nyoj 571 整数划分(三)

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本文详细解析了整数划分的经典问题，包括将整数n划分为若干正整数之和的不同方式及其计数方法，涉及完全背包、01背包等算法，并提供了具体的实现代码。

整数划分(三)

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难度：5

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行：将n划分成若干个奇正整数之和的划分数。
第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行：打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

--- 整数划分解报告 ---- By Debugcool
-------------------------------------------------------
1.问题描述：
    给定一个正整数N和K

    1.> 将n划分成若干正整数之和的划分数。
    2.> 将n划分成k个正整数之和的划分数。
    3.> 将n划分成最大数不超过k的划分数。
    4.> 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
    5.> 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

2.问题分类：总的来说这些都是背包问题；

第一个问：就是一个完全背包，背包有 1 --- N 种，第 i 种背包的重量为 i ，价值为 i ；这很好解决：

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];
其中 dp[j] 是用前 i 个数能构成 j 的种类数，则结果就为 dp[N]

看完这个问题了，那么第3个问就知道了，即用前 K 种背包来装所得结果，只需把第一层循环的 i <= N 改为 i <= K 即可；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= K;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   结果同样为 dp[N] ;

那么第四个问呢，想想是奇数，那么 i = 2，4，6，…… 等等值就不能取了，因为这些背包种类不合要求，这很简单啊 i++ 改为 i += 2 不就行了；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i+=2)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   结果同样为 dp[N] ;

再看看第五个问，若干个不同的？？？想到了什么，就是一种背包最多只能用一次？？？这是什么，经典的 01背包啊，与第一个问的不同就是第二层循环的顺序而已；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = n;j >= i ;j--)
                dp[j] += dp[j-i];

最后我们来思考第二个问：

   要求只要 K 个，这怎么办呢？？？想想特殊情况…… 如果 K = 1 呢，只能是 N 咯，若果 N = 0 呢，结果只能是 0 中可能啊，那同样N < K 的话，不可能分啊结果为 0 ，好，特殊的考虑完了，那么我们再考虑，分的结果中有没有 1 ，如果有那么就把剩下的 N - 1 分成 K - 1 份，如果没有呢，那么我们先拿出 K 份给每一堆一个1，再把剩下的 N - K 分成 K 份就行了啊，好了，至此，递归方法出来了：

int work(int n,int k)
{
    if (k == 1)
        return 1;
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n < k)
        return 0;
    return work(n-k,k) + work(n-1,k-1);
}

--------------------------------
总结：背包问题是基础啊~~~

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[55][55],dp1[55];
int part1(int n)
{
    memset(dp1,0,sizeof(dp1));
    dp1[0]=1;
    for(int i = 1 ; i <= 55 ; i++)
    for(int j = i ; j <= 55; j++ )
        dp1[j]+=dp1[j-i];
    return dp1[n];
}
int part2(int n,int m)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i = 1 ; i <= 55 ;i++)
    for(int j = 0 ; j <= i ; j++)
    dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];
    return dp[n][m];
}
int part3(int n,int m)//完全背包
{
    memset(dp1,0,sizeof(dp1));
    dp1[0]=1;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
    for(int j = i ; j <= 55 ; j++)
        dp1[j]+=dp1[j-i];
    return dp1[n];
}
int part4(int n,int m)//完全背包，附加条件i为奇数
{
    memset(dp1,0,sizeof(dp1));
    dp1[0]=1;
    for(int i = 1 ; i <= 55 ; i+=2)
    for(int j = i ; j <= 55 ; j++)
        dp1[j]+=dp1[j-i];
    return dp1[n];
}
int part5(int n,int m)//01背包
{
    memset(dp1,0,sizeof(dp1));
    dp1[0]=1;
    for(int i = 1 ; i <= 55 ;i++)
    for(int j = 55; j >= i ; j--)
    dp1[j]+=dp1[j-i];
    return dp1[n];
}
int main()
{
    int a,c;
    while(scanf("%d%d",&a,&c)!=EOF){
        printf("%d\n",part1(a));
        printf("%d\n",part2(a,c));
        printf("%d\n",part3(a,c));
        printf("%d\n",part4(a,c));
        printf("%d\n",part5(a,c));
        puts("");
    }
    return 0;
}