6.2 动态规划与贪心算法：在序列对齐与优化中的应用

6.2 动态规划与贪心算法：在序列对齐与优化中的应用

在解决复杂的组合优化问题时，算法的设计范式至关重要。动态规划和贪心算法是两种经典且广泛应用的算法设计技术，它们为具有特定结构的问题提供了系统化的求解框架。动态规划通过将原问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而高效地解决具有最优子结构的问题。贪心算法则采取一种局部最优的逐阶段选择策略，期望通过一系列局部最优决策达到全局最优。这两种算法在人工智能的多个领域，特别是序列分析（如生物信息学、自然语言处理）和组合优化中有着深刻的应用。本节将系统阐述两种算法的原理、适用条件与设计步骤，并以序列对齐和经典优化问题为例，剖析其具体应用及效能。

6.2.1 动态规划：基于最优子结构与重叠子问题的求解

动态规划是一种通过将复杂问题分解为相对简单的子问题来求解的数学优化方法。其核心思想是记忆化，即保存已解决子问题的答案，在后续需要时直接查表，避免重复计算。

1. 适用条件：一个问题适合用DP求解，通常需要满足两个关键性质：

   • 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。即，可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。
   • 重叠子问题：在递归求解过程中，不同的递归路径会多次遇到相同的子问题。如果没有重叠子问题，则分治法更为合适。

2. 设计步骤：

   • 定义状态：用一组参数（通常与问题规模相关）来刻画一个子问题。状态的定义是DP设计的核心，应能完整描述子问题并易于转移。
   • 确定状态转移方程：建立不同状态之间的递推关系，即如何从较小的子问题的解推导出较大子问题的解。这通常对应一个递归关系式。
   • 设置边界条件：确定最小子问题（基线情况）的解，作为递推的起点。
   • 确定计算顺序：按照合适的顺序（通常是自底向上）计算所有状态，确保在计算一个状态时，其所依赖的子状态已被计算并存储。
   • 构造最优解：在计算过程中记录额外的决策信息，以便在求出最优值后能回溯构造出具体的解。

3. 经典示例：编辑距离：编辑距离（Levenshtein距离）是衡量两个字符串相似度的经典DP问题。给定字符串 $A[\mathrm{1..}m]$ 和 $B[\mathrm{1..}n]$，以及插入、删除、替换操作的代价（通常为1）。定义状态 $dp[i][j]$ 为将 $A$ 的前 $i$ 个字符转换为 $B$ 的前 $j$ 个字符所需的最小编辑代价。

   • 状态转移方程：
     $$dp[i][j]=\min \{\begin{array}{ll}dp[i-1][j]+{\text{cost}}_{\text{del}}& \text{(删除A[i])}\\ dp[i][j-1]+{\text{cost}}_{\text{ins}}& \text{(}\\ dp[i-1][j-1]+{\text{cost}}_{\text{sub}}(A[i],B[j])& \end{array}$$