为什么交叉熵损失函数值越小分类效果越好？

在学习机器学习过程中，我们经常会用到损失函数来判断模型是否在学习，经常使用的损失函数大多是平方损失函数，与交叉熵损失函数。平方损失函数，我们很容易理解为什么值越小分类效果越好。

$$Loss(w)=\frac{1}{m}\sum_{i}^{m}(y_i-y^{hat}_i)^2$$
很显然，如果预测的越接近，则loss值越小，这个损失函数基本上没有什么疑问。但是由于这个函数不是凸函数，所以被应用的不多，大多数都是使用交叉熵损失函数。 $$Loss(w)=-\frac{1}{m}\sum_{i}^{m}y_ilogy_i^{hat}+(1-y_i)log(1-y_i^{hat})$$
如果我们同样借助上面的思想，如果预测的越接近，则损失函数越小，很显然这个损失函数满足。但是我相信你绝对不仅仅满足于此，这个损失函数的由来是什么？平方损失很容易想到是两个空间向量的距离，越接近越好。交叉熵损失函数呢？今天就带你进入另一个世界。
此处划重点，交叉熵损失函数来源于参数估计，极大似然估计。
分类属于监督学习，是利用有限的样本，来得到整体的样本分布。以二分类为例， $$P(Y=1|x)=F(x);P(Y=0|x)=1-F(x)$$
利用样本，来近似估计参数值，我们可以使用极大似然估计。既然是二分类，我们采集的样本一般是独立的，则样本的分布服从二项分布$Y\sim b(1,p)$,则Y的分布律为， $$P(Y=y_i)=p_i^{y_i}(1-p_i^{1-y_i})$$
似然函数为： $$\Pi_{i}^{m} p_i^{y_i}(1-p_i^{1-y_i})$$
对其取对数，则得到对数似然函数为： $$L(w)=\sum_i^my_ilogp_i+(1-y_i)log(1-p_i)$$
整理一下，$p_i=F(x_i)=y_i^{hat}$,则可得 $$L(w)=\frac{1}{m}\sum_{i}^{m}y_ilogy_i^{hat}+(1-y_i)log(1-y_i^{hat})$$
得到似然函数，则为了估计系数w，当L(w)函数取得最大值时，可得到估计值w,取似然函数的对偶形式，$min Loss(w)=-max L(w)$,所以当Loss(w)越小时的w值，就越逼近真实的w值，那么模型拟合的就越好。
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