算法复习——从simcity看kruskal的应用

近期在玩SIMCITY5（详细资料找百度吧），各种坑爹之处就不说了，但是有一个问题却很有意思——天桥。

此天桥非彼天桥，SIMCITY5里的天桥是用于连接Megatower（巨塔）使得各个Megatower间连通的利器，可以有效缓解交通压力（毕竟Megatower人口容量巨大）。但是，天桥的造价真的是“天价”，要是真的没有什么钱又想把Megatower都连接起来该怎么办呢？

先看下面这个模型

在这个模型里，我们把Megatower简化成了一个一个的点。从图中可以很清晰地看见每两个点之间的距离。由于天桥每单位距离的造价相同，想要让总造价最小其实就是让修建的距离最小。而又因为我们要让总距离最小，我们修建的天桥不可能形成一个环，所以其实我们要求的就是最小生成树。这时我们就可以用上Kruskal大法了。

Kruskal会教你这么做（初始化：定义n（n是指Megatower个数，这一例子中n=4）个点集，每个点集代表和这个点相连的点，刚开始只有一个点，如s1={1},s2={2},……,sn={n},等）

1.​第一步，由于AB间距离最短，我们可以优先在这两座Megatower间修建一座天桥。

 

​此时sA={A,B},sB={},sC和sD不变

2.之后，我们再找一条最短边，此时AC=sqrt(2)最短，于是连接AC，sA={A,B,C},sC={}

​3.然后我们来找下一条最短边，此时BC=AD=sqrt(5)。我们要连哪条边呢？这时我们要看看集合S，上面说了，sA={A,B,C}，那么我们就没有必要连接BC了。我们的最终目标只是把Megatower都连起来，没有必要多建天桥（除非你的城市交通压力大过头了），我们把BC连起来只会浪费城市资金。于是选择连接AD（图就不画了吧）。此时sA={A,B,C,D}，sD={}，由于sA已包含所有的Megatower，也就代表着所有的Megatower都已被连接起来，算法结束。

当然，有些时候数据​很大，此时集合S可以用并查集优化，用以增大集合容量。用时只需把要连接的两个点所在的树合并即可。

核心代码如下（无视这恶心的缩进吧……）：

procedure kruskal; 
var p:longint; 
begin 
 sum:=0;
 p:=1;//连了几条边，当p=n-1时算法成功
 while p<=n-1 do 
 begin 
 for i:=1 to e do
 begin 
 if find(edg[i].u)<>find(edg[i].v) then//两个点不在同一集合内
 begin 
 inc(p);
 sum:=sum+edg[i].w; 
 if p=n then begin writeln(sum); halt; end; 
 union(edg[i].u,edg[i].v); //合并两个点所在的树
 end; 
 end;
 end; 
end;​​