单源最短路深度分析

单源最短路深度分析

一．前言：

1.定义：

E：边的数量

V：点的数量

S：源点

稠密图：E=θ（V*V）

稀疏图：E=θ（V）

圈：代表从自身出去至少一个点再回到自身（eg：v->a->...->v）

环：代表有自身到自身的路线（eg：v->v）。

 

2.此分析，Map（地图）采用邻接表存储，邻接矩阵空间时间复杂度均上升一个数量级。

 

3.所有点到源点的距离用数组存储，记为Di（意为i点到源点S距离）。

 

4.此分析主要分析SPFA、Dijkstra和拓扑排序在各种情况下的选择问题，不考虑Bellman-ford算法（实在太坑爹）。

 

5.不考虑负圈（更本不存在最短路。。。），亦不考虑环。

 

PS：拓扑排序在最短路方面的主要功能为以O（E+V)的时间判断有无圈圈，在此使用是因为在无圈且出发点为源点的情况下其性能远超Dijkstra和SPFA。

PS：不要迷信SPFA在任何时候都快，说它是最快的算法是因为SPFA可以根据各种情况作出调整，使其成为最快。

 

二．Dijkstra算法简介：

1.算法流程：

初始化所有点到源点S的距离为无穷大，初始化源点S到源点S的距离为0。

在Map中找到所有点距离源点S最近的未被锁定（代表此点并未在之前被使用）的节点K，用K更新所有与K相连的节点并锁定K（代表K被使用过），知道所有点都被锁定，算法结束。

 

2.时间复杂度：

O（V*V+E）,第一个V代表总共要锁定V个点，第二个V代表要找到距离源点S最近的点需要V次（也就是扫过所有的点）。并此算法保证每条边只用一次。

 

3.空间复杂度：

O（Max（V,E））

 

4.优点：

编程快，如果采用邻接矩阵存Map，则只需短短几行。

 

5.缺点：

无法处理带负权的边

 

三．SPFA算法简介

1.算法流程：

此算法需要队列。

初始化所有点到源点S的距离为无穷大，初始化源点S到源点S的距离为0，将源点S进队。

如果队列非空，则将队首元素（节点K）出队，更新与K相连的所有节点ai（0<=i<=与K相连的节点数），如果ai被更新并且不在队列中，则将ai入队。直到队列为空，算法结束。

 

2.时间复杂度：

O（T*V+T*E），此算法不保证每个点只出队列一次，所以T代表每个点最多出队列的次数（不大于V，一般情况T都是常数级）。因每个点多次出队，所以每条边就不止使用一次，

 

3.空间复杂度：

O（Max（V,E））

 

4.优点：

BFS经典算法；

可处理带负边的各种图；

可找到负圈，如果节点K的出队次数大于V，则必然存在负圈

 

5.缺点：

在稠密图中，尤其是带负权的图中，T很可能会退化到V，使其时间复杂度上升一个数量级；不带负权的图中，T也可能发生严重退化。

 

四．拓扑排序算法简介（仅能在无圈且出发点为源点的情况下使用）

1.算法流程

此算法需要队列。

此算法需要维护一个入度数组Ri，代表第i个节点有几条入边（比如v->w，则w有一个入边v，Rw至少为1）。

初始化所有点到源点S的距离为无穷大，初始化源点S到源点S的距离为0，初始化所有点的入边数Ri，将Ri为0的节点加入队列。

如果队列非空，则将队首元素（节点K）出队，更新与K相连的所有节点ai（0<=i<=与K相连的节点数），在Map上删去K点以及K的出边，同时Ri减1（不用显式的删除K和K的出边，Ri减1就相当于删除操作），如果Ri==0，则将节点i加入队列。直到队列为空，算法结束。

 

2.时间复杂度：

O（V+E），此算法保证每个节点、每条边使用一次。

 

4.空间复杂度：

O（Max（V,E））

 

5.缺点：

无法处理带圈图；

无法处理当源点非起始点之一的图（或者删除所有源点S到不了的点及其出边）。

 

五．SPFA算法优化：

为什么只优化SPFA算法？因为SPFA算法可以优化出Dijkstra和拓扑排序，甚至更好。

 

1.SLF优化：

设队首元素为i，队列中要加入的元素为j，当Dj<=Di时加到队首，反之加到队尾。

虽不改变时间下界，但经验证明能提速30%以上。

 

2.LLL优化（极不常用，在此仅介绍）：

维护队列中所有点到源点的平均值d，设队首元素为i，每次出队时，当Di>d时，将队首元素移至队尾，否则出队。

 

3.优先队列的普通实现：

入队O（1），出队O（V）。

此优化使SPFA在Dijkstra算法占优的图中具有和Dijkstra算法同等时间下界（但速度绝对比Dijkstra快）。（原理：在不含负边的图中，从优先队列中出去的点再也不会进入队列，这和Dijkstra的锁点效果一样）

 

4.优先队列的堆实现：

入队O（lgV），出队O（lgV）.

在此推荐使用配对堆。

如果使用二叉堆，需要考虑当更新优先队列中的节点i的最短距离时，需要调整节点i在二叉堆中的位置。

 

5.加上入度数组的优化：

更新节点i后，当i的入度为0时再入队（呃，好吧，思路一样，其实就是拓扑排序……）

 

六．算法选择：

1.无圈图：

      a) 源点是出发点之一：

               i. 拓扑排序：O（V+E）=O（E）

               ii. SPFA+入度数组：O(V+E)=O(E)

      b) 其余与有圈图一样。

 

2.有圈图：

      a) 稠密图：

                i. 无负边：

                       1. Dijkstra：O（V*V+E）=O(E)。

                       2. SPFA+优先队列的普通实现+SLF优化（推荐）：O（V*V+E）=O(E)。

                ii. 有负边：

                       1. SPFA+优先队列的普通实现+SLF优化：O(T*V*V+T*E)=O(V*E)，T退化到V。

        b) 稀疏图：

               i. 无负边：

                       1. SPFA+优先队列的堆实现：O(V*lgV+E*lgV)=O(E*lgV)。

               ii. 有负边：

                       1. SPFA+优先队列的堆实现：O(T*V*lgV+T*E*lgV)=O(E*lgV)，T保持常数级。