排列、组合、蓄水池抽样

排列

从{1，2，3，4，5} 5个元素中取3个数排列。第一次取有5种情况，拿出一个数后，第二次取有4种情况，第三次取有3中情况。所以5中取3的排列共有
5*(5-1)(5-2) = 60种情况，由{1，2，3} 3个数的排列由32*1=6中。也就是每一种组合有6种排列。

组合

所以{1，2，3，4，5}中取三个数的组合为
$$\frac{5\ast (5-1)\ast (5-2)}{3\ast (3-1)(3-2)}=10$$
推广到一般情况，从N个元素中取K个元素的组合个数，记作C(N,K)，则有
$$C(N，K)=\frac{N\ast (N-1)\ast (N-2)...\ast (N-(K-2))\ast (N-(K-1))}{K\ast (K-1)\ast (K-2)...\ast 3\ast 2\ast 1}$$

其中，含有某个元素m的组合个数，取出m后，还剩N-1个元素，从中要抽取另外K-1个元素，和m组成组合。所以C(N,K)个组合中含有某个确定元素m的组合个数为C(N-1,K-1),那么对于N个元素取出K个元素，某个元素被抽中的概率
$$P=\frac{C(N-1,K-1)}{C(N,K)}=\frac{K}{N}$$

蓄水池抽样

1	2	3	4	5	6	…	K	K+1	…	N-1	N

使用均匀随机数生成函数rand()，从N个元素中抽取K个元素。要求每个元素被抽中的概率符合$$\frac{K}{N}$$
为了便于理解，下面的说明违背了程序编写的传统，数组索引不从0开始，而从1起始。
从第K+1个元素开始处理，

第K+1个元素，int index = rand()%(K+1) + 1; index的取值范围是[1,K+1],如果 index 的取值在[1,K]上,则 把第K+1个元素与index位置的元素交换。这个事件发生的概率为$$\frac{K}{K+1}$$
第K+2个元素，int index = rand()%(K+2) + 1; index的取值范围是[1,K+2],如果 index 的取值在[1,K]上,则 把第K+2个元素与index位置的元素交换。这个事件发生的概率为$$\frac{K}{K+2}$$
第K+3个元素，int index = rand()%(K+3) + 1; index的取值范围是[1,K+3],如果 index 的取值在[1,K]上,则 把第K+3个元素与index位置的元素交换。这个事件发生的概率为$$\frac{K}{K+3}$$
…
…
第N-1个元素，int index = rand()%(N-1) + 1; index的取值范围是[1,N-1],如果 index 的取值在[1,K]上,则 把第N-1个元素与index位置的元素交换。这个事件发生的概率为$$\frac{K}{N-1}$$
第N个元素，int index = rand()%(N) + 1; index的取值范围是[1,N],如果 index 的取值在[1,K]上,则 把第N个元素与index位置的元素交换。这个事件发生的概率为$$\frac{K}{N}$$

index	1	2	3	4	5	6	…	K	K+1	…	N-1	N
p									$$\frac{K}{K+1}$$		$$\frac{K}{N-1}$$	$$\frac{K}{N-2}$$

证明，经过这轮操作后，N个元素中每个元素在前K个的概率均符合要求，分两种情况讨论。
1，索引为m的元素，m<=K，想要在处理后仍然在前K个，必须满足，所有的随机生成int index全不为m,淘汰是个单向过程，一旦被从前K个剔除，就无法回到前K个中。所以
$$P=\frac{K}{K+1}\ast \frac{K+1}{K+2}\ast \frac{K+2}{K+3}\ast \frac{N-2}{N-1}\ast \frac{N-1}{N}=\frac{K}{N}$$

2,索引为m的元素，m>K,在处理前不在前K个元素，所以它被抽中必须要满足处理到它时的计算出的index值小于等于K，这样m元素就被交换到了前K个，且在处理后面的元素是，m元素没被交换出去。
$$P=\frac{K}{m}\ast \frac{m}{m+1}\ast \frac{m+1}{m+2}\ast \frac{N-2}{N-1}\ast \frac{N-1}{N}=\frac{K}{N}$$
证的，N中某个任意元素经过这个操作，位置在K前个的概率等于，N个元素取出K个元素，某个元素被抽中的概率。

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000;
const int K = 100;
int main(int argc, char *argv[])
{
    vector<int> v;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        v.push_back(i);
    }
    for(int i=K;i<N;i++)
    {
        int index = rand()%(i+1);
        if(index<K)
        {
            int temp = v[index];
            v[index] = v[i];
            v[i] = temp;

//            cout<<index<<"  "<< v[index] << " "<<v[i]<<endl;
        }

    }
    for(int i=0;i<K;i++)
    {
        cout<<v[i]<<endl;
    }

    return 0;
}