手推记录-logistic regression （逻辑斯蒂回归）

先看线性回归

$$h_\theta(x)=\theta_0x_0+\theta_1x_1+\cdots+\theta_nx_n=\theta^Tx$$

这里的n表示该样本有n维特征。
目标函数

$$J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

这里的i表示第i个样本。
为了求目标函数最小，采用梯度下降迭代,为了方便，假设只有一个样本

$$\begin{align*} \frac{\partial }{\partial \theta_i}J(\theta)&=\frac{\partial }{\partial \theta_i}\frac{1}{2}(h_\theta(x)-y)^2 \\ &= (h_\theta(x)-y)*\frac{\partial }{\partial \theta_i}(h_\theta(x)-y)\\ &=(h_\theta(x)-y)*\frac{\partial }{\partial \theta_i}(\theta_0x_0+\theta_1x_1+\cdots+\theta_ix_i+\cdots+\theta_nx_n-y)\\ &=(h_\theta(x)-y)*x_i \end{align*}$$

参数$\theta_i$更新，

$$\begin{align*}\theta_i&:=\theta_i-\alpha \frac{\partial }{\partial \theta_i}J(\theta)\\&=\theta_i-\alpha(h_\theta(x)-y)*x_i \end{align*}$$

在m个样本的情况下，

$$\begin{align*}\theta_i&:=\theta_i-\alpha\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(h_\theta(x^{(j)})-y^{(j)})*x_i^{(j)} \end{align*}$$
这样的梯度下降每次更新都需要所有样本，称为批梯度下降。当样本数量多的时候，训练慢。

随机梯度下降法：它的具体思路是在更新每一参数时都使用一个样本来进行更新，

$$\begin{align*} for\; j=1 \;&to\; m :\\ \theta_i&=\alpha(h_\theta(x^{(j)})-y^{(j)})*x_i^{(j)} \end{align*}$$

但是随机梯度下降法不能得到最优解，只会在最优解附近徘徊。
局部加权线性回归，将目标函数添加权值修改为，

$$J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m} w^{(i)}*(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

其中，

$$w^{(i)}=exp(-\frac{(x^{(i)}-x)^2}{2 \tau^2})，\tau 是波长函数，控制权值下降速率$$

当$(x^{(i)}-x)$很小的时候，$w^{(i)}$接近1，反之接近0。也就是说，距离x越近的样本$x^{(i)}$获得的权值越高。

解释一下为什么用误差的平方和作为目标函数，
首先，

$$y^{(i)}= \theta ^T x^{(i)}$$

但是由于会有误差，所以还要加上一个误差项，

$$y^{(i)}= \theta ^T x^{(i)}+\xi_i$$

根据中心极限定理，由于误差项是好多好多相互独立的因素影响的综合影响，我们有理由假设其服从高斯分布，而且均值是0，方差为某个定值$\delta^2$
因此，概率密度函数为，

$$P(\xi_i)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta}exp(-\frac{\xi_i^2}{2 \delta^2})$$

也就是，

$$P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta}exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2 \delta^2})$$

在给定一个$\theta$，在$x^{(i)}$的情况下，类别为$y^{(i)}$的概率。
误差项又是相互独立的，那么$\xi_i$似然函数，

$$\begin{align*} L(\theta)=p(y|x;\theta)&=\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)\\ &=\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta}exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2 \delta^2}) \end{align*}$$

对数似然，

$$\begin{align*} log\: L(\theta)&=log\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta}exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2 \delta^2}) \\ &=m log \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \delta } +\sum_{i=1}^{m} -\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2 \delta^2} \end{align*}$$

为了使$l(\theta)$极大，也就是让$\frac{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2} =J(\theta)$极小，这也就是损失函数。

逻辑斯蒂回归是一个分类算法，以二分类为例，$y \in {\{0,1\}}$，有了线性回归的基础，那么逻辑斯蒂回归就是要让$h_\theta(x)$的值在0~1闭区间。即，

$$h_\theta(x)=g(h_\theta(x))={\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}}$$

其中$g$函数称为logistic函数，或者sigmoid函数。
y取1的概率等于$h_\theta(x)$,取0的概率为$1-h_\theta(x)$，即，

$$p(y|x;\theta)=h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{1-y}$$

似然函数，

$$\begin{align*} L(\theta)=p(y|x;\theta)&=\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)\\ &=\prod_{i=1}^{m}h_\theta(x^{(i)})^{y^{(i)}} (1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \end{align*}$$

对数似然，

$$\begin{align*}l(\theta)&=log\: L(\theta)\\ &=\sum_{i=1}^{m} y^{(i)}\:log \:h_\theta(x^{(i)})+ (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)})) \end{align*}$$

梯度下降法 ，参数迭代，

$$\begin{align*}\theta_i&:=\theta_i+\alpha\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(y^{(j)}-h_\theta(x^{(j)}))*x_i^{(j)} \end{align*}$$

线性回归和逻辑斯蒂回归迭代方式表面上一模一样，但是$h_\theta$函数并不相同。