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回归的定义和应用举例
回归定义
regression就是找到一个函数function，通过输入特征x，输出一个数值scalar。
应用举例
- 股市预测
输入：过去10年股票的变动的资料
输出：预测明天股市的指数 - 自动驾驶
输入：无人车上各个sensor的数据
输出：方向盘的角度 - 商品推荐
输入：使用者A，商品B的特性
输出：使用者A购买商品B的可能性
- pokemon的cp值
输入：进化前的CP、物种、血量、重量、高度等所有相关的信息
输出：进化后的CP值
这样来判断是否进化这只pokemon
模型步骤——机器学习三板斧
step1：模型假设，选择模型框架（线性模型）
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）
Step1: 模型假设 - 线性模型
一元线性模型（单个特征）
以一个特征
x
c
p
x_{cp}
xcp为例，线性模型假设
y
=
b
+
w
⋅
x
c
p
y = b+w·x_{cp}
y=b+w⋅xcp代表进化前的cp值，y是进化后的cp值，b 和 w是参数，可以是任何的数值。而且也是未知的，不同的b和w填进去就得到不同的function。
f
1
:
y
=
10.0
+
9.0
⋅
x
c
p
f_{1}:y=10.0+9.0⋅x_{cp}
f1:y=10.0+9.0⋅xcp
f
2
:
y
=
9.8
+
9.2
⋅
x
c
p
f_{2}:y=9.8+9.2⋅x_{cp}
f2:y=9.8+9.2⋅xcp
f
3
:
y
=
−
0.8
−
1.2
⋅
x
c
p
f_{3}:y=−0.8−1.2⋅x_{cp}
f3:y=−0.8−1.2⋅xcp
虽然可以做出很多的假设，但是在这个例子中，显然f3的假设不合理，进化后的cp值不能是负值。
总结：线性模型即为
y
=
b
+
∑
(
w
i
⋅
x
i
)
y = b+\sum(w_{i}·x_{i})
y=b+∑(wi⋅xi)，
x
i
x_{i}
xi是输入x的一个属（feature），
w
i
w_{i}
wi称为权重（weight），
b
b
b称为偏移（bias）。
Step2：模型评估 - 损失函数
收集和查看训练数据
接下来要**收集training data，才能找function。**找一分具体的杰尼龟的进化的例子。
x
1
x^{1}
x1：用上标来表示一个完整的object的编号。
y
^
1
\widehat {y}^{1}
y
1：用^（读作head）来表示是真实值。
将10组原始数据在二维图中展示，图中的每一个点
（
x
c
p
n
，
y
^
n
）
（x^n_{cp}，\widehat {y}^{n}）
（xcpn，y
n）对应着具体一只pokemon进化前的CP值 和 进化后的CP值。
如何判断众多模型的好坏
有了这些真实的数据，那我们怎么衡量模型的好坏呢？
首先定义一个新的function，叫做loss function ，写作
L
(
)
L()
L()。这个函数用来衡量模型的好坏。他的输入也是一个function，也就是说loss function是function的function。输出是这个function有多不好。
对于这个例子中的loss function，输入的是model中的各个function，即为
L
(
f
)
L(f)
L(f)，而这些function又是通过w和b来定义的，所以也可以写成
L
(
w
，
b
)
L(w，b)
L(w，b)。这样一来，也可以说是loss function在衡量一组参数（w和b）的好坏。
从数学的角度来讲，我们使用距离来表示误差。
- 在给定的w和b的情况下，首先可以确定用function输出值y【模型预测的CP值】和真实值ŷ【实际进化后的CP值】的差的大小来衡量模型的好坏，于是有 ( y ^ n − y n ) (\widehat{y}^{n}-y^{n}) (y n−yn)
- y = b + w ⋅ x c p y = b+w·x_{cp} y=b+w⋅xcp，所以有 ( y ^ n − ( b + w ⋅ x c p n ) ) \left( \widehat {y}^{n}-\left( b+w\cdot x^{n}_{cp}\right) \right) (y n−(b+w⋅xcpn))
- 为了保证距离都是正数，将结果开平方，有 ( y ^ n − ( b + w ⋅ x c p n ) ) 2 \left( \widehat {y}^{n}-\left( b+w\cdot x^{n}_{cp}\right) \right) ^{2} (y n−(b+w⋅xcpn))2
- 再把10组样本的误差加起来，有
L
(
w
,
b
)
=
∑
n
=
1
10
(
y
^
n
−
(
b
+
w
⋅
x
c
p
n
)
)
2
L\left( w,b\right) =\sum ^{10}_{n=1}\left( \widehat {y}^{n}-\left( b+w\cdot x^{n}_{cp}\right) \right) ^{2}
L(w,b)=n=1∑10(y
n−(b+w⋅xcpn))2
将 w , b w, b w,b 在二维坐标图中展示，如图所示：
- 图中每一个点代表着一个模型对应的 w w w 和 b b b
- 颜色越偏红色代表模型越差，越偏蓝色代表模型越优
Step 3：最佳模型 - 梯度下降
如何筛选最优的模型（参数w，b）
已知损失函数是
L
(
w
,
b
)
=
∑
n
=
1
10
(
y
^
n
−
(
b
+
w
⋅
x
c
p
n
)
)
2
L\left( w,b\right) =\sum ^{10}_{n=1}\left( \widehat {y}^{n}-\left( b+w\cdot x^{n}_{cp}\right) \right) ^{2}
L(w,b)=∑n=110(y
n−(b+w⋅xcpn))2需要找到一个最好的function，这个function就是令损失函数
L
(
f
)
L(f)
L(f)结果最小的
f
∗
f^{*}
f∗。
f
∗
=
arg
min
f
L
(
f
)
f^* =\mathop{\arg\min}\limits_{f}L(f)
f∗=fargminL(f)
f
f
f又是由
w
w
w和
b
b
b来表示。所以也可以写成
w
∗
,
b
∗
=
arg
min
w
,
b
L
(
w
,
b
)
=
arg
min
w
,
b
∑
n
=
1
10
(
y
^
n
−
(
b
+
w
⋅
x
c
p
n
)
)
2
\begin{aligned} w^*,b^* &=\mathop{\arg\min}\limits_{w,b}L(w,b)\\ &=\mathop{\arg\min}\limits_{w,b}\sum ^{10}_{n=1}\left( \widehat {y}^{n}-\left( b+w\cdot x^{n}_{cp}\right) \right) ^{2} \end{aligned}
w∗,b∗=w,bargminL(w,b)=w,bargminn=1∑10(y
n−(b+w⋅xcpn))2
如果修过线代，则在知道十组
（
x
c
p
n
，
y
^
n
）
（x^n_{cp}，\widehat {y}^{n}）
（xcpn，y
n）值的情况下，可以求出效果最好的
w
,
b
w,b
w,b的值。（p.s.老师原话，但是我咋不会呢？）
也有另外一种做法可以求出这个function，叫做梯度下降（gradient descent）。只要是可微分的function，梯度下降都可以来处理，找到可能是比较好的参数。
在实际的场景中，我们遇到的参数肯定不止
w
,
b
w, b
w,b。
只有一个参数
先从最简单的只有一个参数
w
w
w入手，定义
w
∗
=
arg
min
w
L
(
w
)
w^*=\mathop{\arg\min}\limits_{w}L(w)
w∗=wargminL(w)，则任务变成，找一个
w
w
w使得
L
(
w
)
L(w)
L(w)的值最小。
最暴力的办法就是穷举
w
w
w，从无限小到无限大都带到
L
(
w
)
L(w)
L(w)里面去，但是这样是没有效率的。
更聪明的办法是用梯度下降：
- 先随机选取一个点 w 0 w^0 w0（也有比较好的方法可以找到比较合适的点）
- 计算
w
w
w对
L
L
L在
w
0
w^0
w0处的微分
- 如果结果是负的，则应该向右移动，即增加 w w w的值；
- 如果结果是正的，则应该向左移动，即减少 w w w的值。
- 考虑增加/减少的量：一方面由微分值来确定，微分值越大，曲线越陡峭，移动的距离就越大，另一方面由一个常数项来决定，比如 η η η，称之为学习率（learning rate）或者步长。我们可以通过 η η η来控制每一步走的距离，既不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以 η η η的选择在梯度下降法中往往是很重要的！这个量即为： η d L d ω ∣ w = w 0 η\dfrac {dL}{d\omega }|_{w=w^0} ηdωdL∣w=w0
- 根据第2步的描述，应该在梯度前添加一个负号，来满足朝着梯度相反的方向前进。梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号 − η d L d ω ∣ w = w 0 -η\dfrac {dL}{d\omega }|_{w=w^0} −ηdωdL∣w=w0
- 在本例中，应该向左移动得到新的
w
w
w：
w
1
=
w
0
−
η
d
L
d
ω
∣
w
=
w
0
w^1 = w^0-η\dfrac {dL}{d\omega }|_{w=w^0}
w1=w0−ηdωdL∣w=w0
- 在 w 1 w^1 w1处重新计算一次微分值，值为负，则仍然应该向右移动，得到 w 2 w^2 w2
- 迭代下去，直到到达一个局部最优（local optimal），此时微分为0，无法再更新。但是极小值并不是全局最优（global optimal）。但是值得注意的是，在线性回归问题中，是没有局部最优的。
有两个参数
步骤：
- 随机选取两个初始值： w 0 , b 0 w_0,b_0 w0,b0
- 计算 w , b w,b w,b在 w 0 , b 0 w_0,b_0 w0,b0处对 L L L的偏微分： ∂ L ∂ w ∣ w = w 0 , b = b 0 , ∂ L ∂ b ∣ w = w 0 , b = b 0 \dfrac {\partial L}{\partial w}|_{w=w^0,b=b^0},\dfrac {\partial L}{\partial b}|_{w=w^0,b=b^0} ∂w∂L∣w=w0,b=b0,∂b∂L∣w=w0,b=b0
- 更新
w
1
，
b
1
w^1，b^1
w1，b1
w 1 = w 0 − η ∂ L ∂ w ∣ w = w 0 , b = b 0 b 1 = b 0 − η ∂ L ∂ w ∣ w = w 0 , b = b 0 w^1 = w_0-\eta\dfrac {\partial L}{\partial w}|_{w=w^0,b=b^0} \\ b^1 = b_0-\eta\dfrac {\partial L}{\partial w}|_{w=w^0,b=b^0} w1=w0−η∂w∂L∣w=w0,b=b0b1=b0−η∂w∂L∣w=w0,b=b0 - 再计算 ∂ L ∂ w ∣ w = w 1 , b = b 1 , ∂ L ∂ b ∣ w = w 1 , b = b 1 \dfrac {\partial L}{\partial w}|_{w=w^1,b=b^1},\dfrac {\partial L}{\partial b}|_{w=w^1,b=b^1} ∂w∂L∣w=w1,b=b1,∂b∂L∣w=w1,b=b1
- 以此类推，直到找到一个相对小的梯度
梯度的定义及含义，以及关于梯度下降更加详细的解释，可以参考这篇文章：深入浅出–梯度下降法及其实现
梯度下降推演最优模型的过程
如果把
w
w
w和
b
b
b 在图形中展示：
- 每一条线围成的圈就是等高线，代表损失函数的值，颜色约偏蓝色的区域代表的损失函数越小
- 红色的箭头代表等高线的法线方向，这个方向是梯度的负方向（二元以上参数的梯度是向量，是有方向的）
梯度下降算法在现实世界中面临的挑战
我们通过梯度下降gradient descent不断更新损失函数的结果，这个结果会越来越小，那这种方法找到的结果是否都是正确的呢？
当前最优问题
梯度下降法选择的不一定是全局最优，起始点不同很可能结果不同。但是线性回归中，loss function都是凸面的，参考上图中，等高线都是同心圆，并没有局部最优。
外，还有没有其他存在的问题呢？
其实还会有其他的问题：
问题1：当前最优（Stuck at local minima）
问题2：等于0（Stuck at saddle point）
问题3：趋近于0（Very slow at the plateau）
注意：其实在线性模型里面都是一个碗的形状（山谷形状），梯度下降基本上都能找到最优点，但是再其他更复杂的模型里面，就会遇到 问题2 和 问题3 了
w和b偏微分的计算方法
将最后计算得到的
w
w
w和
b
b
b带回到之前不确定参数的model当中，就得到最佳的function。计算得到
b
=
−
188.4
,
w
=
2.7
b=-188.4,w=2.7
b=−188.4,w=2.7。
如何验证训练好的模型的好坏
使用训练集和测试集的平均误差来验证模型的好坏
我们使用10组原始数据，训练集求得平均误差为31.9，如图所示：
然后再使用10组Pokemons测试模型，测试集求得平均误差为35.0 如图所示：
很明显，函数的泛化能力不太满意，但是也可以理解，毕竟是用的前10组数据训练得到，对前10组数据的拟合程度会更好。如果想做到更好，可能需要重新设计model，需要一个更复杂的model。
更强大复杂的模型：1元N次线性模型
在模型上，我们还可以进一部优化，选择更复杂的模型，使用1元2次方程举例，发现训练集求得平均误差为15.4，测试集的平均误差为18.4
还可以变成一元三次方程
过拟合问题出现
再试试一元四次方程
拟合结果不如一元三次方程，泛化能力下降。再试试一元五次方程
这个图线就nm离谱，都有负的预测值了。
在训练集上面表现更为优秀的模型，为什么在测试集上效果反而变差了？这就是模型在训练集上过拟合的问题。如图所示，每一个模型结果都是一个集合，5次模型包
⊇
\supseteq
⊇ 4次模型
⊇
\supseteq
⊇ 3次模型，所以在4次模型里面找到的最佳模型，5次模型肯定也考虑过了，所以5次模型给出的最佳模型，只可能比4次最佳模型的更好，就算保底也还是4次最佳模型。
将错误率结果图形化展示，发现3次方以上的模型，已经出现了过拟合的现象：
这样看来，越复杂的model，泛化能力不一定越强。图中英文的含义是：更复杂的model并不总是能在训练集上得到更好的表现，这就是过拟合。所以我们要选择合适的model。
步骤优化
输入更多Pokemons数据，会发现有的pokemon有相同的起始CP值，但进化后的CP差距竟然是2倍。其实将Pokemons种类通过颜色区分，就会发现Pokemons种类是隐藏得比较深得特征，不同Pokemons种类影响了进化后的CP值的结果。
Step1优化：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中
根据不同的物种，可以使用不同的模型
为了统一到一个线性模型里，可以这样写
物种来决定
δ
\delta
δ为1还是0。
结果如下图，泛化能力比之前的方法要好。
但是我们发现还是有点和直线还是有一些些没完全重合。也许还需要再多考虑一些参数。
Step2优化：如果希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）
在最开始我们有很多特征，图形化分析特征，将血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）也加入到模型中
更多特征，更多input，数据量没有明显增加，但是泛化能力很差，仍旧导致overfitting。
Step3优化：加入正则化
更多特征，但是权重
w
w
w 可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化，在原来只有error部分的loss function的基础上增加正则化的部分（衡量function有多平滑）。
L
=
∑
n
(
y
^
n
−
(
b
+
∑
w
i
x
i
)
)
2
+
λ
∑
(
w
i
)
2
L =\sum _{n}\left( \widehat {y}^{n}-\left( b+\sum w_{i}x_{i}\right) \right) ^{2}+\lambda\sum(w_{i})^2
L=n∑(y
n−(b+∑wixi))2+λ∑(wi)2
λ
\lambda
λ需要手动调整，
w
w
w需要平方同样是为了保证结果为正。
目标同样还是求loss function最小时的参数，这样一来，
w
w
w越小，loss function可能就会越小。但是为什么要期待参数
w
w
w尽可能小甚至是接近零的function呢？
小的
w
w
w意味着函数更平滑，也就是对输入值的变化不敏感。这样一来，输入的噪声也就会有更小的影响。而testing data就可以看做是对training data的噪声。在一定范围内，function越平滑，则function就越能在testing data上得到和training data相似的表现，模型泛化能力也就越强。
首先看 λ \lambda λ的变化对training data上的error部分的影响
随着
λ
\lambda
λ的增大，正则化系数（自己起的名字）
λ
∑
(
w
i
)
2
\lambda\sum(w_{i})^2
λ∑(wi)2的影响力增大，function越来越平滑，因为此时
w
i
w_i
wi小的function才会容易被选出来。
同时，loss function中error部分的影响力会越小，error部分的值也必然会增大，因为此时选出来的
w
i
w_i
wi并不一定是能让error最小的。
再看 λ \lambda λ的变化对testing data上的error部分的影响
随着
λ
\lambda
λ的增大，同样的，function越来越平滑。
刚开始，testing data的error部分的值开始缩小，这是得益于function越来越平滑，模型泛化能力也就越来越强。但是随着
λ
\lambda
λ的继续增大，error部分的影响力越来越小，虽然泛化能力越来越好，但是error部分本身也开始变大，模型对training data的误差越来越大，所以对testing data的误差也变得越来越大。此时的error又开始变大。
考虑平滑到极致的情况：假想
w
w
w无限接近0，function无限接近水平线，非常平滑，接近一条直线，但是已经不能去拟合training data里的数据了，loss function中的error部分会非常大。
具体function该有多平滑，就变成在loss function中该怎么调
λ
\lambda
λ的问题。
值得注意的是，在正则化的loss function中并没有增加对
b
（
b
i
a
s
）
b（bias）
b（bias）的讨论。因为
b
（
b
i
a
s
）
b（bias）
b（bias）对function曲线的平滑程度没有影响，它只影响function的高低。
总结
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