矩阵练习

最新推荐文章于 2025-02-23 18:40:38 发布

珞辰

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分类专栏：矩阵文章标签： matrix

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HDU4549 M斐波那契数列（矩阵快速幂+欧拉定理）

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549

中文题目读起来就是爽啊，常规做了一遍，妥妥超时了，看那个a,b的指数满足斐波那契数列，所以用矩阵来构造。然后在WA了很多遍找不到错误的情况下，后来看了下网上的题解，才知道在做矩阵乘法的时候即使用long long也有可能溢出~题目要求对10000000007取模，是个质数。A^B%C,且C为质数，A,C互质，利用数论的知识可以得到：

A^B%C=A^(B%(C-1))%C;

代码：

<span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:18px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mod 1000000007
#define Max_dimension 2
typedef long long LL;

typedef LL Matrix[Max_dimension][Max_dimension];
int ndim=Max_dimension;

Matrix A={{1,1},{1,0}};
void m_zero(Matrix x)
{
    memset(x,0,sizeof(LL)*Max_dimension*Max_dimension);
}
void m_one(Matrix x)
{
    m_zero(x);
    for(int i=0;i<ndim;i++)
        x[i][i]=1;
}

void m_copy(Matrix src,Matrix dest)
{
    memcpy(dest,src,sizeof(LL)*Max_dimension*Max_dimension);
}
void m_multiple(Matrix a,Matrix b,Matrix c)
{
    for(int i=0;i<ndim;i++)
        for(int j=0;j<ndim;j++)
    {
        c[i][j]=0;
        for(int k=0;k<ndim;k++)
        {
            c[i][j]+=(a[i][k]*b[k][j])%(mod-1);
            c[i][j]%(mod-1);
        }
    }
}
void m_pow(Matrix x,int m,Matrix y)
{
    Matrix temp,temp_x;
    m_one(y);
	m_copy(x,temp_x);
    while(m)
    {
        if(m&1)
        {
            m_multiple(temp_x,y,temp);
            m_copy(temp,y);
        }
        if(m>>=1)
        {
            m_multiple(temp_x,temp_x,temp);
            m_copy(temp,temp_x);
        }
    }

}

LL quick_pow(LL t,LL m)
{
    LL tmp=t%mod;
    LL ant=1;
    while(m)
    {
        if(m&1)
        {
            ant*=tmp;
            ant%=mod;
        }
        m>>=1;
        tmp*=tmp;
        tmp%=mod;
    }
    return ant;
}


//Matrix B={{1},{2}};
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
     
    int a,b,n;
    Matrix ans;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)!=EOF)
    {
		m_zero(ans);
        if(n)
            m_pow(A,n-1,ans);
        else
        {
            ans[0][0]=0;
            ans[1][0]=1;
        }
        //m_multiple(ans,B,res); //b的次幂

        LL num1=quick_pow(b,ans[0][0])%mod;
        LL num2=quick_pow(a,ans[1][0])%mod;
        printf("%d\n",num1*num2%mod);
    }
    return 0;
}

/*
100 10 3
10 10 5
*/</span>

HDU2254 奥运

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2254

如果能够想到用矩阵的话，这道题目就不难做，求两个城市之间的走法，在限制时间内达到，矩阵幂之和即可·····用STL的map来保存每个点·····

代码：

<span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:18px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

#define mod 2008
#define size 30

int ndim;
struct Matrix
{
    int a[size][size];
}tem;


Matrix m_one(Matrix x)
{
    for(int i=0;i<30;i++)
        for(int j=0;j<30;j++)
            if(i==j)
                x.a[i][j]=1;
            else
                x.a[i][j]=0;
    return x;
}

Matrix m_add(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for(int i=0;i<ndim;i++)
        for(int j=0;j<ndim;j++)
        {
            c.a[i][j]=(a.a[i][j]+(_int64)b.a[i][j])%mod;
            c.a[i][j]%=mod;
        }
        return c;
}

Matrix m_multiple(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for(int i=0;i<ndim;i++)
        for(int j=0;j<ndim;j++)
        {
            c.a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<ndim;k++)
            {
                c.a[i][j]+=(a.a[i][k]*(_int64)b.a[k][j])%mod;
                c.a[i][j]%=mod;
            }
        }

        return c;
}

Matrix m_pow(Matrix x,int m)
{
    Matrix temp;
    temp=x;
    x=m_one(x);
    while(m)
    {
        if(m&1)
            x=m_multiple(x,temp);

        temp=m_multiple(temp,temp);
        m>>=1;
    }

    return x;
}

Matrix m_pow_sum(Matrix x,int p)
{
    //Matrix tem;
    if(p==1)
        return x;
    else if(p&1)
        return m_add(m_pow(x,p),m_pow_sum(x,p-1));
    else
        return m_multiple(m_pow_sum(x,p>>1),m_add(m_pow(x,p>>1),tem));
}


int main()
{
    int T,n,k,t1,t2,v1,v2;
    int x,y,num;
    map<int,int> mapp;
    Matrix res,s1,s2;
    tem=m_one(tem);

    while(scanf("%d",&T)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<30;i++)
            for(int j=0;j<30;j++)
                res.a[i][j]=0;

        num=0;
        mapp.clear();
        while(T--)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(!mapp.count(x))
                mapp[x]=num++;
            if(!mapp.count(y))
                mapp[y]=num++;

            res.a[mapp[x]][mapp[y]]++;  //记录这两点之间有几种走法
        }

        ndim=num;
        scanf("%d",&k);
        while(k--)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&v1,&v2,&t1,&t2);
          
            if(t2<t1|| mapp.count(v1)==0 || mapp.count(v2)==0 )
            {
                printf("0\n");
                continue;
            }

          int p1=0,p2=0;
          Matrix r=res;
          if(t1>1)
          {
              s1=m_pow_sum(r,t1-1);
              p1=s1.a[mapp[v1]][mapp[v2]];
          }
          if(t2>=1)
          {
              s2=m_pow_sum(r,t2);
              p2=s2.a[mapp[v1]][mapp[v2]];
          }
          printf("%d\n",(p2-p1+mod)%mod);
        }
    }

    return 0;
}
</span>

HDU2604 Queuing

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604

题意：用m和f来随机排列，但是不可以出现fmf和fff的形式，问有多少种方式

分析：f(n)表示n个人的排列方法···这样考虑：

如果前边的人都符合题意，那么f(n)就是f(n-1)在增添一个人，但是不能出现那两种形式。想象f(n-1)是合法的，再增添一个m是合法的，有f(n-1)种····

但是如果最后一个人是m,则f(n-1)可以是f或者m结尾，则要看f(n-2),但是这ff和mf都不能直接确定是不是合法，再向前看一个，即f(n-3)，就有4种形式了，mm,mf,fm,ff分别和f组合，fm,ff显然不合法，去掉。mmf无限制，f(n-3)种···

还剩一个mf,仅看f(n-3)是无法看出能不能放，再向前看一个，即f(n-4),mmff是无限制的，所以f(n-4)种

综上：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)

置于矩阵呢，很好构造，

 A={{1,0,1,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0,},{0,0,1,0}}

代码：

<span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:18px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define Max_dimension 4
//#define mod 2008

typedef int Matrix_type;
typedef long long  Max_int_type;
typedef Matrix_type Matrix[Max_dimension][Max_dimension];

int mod;
int ndim=Max_dimension;
void m_zero(Matrix x)
{
    memset(x,0,sizeof(Matrix_type)*Max_dimension*Max_dimension);
}

void m_one(Matrix x)
{
    m_zero(x);
    for(int i=0;i<ndim;i++)
        x[i][i]=1;
}

void m_copy(Matrix src,Matrix dest)
{
    memcpy(dest,src,sizeof(Matrix_type)*Max_dimension*Max_dimension);
}


//c=a*b
void m_multiple(Matrix  a,Matrix b,Matrix c)
{
    int i,j,k;

    for(i=0;i<ndim;i++)
        for(j=0;j<ndim;j++)
        {
             c[i][j]=0;
            if(mod<=1)
                for(k=0;k<ndim;k++)
         c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
            else
                for(k=0;k<ndim;k++)
    {
        c[i][j]+=(a[i][k]*(Max_int_type)b[k][j])%mod;
                    c[i][j]%=mod;
                }
        }
}

//y=x^n
void m_pow(Matrix x, unsigned int n, Matrix y)
{
    Matrix temp,temp_x;
    m_one(y);
    m_copy(x,temp_x);
    while(n)
    {
        if (n&1)
        {
            m_multiple(temp_x,y,temp);
            m_copy(temp,y);
        }
        if (n >>= 1)
        {
            m_multiple(temp_x,temp_x,temp);
            m_copy(temp,temp_x);
        }
    }
}

Matrix A={{1,0,1,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0,},{0,0,1,0}};
Matrix B={{9},{6},{4},{2}};
int main()
{
     //freopen("in.txt","r",stdin);
     Matrix ans,sum;
     int l;
     while(scanf("%d%d",&l,&mod)!=EOF)
     {
           if(l==0)
           {
            printf("0\n");
            continue;
           }
           if(l==1)
           {
                 printf("%d\n",2%mod);
                 continue;
           }
           if(l==2)
           {
                 printf("%d\n",4%mod);
                 continue;
           }
           if(l==3)
           {
                 printf("%d\n",6%mod);
                 continue;
           }
           if(l==4)
           {
                 printf("%d\n",9%mod);
                 continue;
           }

           m_pow(A,l-4,ans);
           m_multiple(ans,B,sum);
           printf("%d\n",sum[0][0]%mod);

     }
     return 0;
}</span>