物理 - 坐标这种语言

直到最近才发现自己所学知识的漏洞，因此记录下来，写作下来帮助整理思路也做反思之用。如果你觉得我说的没什么用那就对了，我是爱在小事上纠结的

虽然很明白这个事它就是个定义，但有时候就是感觉不舒服，说服不了自己，可能认知上还是喜欢直白一点、描述更完美一点，钻牛角尖，有时候会因为一个负号导致的不和谐闹腾半天，就为了给它安排一个“合理的解释”，于是就想到处作证一下。

或许能明白自己在纠结是一个多么可笑的问题更能帮助人进步吧。

物理 - 坐标这种语言

坐标的重要性

不论什么教科书，第一章总是从最基本的运动开始讲起，而运动一定以坐标为第一节的的题目。从此而言，足以说明来到物理世界的第一件事就是确认坐标。
其实我们总忽略了最简单的事情，如果仅仅某一本书以某个问题开始，那么可能是作者的个人认知或看法，而如果本本都是如此，那么可能是因为需要如此。实际上可能它足够简单，又或者是大家都以它开题，使得大家忘记思考一个问题，或是忽略了这个问题——“坐标它重要吗？”。实际上越是渺小或是习以为常的事情，人们越是会忽略它的重要性，而这习以为常又渺小的事往往关系着事物的本质、事情的真相、又或者说立足点。想必已经因为我一大段文字而感觉困顿了，我先说我的结论：“物理世界是描述世界/机械世界运动的一门语言，这门语言具有精炼小巧的符号体系，又具有令人深思富有哲理的概念或理论。它是一门描述运动的语言。 ”
其实就我们学过的语言，一个语言里一定有动词、名词、形容词、副词等一些最基本语言结构，从某种角度说，他们都具有名词性，因为它所表达的含义是相对不变的或是相对静止的。
一个描述变化的语言的基础是需要不会变化的，这样才有意义。

疑惑的点

当我次次翻开书本，去阅读那些关于各种坐标讲解，阅读完后，总有一种莫名的感觉，感觉缺了点什么。实际上这类知识没有什么什么难度，往往是学了代数一点皮毛就能很快掌握的问题，但还是有一些不和谐在里面，想必你我都能能感觉到，这种不和谐一定会给你憋个大招的。直到最近才发现自己所学知识的漏洞，因此记录下来，写作下来帮助整理思路也做反思之用。

因为有时在联系一些题目时就发现，题目结果与自己所想完全不一样，题目做错，而要是去纠缠，就想问为什么那样不行，凭什么要这样不能那样，题目中说了吗？（我算的上是那种傻愣愣的学习方法了）总觉得条件没有给全，或者说书上也没提呀！怎么这里需要这样方法开始，而哪里需要那样开始（实际往往提示一番就能根据所学知识解答，但就是因为这一点，但我觉得就是这一点，就是真会与会做题的区别）。如今才明白，教科书只是工具的罗列，他没有提出任何关于初学者忽略或者犯错的提示或者点播，而老师往往以推进课程为目标，这一切都安好，除了学生。（就如同开车，油门刹车谁都会，可是有人出了考场就再也没有开过车，而上路开好的关键其实在于时机，只会工具是没有用处的，没有把他们有机整理组合起来的大脑是没有用处的，不会出现真正人才的，这种时机就是所有我们能接触到的教材所欠缺的、回避的。）如果你只是机械的依靠“大数据（刷题）”获取把握这种时机的能力那么实质还是没有理解真正的原理。这种时机依靠一些练习没错，但绝对是有着自己的一套策略去处理的。实际上这种处理的策略才是学生应该学习的，并配以对应的练习，练习才会有效果。如果你遇到了一位好老师，那么他一定会教你处理的策略，这样的老师那真是可遇不可求啊！

一开始对坐标的处理的策略就是我所感觉欠缺的点。你不信，去翻翻书本，如果没有人提醒，那么你读完大概率是只会感到空洞的知识点，“这有什么用，该不会还是不会”，这大概是大部分人的感受。你会看到有些人，一遍一遍罗列组织这这些知识，但是还是没用，无用之用——就只有看着美了。因此，我在这里只想找一个办法形成这种策略，试图找到真正有用的路。

向量

• 质点的位置常用位置矢量表示，它是从坐标系的原点指向质点所在位置的有向线段。

坐标的不和谐

同一物体的运动，由于我们所选取的参考系不同，反应的运动关系会不同，对它的运动的描述也会不同。

• 位移是矢量
• 位移表示质点位置的改变，并不是质点所经历的路程
• 位矢与原点选取有关
• 平均速度为位移除时间
  $$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$$

位移与位矢均为有向线段，但不同的是，位矢自原点出发。

为什么会选择位移这样一种不是质点所经历的的参数作为描述千变万化物理世界的基石。为什么？一定得有一个理由吧？选择它一定有好处吧？可是仅从直观的看，位移这种描述算不上是怎么优秀。它不会使人忽略了众多细节吗？我们不是要去描述运动过程吗？这时候我们为什么又不在意了？相比之下路程定义的速率就有意义的多了。

• 难道仅仅是因为能够按照三角形法则或平行四边形法则来合成吗？

实际上这个问题可以换个角度，位矢按照时间变化的方程就是运动学方程，凸显出运动路径定义我们叫它轨迹方程。因此，这个问题可以变成“运动方程与轨迹方程的区别”。
若是将运动方程去掉方向，它实际上是我们经常接触的另一种方程——参数方程，这一组方程显含参数时间t，而轨迹方程方程是可以通过消参得到的。

因此，它们之间最直接的区别是前一种表达含有时间和方向。但是，轨迹方程它不含时，我们实际上还是希望得到一组描述路程的运动方程，或许运动方程的参数方程已经告诉我们了。我们想要获得路程，我们将参数方程组换成曲线段的积分。
$$ds=\sqrt{(dx²+dy²)}$$
事实上我们做了如下处理：
将向量转化为参数方程，我们去掉了方向向量，使用x、y等方向参数代替；
将参数方程化为曲线积分，我们去掉了x、y等方向参数，使用曲线参数s代替；

所以说路程实际上的描述坐标空间语言是一维的，它的方向仅沿时间方向做不均匀变化，即使两个物体路程变化一致，实际上他们的运动轨迹也可能完全不一致。这是路程的数学语言缺少方向导致的。这种情况是我们所不能接受的，我们需要知道物体的真实运动姿态。因此我们要求运动方程必须含有方向。

我们陷入了一个僵局：

• 显含方向就没法直观的体会到物体在空间中累计的运动
• 显含路程就没办法直观的体会到物理运动时的姿态或运动状况

这实际上是一种观点之争，我们应当静止的看运动还是运动的看。当然画图确实不失为一个两全其美办法，但是他又丧失了描述语言的简洁性。

实际上物理世界中到处都有这种观点之争，（能量一般它所传达出的意为是静止的吧？功呢？你立马想到了力做功，有种运动的意味吧？力与动量呢？依照牛顿定理而言力不是凸显运动吗？而动量不是凸显出相对静止的意味吗？此处坐标不也一样吗？位矢更具微观瞬时色彩，路程更具宏观静止感。我们有了能量、运动、坐标三组各具运动或静止视角的描述。）

功	力	位矢
能	动量	路程

这我们有必要讲一下曲线积分，我以同济六版高等数学为例：
曲线积分与曲面积分

• 第一类曲线积分（对曲线的积分/对弧长的曲线积分）
  $$\underset{L}{\int }f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[f\right(\phi (t),\Phi (t)\left)\right]\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\Phi }^{\prime }(t{)}^2}dt(\alpha <\beta )$$
  积分元为ds
  $$\underset{\tau }{\int }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }[f(\phi (t),\Phi (t),\omega (t))]\sqrt{{\phi }^{\prime }(t{)}^2+{\Phi }^{\prime }(t{)}^2+{\omega }^{\prime }(t{)}^2}dt(\alpha <\beta )$$
  下面的形式说明了被积曲线可以是分段的，定义要求每一段光滑，不需要段与段之间光滑
  $$\underset{L_1+L_2}{\int }f(x,y)ds=\underset{L_1}{\int }f(x,y)ds+\underset{L_2}{\int }f(x,y)ds$$
  上面的公式说明了曲线积分的维度可以是多维度的，并且可以是分段的。$f(x,y)$ 虽然带有$x,y$ 但实质将其理解为一个随曲线段变化的线密度是再好不过了。计算的时候仅需要带入参数方程进行消参就可以计算了。
• 第二类曲线积分（曲线积分在各方向的投影/对坐标的曲线积分）
  ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ φ ( t ) , Φ ( t ) ] φ ′ ( t ) + Q [ φ ( t ) , Φ ( t ) ] Φ ′ ( t ) } d t \int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\varphi(t),\Phi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t),\Phi(t)] \Phi^{\prime}(t)\}dt ∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​{P[φ(t),Φ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),Φ(t)]Φ′(t)}dt
  第二类积分也可以写成向量形式，这里就不列举，其意义也是显而易见的，而上面这个式子实际就是说把参数方程带进去计算就可以，我们比较两类积分会发现：
  • 两者积分元不同
  • 两者线密度不同， $P(x,y)、Q(x,y)、f(x,y)$
  • 三个线密度间满足三角形或平行四边形合成法则

我们需要找到$P(x,y)、Q(x,y)、f(x,y)$三者间的关系，因为我们能发现积分元与被积函数 / 线密度有着直接的关系：
$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )ds={\int }_{L}P\cos \alpha ds+Q\cos \beta ds$$
我们得到了两者之间的联系，给出了沿曲线的被积函数在各个方向投影的关系：
$$f(x,y)=\sqrt{{\left|P(x,y)\right|}^2+{\left|Q(x,y)\right|}^2}$$
$$\vec{f}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$$
我觉得这里有必要强调一下$dx=\cos \alpha ds，dy=\cos \beta ds$，并且$P(x,y)、Q(x,y)、f(x,y)$三者间的关系属于向量间的关系，相互分解、合成。

并给出两者真正的关系：
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β [ f ( φ ( t ) , Φ ( t ) ) ] φ ′ ( t ) 2 + Φ ′ ( t ) 2 d t = ∫ α β ∣ P ( x , y ) ∣ 2 + ∣ Q ( x , y ) ∣ 2 φ ′ ( t ) 2 + Φ ′ ( t ) 2 d t = ∫ α β ( ∣ P ( x , y ) ∣ 2 + ∣ Q ( x , y ) ∣ 2 ) ( φ ′ ( t ) 2 + Φ ′ ( t ) 2 ) d t 第 一 类 曲 线 积 分 ≥ 第 二 类 曲 线 积 分 ( 利 用 完 全 平 方 式 推 导 一 下 ) = ∫ α β { P ( x , y ) φ ′ ( t ) + Q ( x , y ) Φ ′ ( t ) } d t = ∫ α β { P [ φ ( t ) , Φ ( t ) ] φ ′ ( t ) + Q [ φ ( t ) , Φ ( t ) ] Φ ′ ( t ) } d t = ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \begin{aligned} \int\limits_{L}f(x,y)ds &=\int_{\alpha}^{\beta}\bigl[f\bigl(\varphi(t),\Phi(t)\bigr)\bigr]\sqrt{\varphi^{\prime}(t)^{2}+\Phi^{\prime}(t)^{2}} dt &\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left | P(x,y) \right |^{2} +\left | Q(x,y) \right | ^{2} }\sqrt{\varphi^{\prime}(t)^{2}+\Phi^{\prime}(t)^{2}} dt \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\left | P(x,y) \right |^{2} +\left | Q(x,y) \right | ^{2} )(\varphi^{\prime}(t)^{2}+\Phi^{\prime}(t)^{2})} dt \\ &第一类曲线积分\ge 第二类曲线积分(利用完全平方式推导一下) \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\{P(x,y) \varphi^{\prime}(t)+Q(x,y) \Phi^{\prime}(t)\}dt \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\varphi(t),\Phi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t),\Phi(t)] \Phi^{\prime}(t)\}dt \\ &= \int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{aligned} L∫​f(x,y)ds​=∫αβ​[f(φ(t),Φ(t))]φ′(t)2+Φ′(t)2 ​dt=∫αβ​∣P(x,y)∣2+∣Q(x,y)∣2 ​φ′(t)2+Φ′(t)2 ​dt=∫αβ​(∣P(x,y)∣2+∣Q(x,y)∣2)(φ′(t)2+Φ′(t)2) ​dt第一类曲线积分≥第二类曲线积分(利用完全平方式推导一下)=∫αβ​{P(x,y)φ′(t)+Q(x,y)Φ′(t)}dt=∫αβ​{P[φ(t),Φ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),Φ(t)]Φ′(t)}dt=∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy​
我们可以给出一个结论：

• 沿曲线的积分≥各方向分量的积分和
• 等号仅在向单一方向运动的直线运动下取得（说法不是特别严谨，目前没有想到更好的讲法，这是一种可以将曲线运动看作直线运动的情况）。
• 位矢与路程两种表达就决不能是简单的包含或是交集的情况了。
• 第一类曲线积分是对标量函数进行积分，用于计算沿曲线的质量、电量、能量等物理量的总量。
• 第二类曲线积分是对向量函数进行积分，用于计算力、功、磁通量等与力学、电磁学相关的物理量。
• 第一类曲线积分是对无向曲线的积分，反映在积分上是对弧长的积分；
• 第二类曲线积分是对有向曲线的积分，反映在积分上是对坐标的积分。

至此，我们所谈论两件事情终于是在“表达语言”层面简析了一番，实际上这两种表述（位矢与路程）就是这两种曲线积分数学语言在物理上能够给出的内涵，至少在某一个面是如此。
这里我也给出取等号的条件：$P(x,y){\Phi }^{\prime }(t)=Q(x,y){\phi }^{\prime }(t)$，使用完全平方式很容易能得出来。

但事实上，我们还是未给出位矢这种表述的具体优势，它这么不好我们干嘛用它？我想举几个例子来说明这件事。

例子

• 例1
  一质点沿$x$轴运动，其运动方程为$x=t^2-1$,其在$t=1$时刻的平均速度、速度和速率 ？
  答：平均速度为零，速度和速率为2。
• 例2
  质点做半径为$R$的匀速圆周运动，经时间$T$转动一周。则在$2T$时间内，其平均速度的大小和平均速率分别为？
  答：0和$\frac{2\pi R}{T}$。
• 例3
  物体沿一闭合路径运动，经$\Delta t$时间后返回到出发点$A$，初速度$v1$末速度$v2$，则在$\Delta t$时间内其平均速度$\bar{v}$与平均加速度$\bar{a}$分别为？
  答：$\bar{v}=0，\bar{a}\ne 0$

通过上面几个例子，我想你已经发现我所担忧的了，它们的平均速度均为零；有意思的是在这里，速度和速率竟然相等，当然这是在严苛的条件下才会有的（瞬时、瞬间、在某一刻的邻域内）。一开始位矢与路程的独特区别在这里得到了统一？而又有一个新的量占据这个殊荣——平均速度，可能平均速率更是我们所期望的吧。如果依靠位矢建立起那样一种度量，那么出现位移为零的情况，速度同样为零，平均速度的刻画是极其令人不快的，也会让人对使用这种方法去度量结果反应的真实性（直觉上）表示怀疑。

因此，我们有理由这样想，一开始选取矢量定义的方式是从尽可能描述完整的目的出发，当我们需要定义速度，我们意识到了这种不协调，我们对定义的方式做了优化，使其在描述时进一步准确，两者达到统一，规避了这种不协调，使用瞬时速度这一定义，使其变得更为通俗赋予更广更具代表的简称速度，这难道不是人为的选择吗？我们‘抛弃’了（较少用）平均速度就是对这一不协调的最好解释吗？（这平均两个字总是让人想入非非，莫非这么起名是相对于瞬时速度而言的？虽然很明白这个事它就是个定义，但有时候就是感觉不舒服，说服不了自己，可能认知上还是喜欢直白一点、描述更完美一点）

再说回来，我们选择位矢描述某时刻质点的运动情况，能够确定位置和速度，唯一的缺憾就是动感太足一眼看不到轨迹函数$S(t)$的，或许我们该接受这种不足，给予了太高的期望，若仅仅停留在运动方程，不去赋予更高的意义（不非得显含路程$S(t)$函数），或许是一个不错的想法，更能让人接受。

如何定义一个运动？——给一个位置、一个速度（瞬时、有方向的、${\lim }_{\Delta t\to 0}$、连续可微）。

• 一个位置、一个速度矢量，满足这样的条件也许就足够了。

一般谈速度都具有瞬时微分性，位矢 的变化量与路程的变化量一致，还需要多注意这一点。

功与能	与路径有关	标量	第一类曲线积分	耗散力	机械能转化
	与路径无关	向量	第二类曲线积分	保守力	机械能守恒

最后，当然你可以说我这样的但寻完全是多余的，因为我们经常遇到的问题大多是保守力场下求解的，因此需要使用向量来表示，我们此时不必关心具体的变化，只需要关心始末位置，我们计算非保守力时再使用别的方法，理论上来说没错。但是既然有这样的区分，难道不想寻找一种方法将两者合并起来，这是多么诱人。如果不可以，我想弄明白为什么不可以。具有什么样的条件下就可以了？（格林公式的路径无关条件，斯托克斯公式三维中路径无关条件）

不同坐标

• 直角坐标 $x,y$；适合描述直线或曲线运动
• 自然坐标
  $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dt}\overrightarrow{e_{\tau }}$$
  这里速度具有瞬时微分性，位矢 的变化量与路程的变换量一致，因此表现出的是切点的方向。
  $$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv\overrightarrow{e_{\tau }}}{dt}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{e_{\tau }}+v\frac{d\overrightarrow{e_{\tau }}}{dt}$$
  加速度为速度的导数，
  $$\frac{d\overrightarrow{e_{\tau }}}{dt}=\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_n}=\omega \overrightarrow{e_n}=\vec{\omega }$$
  这里的意思就是，方向向量的变化为角速度$\vec{\omega }$，
  $$\vec{a}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{e_{\tau }}+v\omega \overrightarrow{e_n}$$
  曲率半径就是 $\overrightarrow{e_n}$ 方向的半径$R$。
  • 在质点运动轨迹上任取一点作为坐标原点
  • 质点在任意时刻的位置都可用它到坐标原点的轨迹的长度 $s$ 来表示
  • 使用轨迹点切线方向向量表示方向
  • 为了使加速度的物理意义更为清晰，通常在研究中采用自然坐标系。
  • 目的就是为了方便描述曲线运动，突出加速度：切向加速度、法向加速度
• 极坐标 $x=r\cos \theta ，y=r\sin \theta$
• 柱坐标 $x=r\cos \theta ，y=r\sin \theta ，z=z$
• 球坐标 x = r cos ⁡ θ sin ⁡ φ ， y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ ， z = r cos ⁡ φ ， { r ≥ 0 , 0 ≤ θ < 2 π , 0 ≤ φ ≤ π } x=r\cos\theta\sin\varphi，y=r\sin\theta\sin\varphi，z=r\cos\varphi，\{r\geq0,0\leq\theta<2\pi,0\leq\varphi\leq\pi\} x=rcosθsinφ，y=rsinθsinφ，z=rcosφ，{r≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π}

坐标运算

这几类坐标中相比最有意思还是球坐标，首先因为球坐标在三维空间中，计算上属于重积分，要比一般积分运算更复杂，其次可以涉及到点、线、面、体等各种不同变化，而这一切的核心都在于变化多端的被积函数或某种点、线、面、体的密度，我们还是以同济六版高等数学为例：

积分运算

说明一下不同维度，空间积分的计算。

中值定理与牛顿 - 莱布尼兹公式

我们先说明两个基础：

中值定理

（曲线区域与坐标围成的面积 【想象成一个三角的】= 坐标区域与曲线上一点的乘积【想象成矩形的】）

• 实际上我觉得中值定理源自我们很早就学习过的数学知识，直角三角形的面积运算。我来画张图让大家感受一下
  
  三角形$ABC$为需要计算的面积，我们能够找到一点D，使得三角形$ABC$的面积为矩形$ACFE$的面积，学过小学数学的人都知道这是没有问题的。而厉害之处就在于将这个小学数学应用在曲线上。
• 我们先来简单的理一下，如果我们需要计算一条任意曲线的面积我们应当怎么做呢？
  我们还是利用之前的思想，不过这次把它分成很多分份
  这样我们得到的面积近似等于曲线的面积，理论上你分的足够细一定能得到曲线的真实面积。我们假设每一个矩形与曲线的交点，该交点与底面围成的矩形等于曲线围成的面积。这便是积分的原理。
• 如果我们进一步思考，每一个矩形的底面宽度是不一样的，相对平缓的我们容易画出一个较大的矩形，相对陡峭的，我们越容易画出一个细长的矩形。
• 如果我们再进一步，以定长分割底面宽度，随着底面宽度变化（沿x方向），某些点矩形与曲线的交点变化快，某些点矩形与曲线的交点变化慢，而这一点一般我们叫倒数、线密度、被积函数、斜率，它本身就是我们曲线上的一点（交点）。
• 有了这样的认知我们再分析一下各种中值定理：
  • 罗尔中值定理
    （1）在闭区间$[a,b]$ 上连续，
    （2）在开区间 $(a,b)$ 内可导，
    （3）$f(a)=f(b)$，则至少存在一个 $\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$。
    
    • 连续我们好理解，如果不连续我们就要考虑分段；
    • 可导，实际上我们刚也分析了，可导就是有导数，导数就是我们之前提到矩形与曲线相交的某一点，由于我们使用这种微分之后再求和的方法（求矩形），所以这一点必须存在；
    • 为什么可导一定是开区间，因为没办法在一个点上取它的斜率；
    • 罗尔中值定理用人话说就是，两个等高的点之间的任意曲线，能找到一个水平的切线。
  • 拉格朗日中值定理
    (1) 在 $[a,b]$上都连续；
    (2) 在$(a,b)$上都可导；
    那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=(f(b)-f(a))/(b-a)$。
    • 实际上拉格朗日中值定理用人话说就是，两点间线段能找到一切点$C$，与$AB$直线的斜率相等；
    • 其实不就是能找到一个切线了；
    • 我们再分析一下，这中值定理怎么就有用了，他怎么就能求出来积分了，$f^{\prime }(\xi )(b-a)=f(b)-f(a)$，我们移项一下我们能发现导数是一个$\tan$函数（切线=角=正切=被积函数=映射=密度），它表达的不就是随横坐标向纵坐标映射去的数量的权重吗？不就是我们前面说的线密度吗？虽然他有很多名字，有很多意义，但是还不就是一个权重吗？很简单
  • 柯西中值定理
    (1) 在 $[a,b]$ 上都连续；
    (2) 在 $(a,b)$ 上都可导；
    (3) $f^{\prime }(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$ 不同时为零；
    (4) $g(a)\ne g(b)$，
    则存在$\xi \in (a,b)$， 使得
    $$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$
    • 这又是什么意思呢？实际上内核上没有新的东西，不过这一次不一样的是$X，Y$的轴上是参数方程，就如曲线积分在各方向的投影/对坐标的曲线积分一样，分别在$X，Y$两侧有$P(x,y)、Q(x,y)$两种不同的线密度一样，这两者放在一起理解我觉得更好。你会发现，这样不就能做该理论的支撑了吗？所以柯西将中值定理扩展到了参数方程更普遍/变化更多的领域。

因此这实际上说明了一个很重要的问题，所谓积分求面积，上面的曲线就是某个函数的导数、斜率、密度，它就是某个中值点。不过经常让人搞混的是，你看到的函数图像是是最终的面积变化函数呢？还是需要积分的权重函数呢？

牛顿 - 莱布尼兹公式

（增加的变化量的和 = 增加量）
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
该公式表达的是一重积分的原理。
中值定理更偏向描述微分，从整体到微分；牛顿 - 莱布尼兹公式体现的更多的是从微分到整体，两者表达一致。
$$f^{\prime }(\xi )(b-a)=f(b)-f(a)$$
符号统一一下：
$$f(\xi )(b-a)=F(b)-F(a)$$

我们就得到了积分中值公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

格林公式

我们先来看看格林公式：
$${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L+}Pdx+Qdy$$
格林公式不就是曲线的第二类积分吗？不过通过变形的方式将一重积分与二重积分联系起来了，并且这个曲线还是一个封闭曲线。或许写成这样才好看一点：
$$\begin{gathered} {\oint }_{L+}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ 对比一下曲线的第二类积分 \\ {\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{gathered}$$
我们来细细理理，为什么这样子就能够得到一个二维面积了？
仔细回想一下我们刚再说中值定理的时候，实际上曲线的积分就是曲线所围成的面积，而有意思的是，当积分为一个环形，我们的积分就只是环形内的面积了，这样看起来我们更进了一步，因为我们的计算变得更自由了！但是怎样实现的呢？

• 其实这跟积分的方向有关
  同济高等数学书上有这样一段话，再讲曲线积分时提到：“下限$\alpha$ 对应于$L$的起点，上限$\beta$对应于$L$的终点，$\alpha$不一定小于$\beta$。”翻译翻译就是，积分的正负与积分方向有关，在数学上，规定顺时针旋转的角为负角，逆时针旋转的角为正角。 格林公式把第二类曲面积分转换为二重积分。 因为第二类 曲线积分 的积分路径是有方向的，所以格林公式需要考虑正、反向，书上公式是在正向也就是逆时针方向条件下给出的。如图：
  
  注：当积分的被积函数分母不能为零时，即使环路积分为零，别忘了零点这一特殊点，环路内它也是有贡献的，就好像把这个数专门留着，跟复变的留数定理意思有点像。

• 曲线积分什么时候与路径无关呢？
  在物理学中，在保守立场条件下，我们需要研究向量的线性积分再与路径无关的情况下的积分运算；什么是路径无关呢？AB两点的环路积分为零，也就是A到B的任意一条曲线积分等于另一条曲线积分。
  $$\begin{gathered} {\oint }_{L+}Pdx+Qdy=0={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ 条件为：\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} \end{gathered}$$

• 二元函数的全微分求积分

  • 要注意的是，这次的积分区间不再是回路，而是一条路径$L$。
  • 但是这条路径是路径无关的
  • $du=Pdx+Qdy$，这样的形式很容易令人想到这里有一个全微分
  • $u(x,y)={\int }_{L}Pdx+Qdy$

补充：什么是全微分？全微分就是各个方向上都微分，微分增量为全增量；偏微分就是，再某个方向上有增量，是偏增量。方向导就是沿某个方向的增量，既不是全增量（全方向），也不全是偏增量（仅沿轴方向是的）。——具体还是放在微分里面讲吧。

微积分与向量微积分

这是微积分的基本公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
这里有一个缺陷，就是没有体现出向量的关系，下面是体现向量关系的式子
$${\int }_a^b\vec{F}(x)d\vec{r}=f(b)-f(a)$$
该积分曲线与路径无关。

因此现在总结一下，我觉得这里非常能体现出微积分的两类特征：

微积分	与路径有关	标量	第一类曲线积分	耗散力
	与路径无关	向量	第二类曲线积分	保守力

曲面积分

曲面积分也有如曲线积分一样的问题。

二重积分的中值定理

设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为$D$的面积，则$\exists (\xi ,\eta )\in D$ ,使得
$${\iint }_{D}f\left(x,y\right)d\sigma =f\left(\xi ,\eta \right){\iint }_{D}d\sigma =f\left(\xi ,\eta \right)\cdot \sigma$$
我们来简单的理解一下，公式左边说的是具有不同面密度的面积分等于右边面积乘以一个面上一个面密度，我们应当能直到，这个面密度一定是一个平均面密度，这样做的好处就是将局部连续变化，变成了局部的平均值。

这里放一个例题，说一下这个定理一般会怎么用：
例题来源：(https://blog.youkuaiyun.com/weixin_47187147/article/details/124367113)


我来大致说一下什么意思，在一个区域内的积分， 可以等于区域内一点乘于积分面积，而这里这个区域会取极限，变成某一点，那么这一点，还在区域内，这一点就是区域内的某一点，实际上极限帮助我们确认了区域内的中值定理所要求的那一点。
我们再找一个例子：




先感谢一下原作者的总结，我能拿来直接用，总结的很棒。这里计算相较于使用中值定理计算积分，使用了极坐标+积分中值定理的计算方法，当作扩展思路的例子。

能够包络所有的计算技巧不是本文的目的，还是回归到理论上来。

曲面的面积

要计算曲面积分还需要搞清一点，积分面与积分元关系，因为中值定理只能告诉我们被积函数的取法，我们还缺少积分元的取法，因此我需要再次着重讨论一下积分元的取法，为什么是再次呢？因为我们再说明曲线积分已经说过了，但是我觉得放在一起在说一遍会更好。
我们先说明一下，在沿着曲面的积分，注意这里的曲面是没有方向的、无向量的，

我这里找了几张描述这一过程的示意图，为了更方便理解，我们还是以这张图出发：

曲面$S$的某一面元$dA$，我们需要直到面元与积分元的关系，积分区间我们是在$xOy$上的，因此我们的积分面实际上是在$xOy$平面内，但是我们目的是要计算面元$dA$，因此我们需要一个对应关系，我们能够取到一个切平面$T$。我们能有积分元：
$$dA\cdot cos\gamma =d\sigma$$
同样能得到：
$$cos\gamma =\frac{1}{\sqrt{{\left(f_x^{{}^{\prime }}\right)}^2+{\left(f_y^{{}^{\prime }}\right)}^2+1}}$$
我们要说明一下，$f_x^{{}^{\prime }},f_y^{{}^{\prime }}$本身就是偏微分，写成$f_x,f_y$理应能表达微分的含义，但是为了强调，就先这样写吧。
实际上这件事不难想清楚，

$$\frac{1}{\sqrt{{\left(f_x^{{}^{\prime }}\right)}^2+{\left(f_y^{{}^{\prime }}\right)}^2+1}}=\frac{d\sigma }{dA}$$
这可以表示为两平面的夹角，而两平面的向量为，$(-f_x^{{}^{\prime }},-f_y^{{}^{\prime }},1)$和$(0,0,1)$这样的两个向量。因此问题就又一步简化了，简化为两个向量的夹角，（后面会解释这个向量）
$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$
我们带入求得一下就能得到。

• 这样子的角已经出现了很多次了，有$cos$的$tan$的，我们来简单总结一下：
  • 沿着曲线或与路径相关的时候
    这时候一般是$cos$，因为与路径相关，因此此时积分计算的是积分路径方向的与坐标轴映射或投影的关系；
  • 沿着坐标或与路径无关的时候
    这时候一般是$tan$，因为与路径无关，因此此时积分计算的是另一坐标轴的与积分坐标轴映射或投影的关系，这不就是导数（被积函数、密度）。

因此积分元不同积分情况，若被积函数相同时，需要分清到底是无向量的，还是有向量的。

第一类曲面积分

$${\iint }_{S}f(x,y,z)ds={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{(z_x^{{}^{\prime }}{)}^2+(z_y^{{}^{\prime }}{)}^2+1}dxdy$$
如果曲面S是由隐式$F(x,y,z)=0$ 给出的，其中F的各偏导数“连续，而且$F_z^{{}^{\prime }}\ne 0$
有$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{{}^{\prime }}}{F_z^{{}^{\prime }}}$
那么有${\iint }_{S}f(x,y,z)ds={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{1}{|F_z^{\prime }|}\sqrt{(F_x^{\prime }{)}^2+(F_y^{\prime }{)}^2+(F_z^{\prime }{)}^2}dxdy$

• 对于一般式面向量为$(f_x^{{}^{\prime }},f_y^{{}^{\prime }},-1)$，对于隐式，面向量为$(F_x^{{}^{\prime }},F_y^{{}^{\prime }},F_z^{{}^{\prime }})$，我们需要解释一下这里的面向量：
  • 可以在曲面上找到两个向量，一个是切向量$\vec{T}(dx,dy,dz)$，另一个为法向量$\vec{N}(n_0,n_1,n_2)$
  • 两个向量垂直，向量积为零$\vec{N}\cdot \vec{T}=n_{0}dx+n_{1}dy+n_{2}df=0$
  • 对于一元函数$f(x)$在其上的任意一点，$\left(x,f(x)\right)$的法向量为$\left(f^{\prime }(x),-1\right)$，实际上也可以为$\left(-f^{\prime }(x),1\right)$
  • 对于二元函数$f(x,y)$上的任意一点$(x,y,f(x,y))$,其法向量为$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1)$，同样$(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1)$

这实际上说明了法向量是面函数的偏导，利用了面元的全微分，就类似于这样：
$$0=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy-df$$
若此时$z=f(x,y)$
$$0=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy-dz$$
这样就能得到曲面的法向量了。(同济高等数学第六版下 曲面的切平面与法线，P98)

注：$f$代表的是法则，一种映射法则不能对法则求导或微分或偏导，必须用$z$,$z$才代表的是函数。
参考链接

第二类曲面积分

$${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dzdy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy={\iint }_{S}Pcos\alpha ds+Qcos\beta ds+Rcos\gamma ds$$
该曲面积分是具有方向的，
$$A(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$$

• 两类曲面积分的关系：
  它是单位法向量的各分量
  $$\underset{S}{\iint }Pdxdy+Qdzdx+Rdxdy=\underset{S}{\iint }(P,Q,R)(-f_x^{\prime },-f_y^{\prime },1)dS=\underset{S}{\iint }\vec{A}\cdot \vec{n}dS$$
  由于没有指定侧，因此不知道取正还是负，
  $$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\frac{\pm 1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}(f_x,f_y,-1)$$
  实际上这样写
  $$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\frac{\pm 1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}(-f_x,-f_y,1)$$
  向上侧为正，相信下侧为负，这是因为曲面的法向量指向可以有两个，但我们选向上的为正方向，这样与面向量的流量正方向一致。

• 说明一点：曲面的向量是取得法向量，曲线的向量取得是切向量。

• 这实际上是将与路径有关的，通过转为向量形式（$cos$的正负就能够包含向量信息），换种说法就是路径无关化。

参考（https://zhuanlan.zhihu.com/p/397567813）

二重积分运算

• 二重积分计算可以将二重积分化成二次积分，即两次单积分或两次定积分来计算
• 若其积分区域$D$的边界是用直角坐标系表示方便，则使用直角坐标系，例如：
  $$\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}x\underset{{\phi }_1\left(x\right)}{\overset{{\phi }_2\left(x\right)}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y.$$
• 若其积分区域$D$的边界是用极坐标系表示方便，则使用极坐标系，例如：
  $$\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma =\underset{a}{\overset{\beta }{\int }}\mathrm{d}\theta \underset{{\phi }_1\left(\theta \right)}{\overset{{\phi }_2\left(\theta \right)}{\int }}f\left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right)r\mathrm{d}r.$$

三重积分

• 与二重积分一样，三重积分计算是将三重积分化成三次积分，即三次单积分或三次定积分来计算
• 利用直角坐标系，积分区域$D$的边界是用直角坐标系表示方便
• 利用柱坐标系，积分区域$D$的边界是用柱坐标系表示方便
• 利用球坐标系，积分区域$D$的边界是用球坐标系表示方便

我这里多说一点球坐标，
面积元$dS=r^2\sin \theta d\theta d\phi$
体积元$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$

我经常有时候记不住，我想到一个比较的招：
对于极坐标面元：$r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r$
对于柱坐标体积元：$r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}z$
对于球坐标体积元：$r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r(r\sin \theta )\mathrm{d}\phi$

$\mathrm{d}r$	$\mathrm{d}\theta$	$\mathrm{d}\phi$
1	$r$	$r\sin \theta$

高斯公式与斯托克斯公式与格林公式

这里我们先谈斯托克斯公式，理由是我们前面已经说过了格林公式，这两个公式有其相似之处，方便理解：

• 斯托克斯公式：
  $${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy.$$
  也可以表示为
  $${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$
  斯托克斯的公式推导，是将曲面投影到各个面，将二重积分化为二次积分，然后利用格林公式化为曲线积分。

• 高斯公式
  $$\begin{array}{rl}\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy& ={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv\\ & ={\iint }_{S}Pcos\alpha ds+Qcos\beta ds+Rcos\gamma ds\end{array}$$

• 格林公式
  $${\oint }_{L+}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\int }_{L}P\cos \alpha ds+Q\cos \beta ds$$
  若定义沿着环方向有一切向量$\tau$，$\tau =(\cos \alpha ,\cos \beta )$，${\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D(\nabla \times \mathbf{a})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$，其中$\mathbf{a}=(P,Q)$
  
  若$n=(\cos \beta ,-\cos \alpha )$，${\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}ds={\iint }_D\nabla \cdot \mathbf{a}dS$
  $$\begin{array}{rl}{\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}ds& ={\oint }_{\partial D}(P\cos \beta -Q\cos \alpha )ds\\ & ={\oint }_{\partial D}-Q\mathrm{d}x+P\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_D(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

总结:
$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D(\nabla \times \mathbf{a})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\\ & {\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}s={\iint }_D\nabla \cdot \mathbf{a}\mathrm{d}S\end{array}$$

参考1
参考2
参考3

微分运算

洛必达法则

首先，我们理解一个知识点，需要弄明白它到底是为了干什么？解决什么问题。当我们求极限时，事实上微分本身就是一种极限，不仅是微分，导数也是一种极限，因此我们会遇到各种求解极限问题的情况。
会有这么一种特殊的情况，我们所求极限刚好为分式，我们不能利用“商的极限等于极限的商”这一法则进行运算，因此我们需要一种理论去解决这种情况。洛必达法则出现了：
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$
还有另一种形式，这里$f$与$F$与上面有时表示微分关系不一样，具体还是看放在什么情况下说明，他们始终是一个代号。
$$*{lim}_{x\to \infty }\frac{f\left(x\right)}{F\left(x\right)}=*{lim}_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{F^{\prime }\left(x\right)}$$
还有其他变形，可以通过变形得到分式形式，然后再使用洛必达法则，$0\cdot \infty ,\infty -\infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0$。

注：洛必达法则仅对不定式（$\frac{0}{0}，\frac{\infty }{\infty }$）这类问题适用，其他的不能用。

• 洛必达怎呢求积分极限？
  举个例子
  例子链接
  $$\begin{array}{rl}*{lim}_{x\to 0}\frac{({\int }_0^x{e}^{t^2}dt{)}^2}{{\int }_0^{x}t{e}^{2t^2}dt}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\int }_0^x{e}^{t^2}dt\cdot e^{x^2}}{x{e}^{2x^2}}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x{e}^{t^2}dt}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^{x^2}}{e^{2x^2}}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x{e}^{t^2}dt}{x}\\ & =2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}}{1}=2\end{array}$$

全导数与参数方程 - 一元函数

这种能够写出全导数的函数，一般看起来虽然像是多元函数，但是它能够写成参数方程，最后化成一元函数，因此，全倒数与导数一致，可以说是参数方程的导数。如$z=f(x,y)，x=u(t)，y=v(t)$。那么$z$关于$t$的导数就是全导数。所以本质上就是个一元函数的导数，$z$本质上就是个关于$t$的一元函数。对于真正的多元函数是没有全导数这一说的，只有偏导数、偏微分和全微分。

以下以$z=f(x,y,t)$为例
全导数：
$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial t}$$
微分：
$$\mathrm{d}z=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial t}\end{array}\right)\mathrm{d}t$$

注1：$f$代表的是法则，一种映射法则不能对法则求导或微分或偏导，必须用$z$,$z$才代表的是函数。(同济高等数学第六版下，P77，P64 实际也可以记作$\partial f$，但是为了不混乱还是分开)

注2：全导数是一定能确定化成一元函数，因此对函数$z$的微分是$d$符号，虽然全微分里含偏微分，但以$d$结尾。

全微分与方向导与偏导数 - 多元函数

全微分实际要求了一件事，就是函数可微，对于二元函数，函数可微与一元函数略有不同。

• 一元函数，可微$dy=\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{dy}{dx}\Delta x+o(\Delta x)$
• 多元函数，可微$dz=\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\rho )$
  其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$

概念很简单，但是我觉得要彻底读懂还是应该费些笔墨，总说可微可微到底怎样才算可微呢？
就看概念，总的来说是沿着全增量的方向有微元，各元函数的系数为原函数的偏导数，所以这里一定是要偏导数存在的，这里我们呢看概念是能体会到的，但是各偏导数存在全微分就一定存在吗？答案是错的，所以这里就有误区了。问题在这里，我们虽然抓住了重点微分元部分，但是我们总是忽略小尾巴$o$，这个理论上来讲，是一个无穷小量，我们默认它可以忽略了，但是问题就出在这里。不是所有函数微分后的无穷小量都能忽略。

• 这里实际有一个隐含的条件，无穷小量$o$一定得是$\rho$的高阶无穷小才满足，且路径一定得沿着$\rho$方向。
  写成公式就是
  $$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{o(\rho )}{\rho }=\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$$
  此极限等于零（高阶无穷小，极限为零），这时我们才能忽略无穷小量$o$，各偏导数存在，此时多元函数的才可微。

  • 要有：${\lim }_{\rho \to 0}\Delta z=0$，函数连续（若可微，一定连续）
  • 要有：无穷小量$o$一定得是$\rho$的高阶无穷小
  • 总：函数$z$连续性是$\rho$的高阶无穷小，公式如下
    $$\begin{array}{rl}\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }& =\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}\\ & =\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}\\ & =\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}\\ & =0\end{array}$$
    若公式成立，则在$(0,0)$可微。这样一种形式既要求了连续性，有要求了无穷小量的条件。

• 偏导数在某点存在，并不一定保证函数在该点连续（对于偏导数，连续不一定可导，可导不一定连续，偏导数存在只能证明沿着坐标轴方向存在，二元函数是一个空间曲面，因此偏导约束略显不足）。

• 还有另外一种方法满足也时也可微，各偏导数存在，且偏导数连续，需要提醒的一点，偏导数在一点连续并不一定意味着偏导数在这一点存在，比如在该偏导方向是一条折线，折现连续但折线的点不可微，即偏导不存在。因此必须要有两个要求。

  • 要求1：各偏导数存在
  • 要求2：偏导数连续，此处连续邻域一定是$\rho \to 0$，偏导数极限变化一定取$\rho \to 0$，因为这是二元函数。（偏导连续一定可微，可微不一定偏导连续）
  • 总：偏导数，既可导也连续 = 函数$z$连续且可微。

总结一下：全微分要求连续且有高阶无穷小，或者偏导数存在、偏导数连续。但总的来说收敛路径一定得是$\rho \to 0$，实际上计算函数连续且有高阶无穷小会更直接。
例子：

这是$$z=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$的图像，从图像上我们就能发现沿着$x,y$方向函数在$(0,0)$点不连续。

参考（https://zhuanlan.zhihu.com/p/110305413）这里的例子很多可以学习一下。
参考（https://zhuanlan.zhihu.com/p/511836888）这里的例子很多可以学习一下。

• 切线存在，切平面一定存在吗？—— 方向导与全微分
  实际上对于多元函数，全微分存在，实际上是需要平面上具有一切平面，切平面存在，全微分存在。那么有时就会有疑问方向导不是各个方向都有吗？为什么方向导存在，切线存在，但是全微分不存在，这件事情还是得要从 方向导开始说起。
  • 方向导的实质是一条射线，由射线决定的曲线，自起始点起，其中$\Delta x=tcos\alpha ,\Delta y=tcos\beta ,\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=t$。
    定义：
    $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}& =\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+tcos\alpha ,y_0+tcos\beta )-f(x_0,y_0)}{t}\\ & =f_x(x_0,y_0)cos\alpha +f_y(x_0,y_0)cos\beta \end{array}$$
    从图像上看在起始点容易出现不连续的情况，

这里给出一个例子，方向导存在，偏导不存在：

参考文章来源（https://zhuanlan.zhihu.com/p/430125622）这个例子直接计算的方式展示了原因，有时候就是这些计算需要注意的点，忽略了。极限中出现绝对值，就是造成极限在某一点不存在的原因。
函数图像：

坐标这种语言

本文虽然通过坐标的疑问开始，一开始也是觉得有哪些自己没有搞懂、没有搞清楚的问题，这么一梳理，发现坐标横穿整个高等数学，如果你使用的坐标还需要在复数，可能还会需要复变函数的知识，但倘若你问我如何能够统领起来，看穿立意者的意图，我觉得非格林公式莫属，这样简介明了的公式实在少有：
$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{\tau }\mathrm{d}s={\iint }_D(\nabla \times \mathbf{a})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\\ & {\oint }_{\partial D}\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}s={\iint }_D\nabla \cdot \mathbf{a}\mathrm{d}S\end{array}$$

参考（https://zhuanlan.zhihu.com/p/98017196）

最后，本来还是想写这几样的，就先这样吧，写了好几天，最后还是没办法接受了，定义就是定义吧，也许就是思维逻辑上的完整性，也许这世界上没有一种描述能让所有人满意。我就是觉得那种公式就应该简洁、优美、最好对称型极高，自己这种强迫症真的让人头疼。要是有能够适用所有的理论该多好啊！！或许自己该接受描述是有局限的，必须看解决问题性质，用哪个能简化问题，或许这样的心态才正确。

理论上是正确的，但按耐不住恍惚间觉得不对劲、不舒服。啊！！！！！！

• 特殊积分元的坐标积分
• 几何关系
• 隐函数