次小生成树算法详解-优快云博客

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本文详细介绍了一种求解次小生成树问题的有效算法。首先使用Prim算法找到最小生成树，并记录各节点间的最大边权。然后遍历所有非树边，通过替换找到次小生成树。文章提供了完整的算法步骤及代码实现。

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次小生成树

step 1.先用prim求出最小生成树T，在prim的同时，用一个矩阵maxd[u][v]记录在T中连结任意两点u,v的唯一的路中权值最大的那条边的权值.这是很容易做到的，因为prim是每次增加一个结点s, 在此需要保存节点和其父节点，采用DP，则最大权值要么是新加入的边，要么是父节点到起始点的采用DP算出来的距离.u是刚加入的点，不过还没进入节点数组，v是已经存在的点

min是按prime新加入那条边

maxd[v][u] =maxd[u][v] = max{min，maxd[father[u]][v]}

该步骤用时 O(V^2)，就是prime算法的耗时。

step2. 枚举所有不在T中的边uv, 加入边uv则必然替换权为maxd[u][v]的边，这样才能保证次小。

模板:

intdis[N],e[N][N],fa[N],n,m,maxd[N][N];
//fa[i]表示连接i点与集合的最短边的一端
//maxd[i][j]表示 在MST中i，j路径上的最长边
boolused[N][N], vis[N];
//used[i][j]表示i,j边是否用于MST中
int prim() {
  memset(maxd,0,sizeof(maxd));
  memset(used,0,sizeof(used));
  int i,j,u,v,w,ans=0;
  for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=e[1][i],fa[i]=1;
  memset(vis,0,sizeof(vis)); vis[1]=1;
  for(i=2;i<=n;i++) {
    w=inf;u=-1;
    for(j=1;j<=n;j++)if(!vis[j]&&w>dis[j]) w=dis[j],u=j;
    if(u==-1)return -1;
    vis[u]=1;ans+=w;
    used[u][fa[u]]=used[fa[u]][u]=true;
    for(v=1;v<=n;v++)if (vis[v]&&v!=u){
      maxd[u][v]=maxd[v][u]=max(w,maxd[fa[u]][v]);
    }
    for(v=1;v<=n;v++)if(!vis[v])
      if(dis[v]>e[u][v]){
          dis[v]=e[u][v];
          fa[v]=u;
      }
    }
    returnans;
}
 
intminprim=prim();
int maxx=inf;
for (inti=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<i;j++){
  if (!used[i][j]&&e[i][j]!=inf){
    maxx=min(maxx,e[i][j]-maxd[i][j]); //寻找是否有可替换边
  }
}

//次小生成树的结果为minprim+maxx;

题目：

// Poj 1679 (次小生成树)