重新开始战斗05-编程之美-光影切割

问题描述：

假设有一个矩形区域，有若干条直线切割该区域，并且没有一条直线与Y轴平行，且不存在三条（以及3条以上）切割线相交于一点的情况。请问该矩形平面被分割成多少块。

分析：假设一块矩形区域已经被切割成很多块，那么此时再增加一条切割线，新的切割线与其他切割线相交，且有m个交点。那么新的切割线被分割成m+1段，每一段都会将原来的一块子区域分成两块，即总的会增加m+1块新区域。

那么假设k-1条切割线已划分了N_k-1块区域，第k条切割线与其他切割线有m_k个交点，那么总的块数为N_k = N_k-1+m_k+1。

这个公式显然是个动态规划问题。（思想是动态规划，自顶向下的推导）。

显然，如果利用动态规划，需要双循环，且还要去查找交点并判断交点是否在矩形区域内，那么时间复杂度为O（N²|Find&Judge|）。

下面我画个程序流程图：

举例说明：

1.假设有两条相交的切割线（交点在矩形区域内）

a.遍历第一条切割线与剩下的一条切割线是否有相交且在矩形区域内。

存在：SumBlock =0+1+1 = 2

b.遍历第二条切割线与剩下的0条切割线是否有交点

不存在：SumBlock =2+0+1 = 3

c.已遍历完所有的切割线

SumBlock = 3 + 1 = 4

2.假设有三条相交的切割线（交点在矩形区域内）

a.遍历第一条切割线与剩下的两条切割线的交点

存在两个交点：SumBlock= 0+2+1 = 3

b.遍历第二条切割线与剩下的一条切割线的交点

存在一个交点：SumBlock= 3+1+1 = 5

c.遍历最后一条切割线

不存在交点：SumBlock= 5+0+1 = 6

d.遍历完成

SumBlock = 6+1 = 7

3.假设有三条相交的切割线（有两条平行）

a.遍历第一条切割线与剩下两条的交点：

存在两个：SumBlock= 0+2+1 = 3

b.遍历第二条切割线与剩下一条的交点：

不存在：SumBlock =3+0+1 = 4

c.遍历最后一条

不存在：SumBlock =4+0+1 = 5

d.遍历完成

SumBlock = 5+1 = 6

以上解题思路属于标准的动态规划，因此我做了详细的说明。书中还有一种巧妙的技巧性解法，很巧妙的同时也很简单，只是很难想到罢了。不难看懂，有兴趣的话可以再仔细研究一下：原文P51