求最大公约数的算法

这个是整理微信上的文章的，原文题目是：漫画算法：辗转相除法是什么鬼？

原文链接：http://blog.jobbole.com/106315

题目要求：要求方法传两个正整形参数，返回值就是他们的最大公约数，尽可能保证性能。

1、暴力枚举法：

public static int getGreatestCommonDivisor(int numberA,int numberB){

int smallNumber = numberA<numberB?numberA:numberB;

int bigNumber = numberA>=numberB?numberA:numberB;

if(bigNumber%smallNumber == 0){

return smallNumber;

}

int greatestCommonDivisor = 1;

for (int 1= 2;i<=smallNumber/2;i++){

if(numberA%i == 0 &&numberB%i ==0)

greatestCommonDivisor = i;

}

return greatestCommonDivisor;

}

分析：试图寻找到一个合适的整数 i，看看这个整数能否被两个整型参数numberA和numberB同时整除。这个整数 i 从2开始循环累加，一直累加到 numberA 和 numberB 中较小参数的一半为止。循环结束后，上一次寻找到的能够被两数整除的最大 i 值，就是两数的最大公约数。

评价：效率不高，比如我传入两个参数10000和10001，则需要循环10000/2-1=4999次。

2、辗转相除法：又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。
这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。
首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。

//方法入口

public static int getGreatestCommonDivisor(int numberA, int numberB){

int result = 1;

if(numberA > numberB)

result = gcd(numberA,numberB;

else

result = gcd(numberB,numberA);

return result;

}

//递归计算最大公约数

private static int gcd(int a,int b){

if(a%b == 0)

return b;

else 

return gcd(b,a%b);

}

评价：当两个整形术较大时，做a%b取摸运算的性能会比较低。

3、更相减损术：

原理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。
由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。

public static int gcd(int numberA, int numberB){

if(numberA == numberB)

return numberA;

if(numberA < numberB)

return gcd(numberB-numberA,numberA);

else

return gcd(numberA - numberB,numberB);

}

评价：更相减损术依靠两数求差的方式来递归，运算的次数肯定远大于辗转相除法的取模方式；更相减损术是不稳定的算法，当两数相差悬殊时，比如计算10000和1，就要递归9999次。

4、最优法：

即把辗转相除法和更相减损术的优势结合起来，在更相减损术的基础上使用移位运算；

移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：
当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数
利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数
整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数
整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数
利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5
在两数比较小的时候，暂时看不出计算次数的优势，当两数越大，计算次数的节省就越明显。

public static int gcd(int numberA, int numberB){

if(numberA == numberB)

return numberA;

if(numberA < numberB)

//保证参数A永远大于参数B，为减少代码量

return gcd(numberB, numberA);

else{

//和1做按位与运算，判断奇偶

if(!numberA&1 && !numberB&1)

return gcd(numberA >>1, numberB >>1) <<1;

else if(!numberA&1 && numberB&1)

return gcd(numberA>>1,numberB);

else if(numberA&1 && !numberB&1)

return gcd(numberA,numberB>>1);

else 

return gcd(numberA,numberA-numberB);

}

}

最后总结一下上述所有解法的时间复杂度：
1.暴力枚举法：时间复杂度是O(min(a, b)))。
2.辗转相除法：时间复杂度不太好计算，可以近似为O(log(max(a, b)))，但是取模运算性能较差。
3.更相减损术：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a, b)))。
4.更相减损术与移位结合：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a, b)))。