大而增大（即若第一行第二列元素为首个不为零的元素，那么后面行数中必须满足首个不为零的元素在第二列往后）。

（12）满秩矩阵：若某n阶方阵的秩等于n，那么该方阵称为满秩矩阵。

（二）矩阵的运算：

1.矩阵的加法： 只有同种类型的矩阵 (即相同行数相同列数) 才可以进行矩阵的相加