最小生成树

最新推荐文章于 2022-11-27 15:50:28 发布

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构最小生成树算法

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最小生成树

在一个连通网的所有生成树中，各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通网的最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最小生成树。最小生成树有如下重要性质：

设 N=(V,{E}) 是一连通网，U 是顶点集V的一个非空子集。若（u , v）是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则存在一棵包含边（u , v）的最小生成树。

我们用反证法来证明这个性质：

假设不存在这样一棵包含边（u , v）的最小生成树。任取一棵最小生成树T，将（u , v）加入T中。根据树的性质，此时T中必形成一个包含（u , v）的回路，且回路中必有一条边（u’ , v’）的权值大于或等于（u , v）的权值。删除（u , v），则得到一棵代价小于等于T的生成树T’，且T’为一棵包含边（u , v）的最小生成树。这与假设矛盾。

这个性质被称为MST性质。我们可以利用MST性质来生成一个连通网的最小生成树。普利姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法便是利用了这个性质。

下面分别介绍这两种算法。

1. 普利姆算法

假设N=(V,{E})是连通网，TE为最小生成树中边的集合

（1）初始U={u₀}(u₀∈V),TE=φ；

（2）在所有u∈U, v∈V-U的边中选一条代价最小的边（u₀，v₀）并入集合TE，同时将v₀并入U；

（3）重复（2），直到U=V为止。

此时，TE中必含有n-1条边，则T=（V，{TE}）为N的最小生成树。

可以看出，普利姆算法逐步增加U的中顶点，可称为“加点法”。

注意：选择最小边时，可能有多条同样权值的边可选，此时任选其一。

为了实现这个算法需要设置一个辅助数组closedge[ ]，以纪录从U到V-U具有最小代价的边。对每个顶点v∈V-U，在辅助数组中存在一个分量closedge[v]，它包括两个域vex和lowcost，其中lowcost存储该边上的权，显然有

closedge[v].lowcoast=Min({cost(u,v) | u∈U})

普里姆算法可描述如下：

struct {

VertexData adjvex;

int lowcost;

} closedge[MAX_VERTEX_NUM]; /* 求最小生成树时的辅助数组*/

MiniSpanTree_Prim(AdjMatrix gn, VertexData u)

/*从顶点u出发，按普里姆算法构造连通网gn 的最小生成树，并输出生成树的每条边*/

{

k=LocateVertex(gn, u);

closedge[k].lowcost=0; /*初始化，U={u} */

for (i=0;i<gn.vexnum;i++)

if ( i!=k) /*对V-U中的顶点i，初始化closedge[i]*/

{closedge[i].adjvex=u; closedge[i].lowcost=gn.arcs[k][i].adj;}

for (e=1;e<=gn.vexnum-1;e++) /*找n-1条边(n= gn.vexnum) */

{

k0=Minium(closedge); /* closedge[k0]中存有当前最小边（u0,v0）的信息*/

u0= closedge[k0].adjvex; /* u0∈U*/

v0= gn.vexs[k0] /* v0∈V-U*/

printf(u0, v0); /*输出生成树的当前最小边（u0,v0）*/

closedge[k0].lowcost=0; /*将顶点v0纳入U集合*/

for ( i=0 ;i<vexnum;i++) /*在顶点v0并入U之后，更新closedge[i]*/

if ( gn.arcs[k0][i].adj <closedge[i].lowcost)

{ closedge[i].lowcost= gn.arcs[k0][i].adj;

closedge[i].adjvex=v0;

}

算法 7.9 普里姆算法

由于算法中有两个for循环嵌套，故它的时间复杂度为O(n²)。

利用该算法，对图7.18（a）所示的连通网从顶点V1开始构造最小生成树，算法中各参量的变化如表7-1所示

图 7.18 普里姆算法构造最小生成树的过程

表7-1 普里姆算法各参量的变化

Closedge[i]

V-U

(u0, v0)

adjvex

lowcost

∞

{V1}

{V2,V3,V4,V5,V6}

(V1, V3)

adjvex

lowcost

{V1,V3}

{V2,V4,V5, V6}

(V3, V6)

adjvex

lowcost

{V1,V3,V6}

{V2,V4,V5}

(V6, V4)

adjvex

lowcost

{V1,V3,V6, V4}

{V2,V5}

(V3, V2)

adjvex

lowcost

{V1,V3,V6, V4,V2}

{V5}

(V2, V5)

adjvex

lowcost

{V1,V3,V6,V4,V2,V5}

{ }

2. 克鲁斯卡尔算法

假设N=(V,{E})是连通网，将N中的边按权值从小到大的顺序排列；

① 将n个顶点看成n个集合；

② 按权值小到大的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，将该边放到生成树边的集合中。同时将该边的两个顶点所在的顶点集合合并；

③ 重复②直到所有的顶点都在同一个顶点集合内。

可以看出，克鲁斯卡尔算法逐步增加生成树的边，与普利姆算法相比，可称为“加边法”。

例如，对于图7.17所示的连通网，将所有的边按权值从小到大的顺序排列为：

权值 1 2 3 4 5 5 5 6 6 6

边 (V1,V3) (V4,V6) (V2,V5) (V3,V6) (V1,V4) (V2,V3) (V3,V4) (V1,V2) (V3,V5) (V5,V6)

经过筛选所得到边的顺序为：

（V1，V3），（V4，V6），（V2，V5），（V3，V6），（V2，V3）

在选择第五条边时，因为V1、V4已经在同一集合内，如果选（V1，V4），则会形成回路，所以选（V2，V3）。

下面我们以图7.19（a）中的连通网为例，详细说明克鲁斯卡尔算法的执行过程。

图 7.19 克鲁斯卡尔算法执行示意图

（1）待选的边：

(2,3)->5 , (2,4)->6 , (3,4)->6 , (2,6)->11 , (4,6)->14 , (1,2)->16 , (4,5)->18 , (1,5)->19,

(1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}

最小生成树的边的集合： { }。

（2从待选边中选一条权值最小的边为: (2,3)->5。

待选的边变为：(2,4)->6 , (3,4)->6 , (2,6)->11 , (4,6)->14 , (1,2)->16 , (4,5)->18 , (1,5)->19, (1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态变为： {1}，{2，3}，{4}，{5}，{6}。

最小生成树的边的集合：{(2,3)}。

（3）从待选边中选一条权值最小的边为: (2,4)->6;

待选的边变为：(3,4)->6 , (2,6)->11 , (4,6)->14 , (1,2)->16 , (4,5)->18 , (1,5)->19, (1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态变为：{1}，{2，3，4}，{5}，{6}。

最小生成树的边的集合 {(2,3),(2,4)}。

（4）从待选边中选一条权值最小的边为:(3,4)->6，由于3、4在同一个顶点集合{2，3，4}内，故放弃。重新从待选边中选一条权值最小的边为:(2,6)->11。

待选的边变为：(4,6)->14 , (1,2)->16 , (4,5)->18 , (1,5)->19, (1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态变为： {1}，{2，3，4，6}，{5}。

最小生成树的边的集合 {(2,3)，(2,4),(2,6)}。

（5）从待选边中选一条权值最小的边为:(4,6)->14，由于4、6在同一个顶点集合{2，3，4，6}内，故放弃。重新从待选边中选一条权值最小的边为:(1,2)->16。

待选的边变为：(4,5)->18 , (1,5)->19, (1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态变为： {1，2，3，4，6}，{5}。

最小生成树的边的集合： {(2,3)，(2,4),(2,6)，(1,2)}。

（6）从待选边中选一条权值最小的边为: (4,5)->18。

待选的边变为： (1,5)->19, (1,6)->21 , (5,6)->23。

顶点集合状态变为： {1，2，3，4，6，5}。

最小生成树的边的集合 {(2,3)，(2,4),(2,6)，(1,2),(4，5)}。

至此，所有的顶点都在同一个顶点集合{1，2，3，4，6，5}里，算法结束。所得最小生成树如图7.20所示，其代价为：5+6+11+16+18=56。