BSG挑战赛

A/C

模拟题，较简单

B-AVL树的种类

平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。 现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。

DP
定义 $f[i][j]$ 为含有 $i$ 个节点高度为 $j$ 的平衡树的数量，转移方程就很好写了：
if(k > 0) add(f[i][k+1], f[j][k] * f[s-j][k-1] % MOD);
add(f[i][k+1], f[j][k] * f[s-j][k] % MOD);
add(f[i][k+2], f[j][k] * f[s-j][k+1] % MOD);
其中 $i$ 为当前平衡树的节点数目，$j$ 为平衡树左子树节点数目，$s-j = i - 1 - j$为平衡树右子树节点数目，$k$为枚举的高度。
因为高度之差不超过1，所以右子树的高度只能为 $k-1, k, k+1$
这样直接转移会T，所以需要优化，可以注意到 $f[j][k]$ 里很多状态都是无效的，自然就可以去优化这个地方！

B-代码

#include <bits/stdc++.h>
#define PB push_back
#define FT first
#define SD second
#define MP make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int>  P;
const int N = 2005,MOD = 7+1e9;
LL f[N][N];
void add(LL& x, LL y)
{
    x += y;
    if(x >= MOD) x -= MOD;
}
int L[N], R[N];
void init()
{
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = f[1][1] = 1LL;
    L[1] = 1, R[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= 2000;i ++)
    {
        int s = i - 1;
        for(int j = 0;j <= s;j ++)
        {
            for(int k = L[j];k <= R[j];k ++)
            {
                if(k > 0) add(f[i][k+1], f[j][k] * f[s-j][k-1] % MOD);
                add(f[i][k+1], f[j][k] * f[s-j][k] % MOD);
                add(f[i][k+2], f[j][k] * f[s-j][k+1] % MOD);
            }
        }
        for(int j = 0;j <= i;j ++)
        {
            if(f[i][j] != 0)
            {
                L[i] = j;
                break;
            }
        }
        for(int j = i;j >= 0;j --)
        {
            if(f[i][j] != 0)
            {
                R[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    scanf("%d", &n);
    LL ans = 0;
    for(int i = 0;i <= n;i ++) add(ans, f[n][i]);
    printf("%d\n", (int)ans);
}

E-第K大区间2

定义一个长度为奇数的区间的值为其所包含的的元素的中位数。
现给出n个数，求将所有长度为奇数的区间的值排序后，第K大的值为多少。

二分答案t，统计中位数大于等于 $t$ 的区间有多少个。
设 $a_i$ 为前 $i$ 个数中有 $a_i$ 个数 $>=t$，若奇数区间 $[l,r]$ 的中位数 $>=t$，则 $(a_r -a_{l-1})*2 > r-l$, 即 $(a_r*2-r)>(a_{l-1}*2-l)$。
设 $b_i=a_i*2-i$，统计每个$b_i$有多少个 $b_j < b_i$ ($j<i$ 且 $j$ 和 $i$ 奇偶性不同)
总复杂度 $O(nlognlogn)$

E-代码

#include <bits/stdc++.h>
#define PB push_back
#define FT first
#define SD second
#define MP make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int>  P;
const int N = 1e5 + 10,MOD = 7+1e9;
int a[N], n;
int A[N];
int osum[2*N], esum[2*N];
void update(int *A, int p,int val)
{
    while(p < 2*N)
    {
        A[p] += val;
        p += p&(-p);
    }
}
int read(int *A, int p)
{
    int res = 0;
    while(p)
    {
        res += A[p];
        p -= p&(-p);
    }
    return res;
}
int Vs(int x) {return n + 1 + x;}
LL check(int x)
{
    LL cnt = 0;
    int BASE = n + 1;
    memset(osum, 0, sizeof osum);
    memset(esum, 0, sizeof esum);
    update(esum, Vs(0), 1);
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        A[i] = A[i-1] + (a[i] >= x);
        if(i&1) 
        {
            cnt += read(esum, Vs(2 * A[i] - i - 1));
            update(osum, Vs(2 * A[i] - i), 1);
        }
        else 
        {
            cnt += read(osum, Vs(2 * A[i] - i - 1));
            update(esum, Vs(2 * A[i] - i), 1);
        }
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int L = INF, R = -1;
    LL k;
    scanf("%d%lld", &n, &k);
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        L = min(L, a[i]), R = max(R, a[i]);
    }
    R ++;
    while(L <= R)
    {
        int mid = (L + R) >> 1;
        if(check(mid) >= k) L = mid + 1;
        else R = mid - 1; 
    }
    printf("%d\n", R);
    return 0;
}