数据结构 - 第五章 - 树

一、树：

1.1 概念：

• 树是 n 个结点的有限集合 n = 0 时称为空树
• 任何一颗非空树中 有且仅有一个特定的称为根的结点
• n > 1 时 ，其余结点可分为 m 个 互不相交的有限集合T1、T2、T3...Tm，其中每个集合本身又是一颗树，并且称为根节点的子树

1.2特点：

• 根节点没有前驱，除根节点外的所有结点有且只有一个前驱
• 树中所有结点可以有零个或者多个后继

1.3属性：

• 结点的层次( 深度 ) ：从上往下数
• 结点的高度 ：从下往上数
• 树的高度( 深度 ) ： 总共多少层
• 结点的度 : 有几个孩子( 分支 )
• 树的度：各结点的度的最大值
• 有序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换 否则称为无序树
• 森林：m 棵互不相交的树的集合
  

1.4性质：

• 结点数 = 总度数 + 1

• 度为m的树 VS m叉树
  

• 度为m的树第i层至多有 m^i-1个结点
  也可以是 m叉树的第i层至多有m^i-1个结点
  

• 高度为h的m叉树至多有 (m^h - 1 ) / (m - 1)
  

• 高度为 h 的 m 叉树至少有 h 个结点

• 高度为 h 、度为 m 的树至少有 h + m + 1 个结点
  

• 具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度为
  
  

二、二叉树：

2.1概念：

二叉树 是 n 个结点的有限集合

• 或者为空二叉树 n = 0
• 或者由一个 根节点 和两个互不相交的被称为根的左子树 和 右子树 组成 ，左子树 和 右子树又分别是一颗二叉树

2.2特点：

1. 每个结点至多只有两颗子树
2. 左右子树不能颠倒 (二叉树是有序树)
   

2.3五种状态：

2.4特殊的二叉树：

3. 满二叉树
   一颗高度为 h 且含有 2^h - 1 个结点的二叉树
   
   特点：
   只有最后一层有叶子结点
   不存在度为1的结点
   按层序从1开始编号，结点i的左孩子 为 2i ，右孩子为 2i+1，结点i的父节点为 i/2 下取整(如果存在)
   2. 完全二叉树
   当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为 1 ~ n 的结点一一对应时称为完全二叉树
   
   特点：
   只有最后两层可能有叶子节点
   最多只有一个度为1的结点
   按层序从1开始编号，结点i的左孩子 为 2i ，右孩子为 2i+1，结点i的父节点为 i/2 下取整(如果存在)
   i <= n/2下取整 为 分支节点 i>n/2下取整 为叶子节点
   如果某个节点只有一个孩子，那么一定是左孩子

4. 二叉排序树
   一颗二叉树或者是空二叉树
   性质：
   左子树上所有节点的关键字均小于根节点的关键字
   右子树上所有节点的关键字均大于根结点的关键字
   左子树和右子树各是一颗二叉排序树
   用于元素的搜索、排序
   

5. 平衡二叉树
   树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1
   

2.5二叉树常考性质：

6. 设非空二叉树中度为0、1、2的结点个数分别是n₀、n₁、n₂，则n₀ = n₂ + 1
   推导：
   n = n₀+n₁+n₂
   n = n₁+2n₂+1 (树的总结点数 = 总度数 + 1）
   则可以得出 ：n₀ = n₂ + 1
7. 二叉树第i层至多有2^i-1个结点( i>=1 )
   m叉树第i层至多有m^i-1 个结点( i>=1 )
   
8. 高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点(满二叉树)
   高度为h的m叉树至多有$$\frac{m^h-1}{m-1}$$个结点

2.6二叉树的存储结构：

9. 顺序存储
   
   
   
   
   10.链式存储
   
   
   

2.7二叉树的遍历（重点）：

10. 先序遍历：根节点 、左子树、右子树
    
11. 中序遍历：左子树、根节点、右子树
    
12. 后序遍历：左子树、右子树、根节点
    
13. 先序、后序、中序例题分析：
    
14. 求树的深度的应用
    

2.8二叉树的层序遍历（BFS）：

2.9由遍历序列构造二叉树（）：

关键：找到树的根节点，并根据中序序列划分左右子树，再找到左右子树根节点
结论：若只是给出一颗二叉树的 前\中\后\层 序遍历中的一种，不能唯一确定一颗二叉树

15. 前序 + 中序 遍历序列 构造出二叉树


16. 后序 + 中序 遍历序列

17. 层序 + 中序 遍历序列

2.10线索二叉树（重点）：

线索：指向 前驱 / 后继 的指针称为线索

1. 线索二叉树的作用

方便从一个指定节点出发，找到其前驱、后继 方便遍历

2. 线索二叉树的存储结构

普通二叉树存储结构基础上，增加两个标志位：ltag rtag

若无左子树，令 lchild 指向其前驱结点
若无右子树，令 rchild 指向其后继节点

3. 手算画出线索二叉树：

1. 确定线索二叉树类型 - 中序、先序、后续
2. 按照对应遍历规则，确定各个节点的访问顺序，并写上编号
3. 将n+1个空链域连上前驱、后继

4、 二叉树线索化

核心：

1. 中序/先序/后续遍历算法的改造 当访问一个结点时，连接该节点与前驱结点的线索信息
   -用一个pre指针记录当前访问结点的前驱结点
   易错点：
2. 最后一个结点的 rchild、lchild 的处理
3. 先序线索化中 Itlag ==0 时才可以对左子树先序线索化 否则死循环

中序线索化

先序线索化

后续线索化

5、 线索二叉树找 前驱、后继

1. 中序线索二叉树找中序后继、中序前驱
   
   

2. 先序线索二叉树找先序后继、前驱
   
   
   

3. 后序线索二叉树找后续前驱、后继
   
   
   
   

三、树的存储结构：

3.1双亲表示法（顺序存储）

每个结点中保存指向双亲的 ” 指针 “
优点：找父节点方便 缺点：找孩子不方便

3.2 孩子表示法（顺序 + 链式存储）

顺序存储每个节点，每个节点中保存孩子链表头指针

优点：找孩子方便 缺点：找父节点不方便

3.3 孩子兄弟表示法（链式存储）（重点）

二叉链表存储树
左孩子 右兄弟

3.4 森林 和 二叉树 的转换

森林：m棵互不相交的树的集合
森林中各个树的根节点之间互为兄弟关系

3.5 树 和 森林 的遍历

3.5.1 树 的先根遍历

树的先根遍历序列 和这棵树对应的二叉树的先序遍历序列相同

3.5.2 树 的后根遍历

3.5.3 树 的层次遍历

3.5.4 森林的先序遍历

每棵树去掉根节点之后，各个子树又组成森林

同样也等同于对二叉树的先序遍历（先将森林转为二叉树）

3.5.5 森林的中序遍历

等同于依次对各个树进行后根遍历

也等同于转为二叉树的中序遍历

四、二叉排序树（BST）：

4.1定义

又称二叉查找树 BST
左子树上所有节点的关键字均小于根节点的关键字
右子树上所有节点的关键字均大于根节点的关键字
左子树 和 右子树 又各是一颗二叉排序树
左子树节点值 < 根节点 < 右子树节点值
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

4.2 二叉排序树的查找

非递归实现：复杂度O（1）

递归实现：(复杂度O（h）)

4.3 二叉排序树的插入

4.4 二叉排序树的构造

4.5 二叉排序树的删除

1. 情况1
   
2. 情况2
   
3. 情况3
   
   

4.6 二叉排序树的查找效率分析

取决于树的高度：最好O（log n） 最坏 ：O（n）
查找长度：查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度
平均查找长度 ASL

五、平衡二叉树 ( AVL树 )：

5.1 平衡二叉树的定义

树上任一结点的左子树 和 右子树的高度之差不超过 1
结点的平衡因子 = 左子树高 - 右子树高

平衡二叉树结点的平衡因子的值只能是 -1 、0、1

5.2 平衡二叉树的插入

每次调整的对象都是最小不平衡子树

- LL

- RR

- LL 和 RR 代码思路

- LR

- RL

- 练习

5.3 平衡二叉树的查找效率分析

假设以N_h表示深度为h的平衡二叉树中含有的额最少结点数
则N₀=0，N₁=1，N₂ = 2；
并且：N_h = N_h-1 + N_h-2 + 1
含有n个结点的平衡二叉树的最大深度是O(log₂N)
平衡二叉树平均查找长度为O（logN₂N）

5.4 平衡二叉树的总结

六、哈夫曼树：

6.1 概念

结点的权：
结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数） 与 该结点上权值的乘积
树的带权路径长度：树中所有叶节点的带权路径长度之和 WPL= ${\sum }_{i=1}^n.$W_i * L_i

哈夫曼树：在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

6.2 哈夫曼树的构造

6.3 哈夫曼编码

前缀编码：若没有一个编码是另一个编码的前缀则称为前缀编码
哈夫曼编码：字符集中每个字符作为一个叶子结点，各个字符出现的频度作为结点的权值， 用哈夫曼树的构造方法构造哈夫曼树

哈夫曼树不唯一

6.4 哈夫曼树总结