詹森不等式证明

詹森不等式是对凸函数的一个推导，由2推导到n

凸函数性质：f(x)的二阶导数大于0，也就是f''(x)>0，在x<y并且0<a<1的情况下有f(ax+(1-a)y)<a*f(x)+(1-a)*f(y)

证明：f(ax+(1-a)y)<a*f(x)+(1-a)*f(y)

ax+(1-a)y-x=(1-a)(y-x)>0

所以 x<ax+(1-a)y

有x<z1<ax+(1-a)y

由拉格朗日中值定理有

(f(ax+(1-a)y)-f(x))/((1-a)(y-x))=f'(z1)

变形为：f(ax+(1-a)y)-f(x)=(1-a)(y-x)×f'(z1)   (1)

ax+(1-a)y-y=a(x-y)<0

y>ax+(1-a)y

有ax+(1-a)y<z2<y

由拉格朗日中值定理有

f(y)-f(ax+(1-a)y)=a(y-x)f'(z2)  (2)

联立(1)(2)有

a{ f(ax+(1-a)y)-f(x)}-(1-a){ f(y)-f(ax+(1-a)y)</