电路分析 | Phasor Analysis（篇 2）

注：本文为 “电路分析 | Phasor Analysis” 相关合辑。
图片清晰度受引文原图所限。
略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

---

电路 —— 相量法的理解

AQUA 发布于 2017-11-26 16:22

1. 分析思路概览

相关分析思路如下图所示：

相关知识与补充思路如下图所示：

2. RLC 电路 KVL 方程建立

以该图中的 RLC 电路为例，电路包含电阻 $R$、电感 $L$ 与电容 $C$，基于基尔霍夫电压定律（KVL）列写方程：
$$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt=u_s\text{\hspace{1em}(1)}$$

当电源 $u_s$ 为正弦电源时，其表达式为：
$$u_S=\sqrt{2}{U}_S\cos (\omega t+{\varphi }_u)$$

此时电路中的电流 $i$ 为同频率正弦量，表达式为：
$$i=\sqrt{2}I\cos (\omega t+{\varphi }_i)$$

将电流代入式（1），并转换电感、电容的电压表达式，可得：
$$\begin{gathered} R\sqrt{2}I\cos (\omega t+{\varphi }_i)-\omega L\sqrt{2}\sin (\omega t+{\varphi }_i)+\frac{1}{\omega C}\sqrt{2}\sin (\omega t+{\varphi }_i) \\ =\sqrt{2}{U}_S\cos (\omega t+{\varphi }_u)\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

式（2）包含大量三角函数，导致方程形式复杂，难以直接求解。

3. 应用欧拉公式简化三角函数运算

欧拉公式：
$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

式（2）中 $\theta =\omega t$，将其代入欧拉公式可得：
$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$

基于上式可推导出正弦、余弦函数的复指数表达式，用复指数函数代替正弦函数：

• $\cos \omega t=\frac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$
• $\sin \omega t=-\frac{j}{2}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})$

4. 相量的定义与引入

将欧拉公式的变换结果代入式（2），整理后方程可简化为：
$$RI{e}^{j{\varphi }_i}+j\omega LI{e}^{j{\varphi }_i}-j\frac{1}{\omega C}I{e}^{j{\varphi }_i}=U_S{e}^{j{\varphi }_u}\text{\hspace{1em}(3)}$$

观察式（3），存在 “电压 或 电流幅值 × 复指数” 的规律组合形式（如 $U_S{e}^{j{\varphi }_u}$），据此引入 “相量” 概念以简化分析。

相量的符号表示规则为：在对应物理量上方添加 “ $\dot{}$ ”，其表达式可分为指数形式与极坐标形式：
$${\dot{U}}_S=U_S{e}^{j{\varphi }_u}=U_S\angle {\varphi }_u$$

5. 复数的三种表示形式

相量本质为复数，其包含 “模” 与 “辐角” 两个要素，具体有三种表示形式：

5.1 代数形式

设复数 $F$ 的实部为 $a$、虚部为 $b$，则代数形式为：
$$F=a+jb$$

5.2 三角形式

设复数 $F$ 的模为 $|F|$、辐角为 $\theta$，则三角形式为：
$$F=|F|(\cos \theta +j\sin \theta )$$

5.3 指数形式与极坐标形式

结合欧拉公式，三角形式可转换为指数形式：
$$F=|F|e^{j\theta }$$

其极坐标形式（工程中常用）为：
$$F=|F|\angle \theta$$

6. 相量法理论基础总结

本节系统梳理了相量法的理论要点与应用逻辑，为后续交流电路分析构建了清晰的理论框架。

6.1 主要理论依据：基本电路定律

相量法分析交流电路的主要依据是三大基本定律，其本质与直流电路定律一致，是后续相量运算的基础：

• 欧姆定律（VCR）：描述元件端电压与流过电流的约束关系。
• 基尔霍夫电流定律（KCL）：任一节点的流入电流代数和为零。
• 基尔霍夫电压定律（KVL）：任一回路的电压升代数和等于电压降代数和。

6.2 关键特性：元件的电压电流相位关系

交流电路与直流电路的主要差异在于电压与电流的相位特性，不同元件的相位关系是相量法简化分析的重要前提：

元件类型	电压与电流的相位关系
纯电阻	同频同相，分析方法与直流电路一致
电感	电压相位超前电流 90°（π/2 弧度）
电容	电流相位超前电压 90°（π/2 弧度）

这些固定相位特性是相量法将时域问题转化为频域问题的关键支撑。

6.3 主要应用：从时域到频域的转化

结合基本电路定律与元件相位特性，相量法通过以下逻辑实现交流电路的简化分析：

• 相量定义：用复数（包含幅值与相角信息）表征正弦量，将时域中随时间变化的正弦函数转化为频域中固定的复数。
• 几何表征：在复平面上，相量表现为带辐角的矢量，其模对应正弦量的幅值（或有效值），辐角对应正弦量的初相位。
• 电路求解：多个元件的相量可按复数运算法则进行叠加运算，通过求解总电压、总电流相量得到电路的整体特性。

6.4 方法优势：简化、直观与统一

相量法通过“复数表征正弦量”的思路，成为交流电路分析主流方法的优势集中体现在以下三方面：

1. 方程形式简化：规避时域中复杂的三角函数运算，将微分方程转化为复数域的线性代数方程，通过加减乘除等基本运算即可求解。
2. 物理意义直观：复平面上的相量矢量特性，可通过几何叠加直观呈现各元件的相位关联与幅值变化，降低抽象概念的理解难度。
3. 分析框架统一：将电阻、电感、电容的特性纳入同一复数体系，既保留电阻的直流分析逻辑，又明确动态元件的固定相位规则，实现元件分析的标准化。

编辑于 2017-11-26 16:35

---

《电路原理》—— 相量法

花生狗 发布于 2016-06-24 20:35

1. 写作背景

在学习《电路原理》“正弦稳态分析”章节时，仅通过“相量符号（物理量上方加‘$\dot{}$’）”求解未知量，未理解其本质原理，易产生“黑箱操作”的不确定。学习的关键是“知其然，且知其所以然”，因此本文结合资料与个人理解，系统阐述相量法的推导过程，旨在为后续学习者提供参考，同时作为个人专业笔记。

因个人水平有限，文中概念可能存在不严谨或纰漏，欢迎读者批评指正。

2. 前置知识

1. 电路分析基础：掌握正弦激励下动态电路的稳态分析概念。
2. 数学基础：具备微积分、微分方程求解能力。

3. 相量法推导

3.1 符号约定

• 公式标识符：用“①②③…”表示；注释标识符：用“❶❷❸…”表示。
• 通解标识：下标“$h$”（homogeneous）表示齐次微分方程通解；下标“$p$”（particular）表示非齐次微分方程特解。
• 虚数单位：为避免与电流 $i$ 混淆，虚数单位用 $j$ 表示（而非数学中的 $i$）。
• 相量符号：因编辑限制，用“$\stackrel{~}{}$”代替标准相量符号“$\dot{}$”。

3.2 案例引入：RL 电路的两种求解方法对比

3.2.1 案例条件

电路如图所示，$U_s$ 为正弦电压源，表达式为 $U_s=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)$（${\varphi }_u$ 为初相位）；电感初始电流 $i_L(0^{-})=0\text{A}$；$t=0$ 时开关 $S$ 从 “1” 合向 “2”，求 $t\ge 0$ 时的电感电流 $i_L(t)$。

3.2.2 解 1：错误的直流类比法

该方法试图类比直流电路的经典解法，但其忽略了动态元件在交流电路中的“频率相关性”，具体过程如下：

1. 建立微分方程（KVL）：
   $$L\frac{d{i}_L}{dt}+R{i}_L=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)\text{①}$$
   令 $\frac{d{i}_L}{dt}=y^{\prime }$、$i_L=y$，则式 ① 变为：
   $$L{y}^{\prime }+Ry=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)\text{②}$$

2. 求通解与特解：

   特征方程（P 算子法 ❶）：

   $LP+R=0\Rightarrow P=-\frac{R}{L}$，

   齐次通解为 $y_h=k{e}^{-\frac{R}{L}t}$（$k$ 为待求系数）。

   假设特解 $y_p=A$（常数），$y^{\prime }=0$ 代入式 ② 得

   $A=\frac{U_m}{R}\sin (\omega t+{\varphi }_u)=I_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)$（$I_m=\frac{U_m}{R}$）。

3. 确定系数：

   通解为 $y=y_h+y_p=k{e}^{-\frac{R}{L}t}+I_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)$，

   代入初始条件 ${y|}_{t=0^{+}}=i_L\left(0^{+}\right)=i_L\left(0^{-}\right)=0$，得

   $k=-I_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)$，最终结果：

   $$i_L(t)=I_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)-I_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)e^{-\frac{R}{L}t}\text{③}$$

3.2.3 解 1 的错误分析

1. 未体现电感对交流电的阻碍作用：

   • 依据高中物理知识，电感具有“通直流、阻交流”的特性，这种对交流电的阻碍作用称为感抗。
   • 该表达式中仅出现电阻 R，而 R 仅表征线性电阻的阻碍作用，这意味着表达式默认电路中只有线性电阻阻碍电流，完全忽略了电感的感抗。
   • 结合后续“一阶动态电路分析”课程可知，电感、电容等储能元件均存在对应的感抗或容抗；在使用三要素法求解一阶动态电路时，时间常数需用到从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻 Ri（如电容电路时间常数为 Ri C，电感电路时间常数为 L/Ri），这进一步说明电路中的阻碍作用并非仅由电阻 R 决定。

2. 相位关系表述错误：

   • 依据后续电路课程中“正弦稳态分析”知识点，电感元件的电流相位滞后其电压相位 90°，电容元件的电流相位则超前其电压相位 90°。
   • 该表达式中的 φu 未正确反映上述相位关系，不符合电感在交流电路中的基本特性，属于原理性错误。

3.2.4 解 2：正确的三角函数变换法

该方法通过“辅助角公式”考虑动态元件的频率特性，是《电路原理》中的标准解法，具体过程如下：

1. 微分方程与齐次通解：
   微分方程同式 ①，齐次通解仍为 $i_{Lh}=A{e}^{-\frac{R}{L}t}$（$A$ 为待求系数）。

2. 求特解：
   假设特解为 $i_{Lp}=I_m\sin (\omega t+{\varphi }_i)$（与激励同频率），代入式 ① 得：
   $$\omega L{I}_m\cos (\omega t+{\varphi }_i)+R{I}_m\sin (\omega t+{\varphi }_i)=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)\text{④}$$
   通过辅助角公式 ❷ 化简左边：
   $$\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}{I}_m\sin (\omega t+{\varphi }_i+\varphi )=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)\text{⑤}$$
   其中 $\varphi$ 为阻抗角，满足 $\tan \varphi =\frac{\omega L}{R}$。

3. 确定特解参数：
   对比式 ⑤ 左右两边的“幅值”与“相位”，得：

   • 幅值：$I_m=\frac{U_m}{\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}}$
   • 相位：${\varphi }_i={\varphi }_u-\varphi ={\varphi }_u-\arctan \frac{\omega L}{R}$
     因此特解为：
     $$i_{Lp}=\frac{U_m}{\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}}\sin (\omega t+{\varphi }_u-\varphi )$$

4. 确定通解系数：
   全响应为 $i_L=i_{Lh}+i_{Lp}$，代入初始条件 $i_L(0^{+})=0$，得
   $A=-\frac{U_m}{\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}}\sin ({\varphi }_u-\varphi )$，

   最终结果：
   $$i_L(t)=\frac{U_m}{\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}}\sin (\omega t+{\varphi }_u-\varphi )-\frac{U_m}{\sqrt{(\omega L{)}^2+R^2}}\sin ({\varphi }_u-\varphi )e^{-\frac{R}{L}t}\text{⑥}$$

3.3 相量法的提出：从“微分方程”到“线性方程”

3.3.1 现有方法的局限性

解 2 虽正确，但仅适用于一阶电路；对于复杂电路（如多动态元件网络），三角函数变换与微分方程求解会极度繁琐，因此需一种“无需求解微分方程”的简化方法——相量法应运而生（由工程师斯泰因梅茨提出）。

3.3.2 观察：频率恒定特性

正弦交流电路中，所有电压、电流的频率均与激励频率 $\omega$ 一致，即“频率始终不变”。因此，分析可从“时域全量（含 $\omega t$）”聚焦于“幅值与初相位”两个变量。

3.3.3 欧拉公式的作用

通过欧拉公式，可将正弦量分解为“旋转因子”与“相量”的乘积，实现“频率项与幅值 - 相位项的分离”。

1. 欧拉公式：$e^{jx}=\cos x+j\sin x$，代入 $x=\omega t+\varphi$ 得：
   $$e^{j(\omega t+\varphi )}=\cos (\omega t+\varphi )+j\sin (\omega t+\varphi )$$
   进一步分解为“旋转因子”与“相量项”的乘积：
   $$e^{j(\omega t+\varphi )}=e^{j\omega t}\cdot e^{j\varphi }$$
   其中 $e^{j\omega t}$ 为“旋转因子”（随时间逆时针旋转），$e^{j\varphi }$ 为“相量关键项”（含初相位）。

2. 正弦量的复指数表示：
   约定用 $IM[\cdot ]$ 表示“取虚部算子”（避免与电流幅值 $I_m$ 混淆），则正弦电流 $i=I_m\sin (\omega t+{\varphi }_i)$ 可表示为：
   $$i=IM\left[I_m{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}\right]\text{⑦}$$

3. 引入有效值：
   正弦量的幅值与有效值关系为 $I_m=\sqrt{2}I$，代入式⑦得：
   $$i=IM\left[\sqrt{2}I{e}^{j{\varphi }_i}\cdot e^{j\omega t}\right]\text{⑧}$$

3.3.4 相量的定义与变换

1. 相量的定义：
   式⑧中，$\sqrt{2}I{e}^{j{\varphi }_i}$ 包含“幅值（$\sqrt{2}I$）”与“初相位（${\varphi }_i$）”，定义其为“最大值相量”；工程中常用“有效值相量”，表达式为：
   $$\tilde{I}=I{e}^{j{\varphi }_i}=I\angle {\varphi }_i$$

2. 时域 - 频域变换流程：
   正弦量从“时域”到“频域（相量域）”的变换过程为：
   $$i(t)=I_m\cos (\omega t+{\varphi }_i)\Rightarrow i(t)=IM\left[I_m{e}^{j(\omega t+{\varphi }_i)}\right]\Rightarrow \tilde{I}=I_m{e}^{j{\varphi }_i}=I_m\angle {\varphi }_i$$

3. 变换流程图：
   

3.4 关键概念补充

3.4.1 旋转因子

旋转因子的定义为 $e^{j\psi }$，其主要作用是“改变复数的辐角而不改变模”：

• 若复数 $A=|A|e^{j\Theta }$，则 $A\cdot e^{j\psi }=|A|e^{j(\Theta +\psi )}$。
• 几何意义：复数在复平面内绕原点逆时针旋转 $\psi$ 角度。
• 特殊旋转因子：$e^{j\omega t}$ 为“随时间旋转的单位向量”，角速度为 $\omega$。

3.4.2 相量法的本质（参考知友观点）

交流电路中复阻抗的理论推导逻辑
 
在分析交流电路时，频率域方法是常用策略，其本质遵循“以不变应万变”的原理。当电路中的各物理量均以同一频率变化时，各量间的相对关系等效于静止状态；但电容与电感会呈现出特殊特性，这一现象的根源在于电容和电感的电流与电压之间存在微分或积分关系。
 
在上述分析思路下，可将电感的阻抗表示为 $j\omega L$，将电容的阻抗表示为 $\frac{1}{j\omega C}$。这两种阻抗表示的变换依据需进一步探究，具体可通过极坐标形式下的电流与电压关系推导得出。
 
若进一步追溯复数能够表征正弦量的原因，其理论基础是欧拉公式。欧拉公式 $e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$ 建立了正弦函数、余弦函数与复数指数函数之间的对应关系，从而实现了正弦波到复数形式的转换；而欧拉公式本身，则可通过麦克劳林级数（泰勒级数的特殊形式）展开推导得到。
 
要完整理解交流电路复阻抗理论体系的构建逻辑，需通过持续的深入思考与追问，逐步揭示各数学工具（如复数、欧拉公式）与电路物理现象（如电容、电感特性）之间的内在联系。

相量法的关键是“以不变应万变”：所有正弦量的频率恒定，相当于在“旋转坐标系”中相对静止；此时电感可表示为 $j\omega L$、电容可表示为 $\frac{1}{j\omega C}$，电路分析可类比直流电路的线性方程求解。

其本质逻辑链为：欧拉公式（正弦量→复指数）→旋转因子分离（频率项→相量项）→复数运算（相量域线性求解）。

按照思路，可以推导“元件约束与基尔霍夫定律下的相量形式”，然后就可以求解相关习题了。

最后引用这位知乎用户的一句话作为本文的结束：

伟大的人类用自己的智慧把交流量头上打个点，然后一切又归于平静了。

相量法的转换
 
在电路分析领域，要将复杂的交流量分析问题化繁为简，这一过程的关键在于相量法的巧妙运用与转换。
这一简化过程，在交流量的符号上添加一个点号，将动态的交流分析转化为静态的数值求解，让原本复杂的运算回归清晰有序。
 
相量的专属标识规则
 
具体是在正弦交流量（如电压 $u$、电流 $i$ 等）的符号上方添加点号（·），形成 $\dot{U}$、$\dot{I}$ 这类相量符号。

该标记的作用是将随时间周期性变化的正弦量，提炼为仅包含幅值与相位信息的复数形式——相量，从而剥离掉交流量中恒定的频率属性。
 
分析过程的根本性转变
 
未进行相量转换时，正弦交流量始终随时间呈周期性动态波动，对其进行电路分析时，需同时考虑幅值、频率、相位三个关键参数，运算中频繁涉及三角函数的展开与化简，步骤繁琐且易出错。完成相量转换的前提是所有正弦量为同频率交流量，此时被剥离的频率项不再参与主要运算，相量域中电阻、电感、电容的阻抗关系（电阻为 $R$、电感为 $j\omega L$、电容为 $\frac{1}{j\omega C}$）及基尔霍夫定律均呈现线性特征，求解过程便与直流电路分析一样直观、简便，彻底规避了时间变化对运算的干扰。
 
交流量-相量-求解逻辑的对应关系
 

1. 交流量：动态的原始对象
   随时间按正弦规律变化，是电路分析的原始研究对象。其包含幅值（如电压最大值 $U_m$）、频率（如工频 50Hz）、相位（如初始相位 $\phi$）三个关键信息，直接对其进行电路运算需处理复杂的三角函数关系，不仅效率低，还易产生误差。
    
2. 相量：静态的简化代表
   以欧拉公式 $A\cos (\omega t+\phi )=\text{Re}[A{e}^{j(\omega t+\phi )}]$ 为数学基础推导转化而来，通过 $A\cos (\omega t+\phi )\leftrightarrow A\angle \phi$ 的对应关系，剥离掉恒定的角频率项 $\omega$，仅保留交流量的幅值与相位两个关键信息，最终以带点符号（如 $\dot{U}$、$\dot{I}$）标识的复数形式存在，成为交流量的“静态代言人”。
    
3. 求解逻辑：线性化的运算路径
   先将电路中的所有同频率交流量转化为相量，将元件参数转化为对应的复数阻抗；再将相量代入基尔霍夫定律的相量形式（KCL：$\sum \dot{I}=0$，KVL：$\sum \dot{U}=0$），将原本复杂的动态三角函数运算，转化为简洁的静态复数线性运算；求解复数线性方程组得到相量形式的结果后，再依据相量与正弦量的对应关系，逆推出实际交流量的时域表达式，即可完成整个电路分析。

4. 本文注释

❶ P 算子法与微分方程解法的对应

P 算子法本质是“微分方程特征方程解法”的工程简化，其与高等数学解法的对比如下：

高等数学一阶线性微分方程基础

1. 一阶线性微分方程：
   对于形如：

$$\frac{dy}{dx}+P[x]y=Q[x]\text{Ⅰ}$$

Ⅰ 的方程，叫做一阶线性微分方程。

如果对于 Ⅰ 中，若：

$$Q[x]\equiv 0$$

那么方程：

$$\frac{dy}{dx}+P[x]y=0\text{Ⅱ}$$

Ⅱ 称为齐次的；否则，方程 Ⅰ 称为非齐次的。

标准形式
$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

• 齐次方程：若 $Q(x)=0$，则方程为 $y^{\prime }+P(x)y=0$，通解为 $y_h=C{e}^{-\int P(x)dx}$。
• 非齐次方程：若 $Q(x)\ne 0$，通解为“齐次通解 + 非齐次特解”（$y=y_h+y_p$）。

2. 常系数非齐次方程的特征方程解法（以 $m{y}^{\prime }+py=q{e}^{\lambda x}$ 为例）：
   • 特征方程：$mr+p=0\Rightarrow r=-\frac{p}{m}$，齐次通解 $y_h=k{e}^{-\frac{p}{m}x}$。
   • 特解假设：若 $\lambda \ne r$，设 $y_p=A$（常数），代入方程得 $A=\frac{q}{p}$。
   • 通解：$y=k{e}^{-\frac{p}{m}x}+\frac{q}{p}$。

工程应用（RL 电路）

对于 $L{y}^{\prime }+Ry=U_m\sin (\omega t+{\varphi }_u)$，P 算子法直接用 $P$ 代替 $\frac{d}{dt}$，特征方程为 $LP+R=0$，与高等数学解法一致。

❷ 辅助角公式

三角变换中的关键公式，用于合并正弦与余弦项：
$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$$
其中 $\tan \varphi =\frac{b}{a}$，$\sqrt{a^2+b^2}$ 为合并后的幅值。

❸ 欧拉公式与复数

复数的基本性质

1. 代数形式：
   $A=a+jb$（$a=\text{Re}[A]$ 为实部，$b=\text{Im}[A]$ 为虚部，$j=\sqrt{-1}$）。

2. 三角形式：
   $A=|A|(\cos \Theta +j\sin \Theta )$（$|A|=\sqrt{a^2+b^2}$ 为模，$\Theta =\arctan \frac{b}{a}$ 为辐角）。

3. 指数形式：
   指数形式：$A=|A|e^{j\Theta }$（欧拉公式推导）。

4. 极坐标形式：
   极坐标形式：$A=|A|\angle \Theta$（工程常用）。

复数的运算规则

1. 加法 / 减法：代数形式下实部、虚部分别相加 / 减，几何意义为“平行四边形法则”。
2. 乘法：模相乘、辐角相加（$A\cdot B=|A||B|\angle ({\Theta }_A+{\Theta }_B)$）。
3. 除法：模相除、辐角相减（$\frac{A}{B}=\frac{|A|}{|B|}\angle ({\Theta }_A-{\Theta }_B)$）。

欧拉公式的非严格推导

设 $f(x)=\cos x+j\sin x$，其满足 $f(x)f(y)=f(x+y)$（三角函数和角公式），符合指数函数的运算性质，故假设 $f(x)=e^{kx}$。

对 $f(x)$ 求导：$f^{\prime }(x)=-\sin x+j\cos x=j(\cos x+j\sin x)=jf(x)$，而 $e^{kx}$ 的导数为 $k{e}^{kx}$，因此 $k=j$，即 $e^{jx}=\cos x+j\sin x$。

❹ 旋转因子的几何意义

1. 初始复数：$A=|A|e^{j\Theta }$（复平面内的有向线段，模为 $|A|$，辐角为 $\Theta$）。
   
2. 旋转运算：$A\cdot e^{j\psi }=|A|e^{j(\Theta +\psi )}$（线段绕原点逆时针旋转 $\psi$，模不变）。
   
3. 旋转因子 $e^{j\omega t}$：单位长度的有向线段，角速度为 $\omega$，随时间逆时针旋转。

总结：
任何一个复数乘以 $e^{j\psi }$ 之后，等于这个复数的模不变，相角逆时针增加 $\psi$ 度。

$e^{j\omega t}$ 是以角速度 $\omega$ 逆时针方向旋转的单位长度的有向线段，称之为旋转因子。

5. 参考文献

1. 汤文菊，胡荣，简志宏。一阶常系数线性微分方程的某些求法的比较 [J]. 景德镇高专学报，2005 (04):9-10.
2. 同济大学数学系。高等数学（第七版上册）[M]. 北京：高等教育出版社，2015.
3. 于歆杰，朱桂萍，陆文娟。电路原理 [M]. 北京：清华大学出版社，2007.
4. William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin. 工程电路分析（第七版）[M]. 周玲玲，蒋乐天，等译。北京：电子工业出版社，2007.
5. Tristan Needham. 复分析 可视化方法 [M]. 齐民友，译。北京：人民邮电出版社，2009.

编辑于 2022-10-14 10:28

---

电路分析 （相量法基础）

Zevalin 爱灰灰 于 2024-01-2116:27:49 发布

一、复数

1、复数的表现形式

（1）代数形式：在电路中通常用 $j$ 来代替 $i$，$a$ 为实部，$b$ 为虚部。

（2）三角函数形式：

（3）在复平面上表示：

（4）指数形式：

（5）极坐标形式：$|F|$ 为矢径，$\angle \phi$ 为极角。

极坐标与直角坐标的关系：

2、复数的四则运算

（1）加减运算：

（2）乘法运算：

（3）除法运算：

3、旋转因子

• （1）对于复数

  $F\cdot e^{j\theta }=|F|(\cos \theta +j\sin \theta )=|F|\angle \theta$，

  $F\cdot e^{j\theta }$ 相当于把 $F$ 逆时针旋转一个角度 $\theta$，而模不变。故把 $F\cdot e^{j\theta }$ 称为旋转因子。

  

• （2）几种不同 $\theta$ 值时的旋转因子：

  

  

二、正弦电压和电流

1、正弦量

（1）交流电原理：当线圈在磁场中旋转时，对应不同位置，线圈切割磁力线数不同，所产生的感应电压按正弦规律产生变化，线圈旋转一周，对应的角度变化为 $2\pi$。

（2）随时间按正弦规律变化的电流或电压等变量称为正弦量。

（3）瞬时值表达式：$i(t)=I_m\cos (\omega t+\psi )$。

（4）波形图：

（5）正弦量为周期函数，可表示为 $f(t)=f(t+KT)$，其中 $K$ 为正整数，$T$ 为周期。

①重复变化一次所需的时间称为周期，单位为 s（秒）。

②每秒重复变化的次数称为频率，单位为 Hz（赫兹）。

③频率和周期互为倒数。

（6）正弦交流电路：激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦交流电路，简称正弦电路或交流电路。

（7）研究正弦电路的意义：

①正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位，它容易产生、传送和使用。

②正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号几乎都可以分解为按正弦规律变化的分量。

2、正弦量的三要素

（1）$(\omega t+\varphi )$ 表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位角，它的大小决定该时刻正弦量的值。

（2）当 $t=0$ 时，相位角 $(\omega t+\varphi )=\varphi$，故称 $\varphi$ 为初相位角，简称初相位，它表示了正弦量的起点。

（3）同一个正弦量，如果计时起点不同，初相位就不同。

3、同频率正弦量的相位差

（1）设 $u(t)=U_m\cos (\omega t+{\varphi }_u)$，$i(t)=I_m\cos (\omega t+{\varphi }_i)$，则二者的相位差为

（2）相位差等于初相位之差。

（3）规定相位差的绝对值不能大于 180°，由于正弦函数是一个周期函数，相位差的计算结果是能够控制在该范围内的（对超出范围的计算结果进行 $\pm 360°$ 即可）。

（4）相位差的正负描述：

① $\varphi >0$，$u$ 超前 $i$ $\varphi$ 角，或 $i$ 滞后 $u$ $\varphi$ 角，说明 $u$ 比 $i$ 先到达最大值。

② $\varphi <0$，$u$ 滞后 $i$ $\varphi$ 角，或 $i$ 超前 $u$ $\varphi$ 角，说明 $i$ 比 $u$ 先到达最大值。

（5）特殊相位关系：

① 相位差 $\varphi =0$，此时 $u$ 和 $i$ 二者同相位（简称同相）。

② 相位差 $\varphi =\frac{\pi }{2}$，说明 $u$ 领先 $i$ $\frac{\pi }{2}$，$i$ 落后 $u$ $\frac{\pi }{2}$。

③相位差 $\varphi =\pm \pi$，两个正弦量相位差了半个周期，这种情况称 $u$ 和 $i$ 反相。

4、周期性电流、电压的有效值

（1）周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果，工程上采用有效值来表示。

（2）有效值也称为均方根值，交流电通过电阻后会产出相应的能量，取交流电的一个周期，在该时间段内如果给该电阻通以一个恒定电流，也能够产出相同的能量，恒定电流的大小就是交流电的电流有效值。

（3）正弦电流、电压的有效值：

（4）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等，但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。

三、正弦量的相量表示

1、相量法概述

（1）用相量表示各正弦量，从而分析或寻求各量之间关系的方法就是相量法。

（2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路，也就是只用来分析正弦稳态电路。

2、正弦量的具体相量表示

（1）以正弦电流为例，设 $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\theta }_i)$，根据欧拉公式有
$$i=I_m\cos (\omega t+{\theta }_i)=\text{Re}[I_m{e}^{j(\omega t+{\theta }_i)}]=\text{Re}[I_m{e}^{j{\theta }_i}{e}^{j\omega t}]$$

上式中，Re [] 是取复数实部的运算。上式将正弦量与复指数函数联系起来，可见用余弦函数表示的正弦量可表示为一复指数函数的实部，该复指数函数的复常数因子 $I_m{e}^{j{\theta }_i}$ 包含了正弦量的两个要素 —— 振幅和初相位。在正弦电流电路中，各电流及电压的频率与电源的频率相同，这是已知的，因此正弦电流电路的电流和电压由其振幅和初相位唯一确定，即由其对应的复变函数的负常数因子确定。

（2）将上式中的复常数因子定义为正弦电流的振幅相量，记为

$${\dot{I}}_m=I_m{e}^{j{\theta }_i}=I_m\angle {\theta }_i$$

定义正弦电流的有效值相量为

$$\dot{I}=I{e}^{j{\theta }_i}=I\angle {\theta }_i$$

①振幅相量和有效值相量都简称为相量，它们同样满足根号二的关系，根据相量符号是否有下标 $m$ 可对二者进行区分。同理可定义正弦电压及其它正弦量的相量。

②相量的模表示正弦量的有效值，相量的辐角表示正弦量的初相位。

（3）相量是复数，其运算与一般复数运算相同。每一个相量都对应着一个正弦量，这是其与一般复数的不同之处，因此在相量的符号上加一个小圆点以示区别。

（4）相量也可用复平面的相量图表示，称为正弦量的相量图，利用相量图可直观地看出各正弦量之间的相位关系。不同频率的相量不能画在同一张相量图上，也就是说不同频率的相量之间不能进行运算。

（5）正弦量与它的相量是一一对应的，由正弦量时间表达式可直接写出它的相量，或由相量直接写出与之对应的正弦量的时间函数。

（6）关于相量法的几点说明：

①所谓相量法是用相量这一特殊的复数形式来表示正弦量，从而将正弦量的运算转化为相量（复数）运算的方法，引入相量的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算。

②将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换，务必记住相量和正弦量只是一种对应关系，两者并不等同。

3、相量法的应用

（1）同频正弦量相加减运算可变成对应相量的相加减运算。（下图所示的是加法运算，减法同理）

（2）正弦量的微分，积分：

四、电路定律的相量形式

1、基尔霍夫定律的相量形式

流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL，任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。

2、电阻元件 VCR 的相量形式

（1）波形图和相量图：

（2）瞬时功率：瞬时功率以 $2\omega$ 为周期交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率。

3、电感元件 VCR 的相量形式

（1）感抗和感纳：

① $X_L=\omega L=2\pi fL$ 称为感抗，单位为 $\Omega$（欧姆）。

② $B_L=-\frac{1}{\omega L}$ 称为感纳，单位为 $S$（西门子）。

（2）感抗表示限制电流的能力，感抗和频率成正比。

（3）波形图和相量图：

（4）瞬时功率：瞬时功率以 $2\omega$ 为周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。

4、电容元件 VCR 的相量形式

（1）容抗与容纳：

① $X_C=-\frac{1}{\omega C}$ 称为容抗，单位为 $\Omega$（欧姆）。

② $B_C=\omega C$ 称为容纳，单位为 $S$（西门子）。

（2）容抗和频率成反比。

（3）波形图和相量图：

（4）瞬时功率：瞬时功率以 $2\omega$ 为周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。

5、单一参数电路中复数形式的欧姆定律

（1）复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。

（2）正弦稳态电路中 $R$、$L$、$C$ 元件电压、电流之间关系的相量形式完全与电阻的欧姆定律相似，因此称它们为相量形式的欧姆定律。

---

相量法转化与求解步骤

1. 时域信号建模

• 输入：正弦激励（如电压源 $v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )$ 或电流源 $i(t)=I_m\cos (\omega t+\theta )$）。
• 关键操作：
  • 明确激励的幅值（$V_m,I_m$）、角频率（$\omega$）和初相位（$\varphi ,\theta$）。
  • 确认电路处于正弦稳态（所有响应与激励同频率）。
• 输出：时域电路模型（含R、L、C元件及激励源）。

2. 时域→相量域转化

• 欧拉公式： $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$
• 操作步骤：
  1. 正弦量→复数形式：
     • 电压相量：$\dot{V}=V_m\angle \varphi$（幅值相量）或 ${\dot{V}}_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}\angle \varphi$（有效值相量）。
     • 电流相量：$\dot{I}=I_m\angle \theta$ 或 ${\dot{I}}_{\text{rms}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\angle \theta$。
  2. 元件阻抗转换：
     • 电阻：$Z_R=R$（实数）。
     • 电感：$Z_L=j\omega L$（虚数，电抗 $X_L=\omega L$）。
     • 电容：$Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$（虚数，电抗 $X_C=-\frac{1}{\omega C}$）。
• 输出：相量电路模型（含相量激励源和复数阻抗）。

3. 相量域电路分析

• 理论依据：基尔霍夫定律的相量形式：
  • KCL：节点电流相量代数和为零，即 $\sum \dot{I}=0$
  • KVL：回路电压相量代数和为零，即 $\sum \dot{V}=0$
• 分析方法：
  • 网孔电流法：列写复数线性方程组，求解网孔电流相量。
  • 节点电压法：设定参考节点，求解节点电压相量。
  • 阻抗串并联化简：等效阻抗 $Z_{\text{eq}}=\frac{Z_1{Z}_2}{Z_1+Z_2}$（并联）或 $Z_{\text{eq}}=Z_1+Z_2$（串联）。
• 输出：待求响应的相量（如 ${\dot{V}}_R,{\dot{I}}_L$）。

4. 相量域→时域还原

• 逆变换操作：
  1. 相量→正弦表达式：
     • 若为幅值相量：$v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )$。
     • 若为有效值相量：$v(t)=\sqrt{2}{V}_{\text{rms}}\cos (\omega t+\varphi )$。
  2. 相位调整：根据复数运算结果的相位（如 $\theta =\arctan \frac{\text{虚部}}{\text{实部}}$），确定最终表达式的相位。
• 输出：时域响应（如 $v(t),i(t)$）。

5. 结果验证与可视化（可选）

• 验证方法：
  • 检查相量域方程是否满足基尔霍夫定律。
  • 对比时域与相量域计算结果的一致性。
• 可视化工具：
  • 相量图：在复平面绘制电压、电流相量，直观观察相位关系（如电阻电压与电流同相，电感电压超前电流90°）。
  • 波形图：绘制时域信号，验证幅值、频率和相位是否符合预期。

求解步骤总结

$$\text{时域正弦量}\stackrel{\text{欧拉公式}}{\to }\text{相量（复数）}\stackrel{\text{基尔霍夫定律}}{\to }\text{复数线性方程组}\stackrel{\text{代数运算}}{\to }\text{相量解}\stackrel{\text{逆变换}}{\to }\text{时域解}$$

示例：RLC 串联电路分析

1. 时域模型：$v(t)=V_m\cos \omega t$ 激励，串联R、L、C。
2. 相量域转化：
   • 电压相量：$\dot{V}=V_m\angle 0^{\circ }$。
   • 阻抗：$Z=R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C}$。
3. 电流相量：$\dot{I}=\frac{\dot{V}}{Z}=\frac{V_m}{|Z|}\angle -\arctan \left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right)$。
4. 时域还原：$i(t)=\frac{V_m}{|Z|}\cos \left(\omega t-\arctan \left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right)\right)$。

---

相量法的概念边界及与其他分析工具的关系

一、基础概念辨析：相量与向量

在学习相量法之前，需先明确其与“向量”的本质差异——二者分属不同学科范畴，定义、用途及运算规则无直接关联，具体对比如下：

1. 相量（Phasor）

• 学科领域：仅用于电学（电路分析、电力系统等），是正弦稳态信号的复数简化表示工具。
• 定义：对于单一频率 $\omega$ 的正弦信号（如电压 $u(t)=U_m\cos (\omega t+\phi )$），用复数 $\dot{U}=U_m\angle \phi$（或有效值相量 $\dot{U}=U\angle \phi$，其中 $U=U_m/\sqrt{2}$）提取信号的“幅度 - 相位”信息，暂忽略随时间变化的 $\cos (\omega t)$ 项（运算后需通过取实部还原时域信号）。
• 主要用途：将时域中复杂的三角函数运算（如微分、积分、同频信号叠加）转化为频域的复数代数运算，降低计算复杂度。

2. 向量（Vector）

• 学科领域：几何、力学、普通物理等通用领域，描述具有大小和空间方向的物理量。
• 定义：如力 $\vec{F}$、速度 $\vec{v}$，需通过坐标系（直角坐标系、极坐标系）定义方向，与“频率”无关。
• 主要用途：表征物理量的空间分布或方向特性，运算遵循向量代数（如点积 $\vec{A}\cdot \vec{B}$、叉积 $\vec{A}\times \vec{B}$）。

二、相量法的数学严谨性依据

相量法的合理性并非“经验总结”，而是基于两个严格的数学与物理基础，确保运算结果与实际物理一致。

1. 欧拉公式：正弦信号的复数等价表示

时域正弦信号可通过欧拉公式实现数学上的严格等价转化，不存在“随意扩展”问题。
欧拉公式的形式为：

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

对正弦信号 $u(t)=U_m\cos (\omega t+\phi )$，令 $\theta =\omega t+\phi$，则：

$$\cos (\omega t+\phi )=\text{Re}\left[e^{j(\omega t+\phi )}\right]$$

进一步拆分复数项（分离“与时间无关”和“与时间相关”部分）：

$$e^{j(\omega t+\phi )}=U_m\angle \phi \cdot e^{j\omega t}$$

定义相量 $\dot{U}=U_m\angle \phi$，可得：

$$u(t)=\text{Re}\left[\dot{U}\cdot e^{j\omega t}\right]$$

其中 $\text{Re}[\cdot ]$ 表示“取复数的实部”，是连接“复数运算”与“物理可观测时域信号”的关键桥梁——后续所有复数运算完成后，只需对结果取实部，即可还原为实际的正弦信号。

2. 线性非时变系统的运算保真性

相量法仅适用于“线性非时变电路”，这类系统具有运算保真性，确保复数运算结果与时域响应的一致性：

• 保频特性：若输入为频率 $\omega$ 的正弦信号，系统输出必为同频率的正弦信号（仅幅度和相位变化，频率不变），这是相量法忽略“频率项 $\cos (\omega t)$”的前提；
• 线性特性：复数运算满足线性叠加原理，即对任意常数 $a$、$b$ 和相量 ${\dot{U}}_1$、${\dot{U}}_2$，有：

$$\text{Re}\left[a{\dot{U}}_1{e}^{j\omega t}+b{\dot{U}}_2{e}^{j\omega t}\right]=a\text{Re}\left[{\dot{U}}_1{e}^{j\omega t}\right]+b\text{Re}\left[{\dot{U}}_2{e}^{j\omega t}\right]$$

该特性保证：相量的线性运算结果，其对应的时域信号就是系统的实际线性响应。

三、相量法与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系

三者均为“时域 → 频域 / 复频域”的分析工具，但适用场景、简化程度不同，关系可概括为：

相量法是傅里叶变换、拉普拉斯变换在“单频正弦稳态”场景下的简化版，具体对比如下表：

分析工具	适用场景	功能	与相量法的关联
傅里叶变换	任意周期 / 非周期信号（稳态）	将时域信号分解为“不同频率正弦分量的叠加”，实现“时域卷积 → 频域乘积”	相量法是其简化： 当信号为单一频率 $\omega$ 时，傅里叶频谱仅在 $\pm \omega$ 处有值，无需计算完整频谱，直接用相量代表 $\omega$ 处的复数分量。
拉普拉斯变换	任意信号（含暂态 + 稳态）	将时域微分方程转化为复频域代数方程，同时分析暂态与稳态响应	相量法是其特例： 当仅关注稳态响应且 $s=j\omega$（复频域虚轴）时，拉普拉斯变换退化为频域分析，相量法即此场景下的简化计算。
相量法	单频正弦信号（稳态）	将时域三角函数运算转化为频域复数代数运算	是前两者的“子集工具”： 通用性最弱，但针对单频稳态场景，计算效率远高于完整的变换分析。

四、相量法的适用边界条件

相量法并非通用工具，仅在满足以下三个条件时有效，超出条件需换用其他方法（如微分方程、傅里叶变换）：

1. 信号条件：仅适用于“单一频率的正弦 / 余弦信号”

• 有效场景：输入信号为单一频率 $\omega$ 的正弦信号（如 $u(t)=U_m\cos (\omega t+\phi )$）；
• 失效场景：
• 多频率信号（如含谐波的方波、锯齿波）：需先通过傅里叶级数分解为“多个单频正弦分量”，再分别用相量法计算后叠加；
• 非正弦信号（如脉冲信号、三角波）：需用傅里叶变换分析；直流信号可视为 $\omega =0$ 的特殊正弦信号（仅幅度无相位），可勉强适用。

2. 系统条件：仅适用于“线性非时变电路”

• 有效场景：电路元件参数为常数（如电阻 $R$、电容 $C$、电感 $L$ 不随时间或信号幅度变化），且无非线性元件（如二极管、三极管、稳压管）；
• 失效场景：
• 非线性电路：非线性元件会导致“输入正弦信号 → 输出非正弦信号”，破坏保频特性，相量运算结果无效；
• 时变电路：元件参数随时间变化（如时变电阻 $R(t)$），无法满足线性特性，运算结果与实际偏差极大。

3. 场景条件：仅适用于“正弦稳态响应分析”

• 有效场景：电路通电足够长时间后，暂态分量已衰减至零（如交流电路稳态、直流电路稳态）；
• 失效场景：
• 暂态过程（如电路通电瞬间、开关切换时的电容充电、电感储能变化）：暂态分量无法用相量法描述，需用微分方程或拉普拉斯变换；
• 动态响应（如系统受扰动后的过渡过程）：需用拉普拉斯变换分析暂态与稳态的叠加响应

五、相量法数学证明的步骤

步骤 1：建立“时域正弦信号 → 相量”的等价关系

1. 给定时域正弦电压信号：$u(t)=U_m\cos (\omega t+{\phi }_u)$；

2. 由欧拉公式，将信号表示为复数实部：

   $$e^{j(\omega t+{\phi }_u)}=\cos (\omega t+{\phi }_u)+j\sin (\omega t+{\phi }_u)$$

   取实部得：

   $$u(t)=\text{Re}\left[e^{j(\omega t+{\phi }_u)}\right]$$

3. 拆分复数项：

   $$e^{j(\omega t+{\phi }_u)}=(U_m\angle {\phi }_u)\cdot e^{j\omega t}$$

   定义相量

   $$\dot{U}=U_m\angle {\phi }_u$$

   则：

   $$u(t)=\text{Re}\left[\dot{U}\cdot e^{j\omega t}\right]$$

   完成“时域信号 → 相量”的等价转化。

步骤 2：验证“时域线性运算 → 相量复数运算”的一致性（以电容微分关系为例）

以电容电流与电压的微分关系 $i_C=C\frac{d{u}_C}{dt}$ 验证：

1. 设电容电压相量形式：$u_C(t)=\text{Re}\left[{\dot{U}}_C\cdot e^{j\omega t}\right]$；

2. 对时域电压求微分（利用“复数实部的微分 = 微分的实部”性质）：

   $$\frac{d{u}_C}{dt}=\text{Re}\left[{\dot{U}}_C\cdot j\omega \cdot e^{j\omega t}\right]$$

   则：

   $$i_C(t)=C\cdot \text{Re}\left[{\dot{U}}_C\cdot j\omega \cdot e^{j\omega t}\right]=\text{Re}\left[(j\omega C\cdot {\dot{U}}_C)\cdot e^{j\omega t}\right]$$

加减、电阻 / 电感的运算验证逻辑类似，均满足“时域运算 → 相量复数运算”的对应关系。

步骤 3：验证“系统传递 → 相量乘法”的一致性（以 RC 低通电路为例）

RC 低通电路的频域传递函数为 $H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}$，验证步骤如下：

1. 输入电压相量 ${\dot{U}}_i$，对应时域输入：$u_i(t)=\text{Re}\left[{\dot{U}}_i\cdot e^{j\omega t}\right]$；

2. 由相量法，输出电压相量：${\dot{U}}_o=H(j\omega )\cdot {\dot{U}}_i$；

3. 输出时域信号：$u_o(t)=\text{Re}\left[{\dot{U}}_o\cdot e^{j\omega t}\right]=\text{Re}\left[H(j\omega )\cdot {\dot{U}}_i\cdot e^{j\omega t}\right]$；

4. 对比时域卷积结果：系统时域响应为

   $$u_o(t)=u_i(t)\ast h(t)$$

   （$h(t)$ 为冲激响应），对其做傅里叶变换得：

   F { u o ( t ) } = F { u i ( t ) } ⋅ F { h ( t ) } = U ˙ i ( ω ) ⋅ H ( j ω ) \mathcal{F}\{u_o(t)\} = \mathcal{F}\{u_i(t)\} \cdot \mathcal{F}\{h(t)\} = \dot{U}_i(\omega) \cdot H(j\omega) F{uo​(t)}=F{ui​(t)}⋅F{h(t)}=U˙i​(ω)⋅H(jω)

   与相量法结果完全一致，证明“相量乘法”与“系统实际传递”的严谨性。

步骤 4：实部还原与物理意义验证

1. 以 RC 低通电路为例，输出相量为

$${\dot{U}}_o=\frac{U_i}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}\angle -\arctan (\omega RC)$$

2. 还原时域信号：

$$u_o(t)=\text{Re}\left[{\dot{U}}_o\cdot e^{j\omega t}\right]=\frac{U_i}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}\cos \left(\omega t-\arctan (\omega RC)\right)$$

3. 物理意义验证：输出为“幅度衰减、相位滞后的同频率正弦信号”，与实验测量结果一致，最终确认相量法的正确性。

六、常见易混淆概念澄清

易混淆概念	错误理解	正确理解
“时域信号与传递函数相乘”	直接将时域信号 $u(t)$ 与传递函数 $H(j\omega )$ 相乘	实际是频域相量 $\dot{U}$ 与 $H(j\omega )$ 相乘： 时域中系统对信号的作用是“卷积”（$u_o(t)=u_i(t)\ast h(t)$），相量法通过复数将其转化为频域“乘积”，避免时域卷积的复杂计算。
“相量法依赖最小相位特性”	系统需满足最小相位特性，相量法才有效	错误。 最小相位特性是“系统是否存在右半平面零点”的特性，仅影响控制设计，与相量法适用性无关——只要系统线性非时变、信号单频，无论是否为最小相位系统，均可用相量法。
“复数仅表示频域”	复数是频域专属工具，无法描述时域信号	错误。 复数可表示时域（如 $e^{j\omega t}$ 是随时间变化的时域复数信号）和频域（如相量 $\dot{U}=U_m\angle \phi$ 是忽略时间项的频域简化表示），关键区别在于“是否包含 $e^{j\omega t}$ 项”。

---

书籍推荐

注：不同印次可能略有调整，以实际书籍目录为准。

一、中文

1. 《电路》（邱关源著，第 5 版 / 第 6 版）

• 第 9 章 “正弦稳态电路的分析”
• 章节内容：
  • 正弦量的相量表示（复数基础与相量定义）；
  • 阻抗与导纳的相量分析（电阻、电感、电容元件的相量模型）；
  • 基尔霍夫定律的相量形式（KCL、KVL 在相量域的应用）；
  • 相量法分析正弦稳态电路（串并联电路、复杂电路的相量求解）。

2. 《电路原理》（于歆杰等著，第 2 版）

• 第 6 章 “正弦稳态电路分析”、第 7 章 “正弦稳态电路的功率”
• 章节内容：
  • 第 6 章：相量的数学基础、元件的相量模型、相量法分析线性电路；
  • 第 7 章：基于相量法的有功 / 无功 / 视在功率计算、功率因数校正的相量分析。

二、英文

1. 《Electric Circuits》（James W. Nilsson 著，Global Edition 第 10 版）

• Chapter 9 “Sinusoidal Steady-State Analysis”
  Chapter 10 “Impedance and Admittance”
  Chapter 11 “Power in Sinusoidal Steady-State Circuits”
• 章节内容：
  • Chapter 9：正弦量与相量的对应关系、相量法的基本步骤；
  • Chapter 10：阻抗的相量计算、相量域的电路等效变换；
  • Chapter 11：基于相量的功率守恒、复功率的相量表达。

2. 《Fundamentals of Electric Circuits》（Charles K. Alexander 著，第 7 版）

• Chapter 9 “Sinusoids and Phasors”
  Chapter 10 “Sinusoidal Steady-State Analysis”
  Chapter 11 “AC Power Analysis”
• 章节内容：
  • Chapter 9：复数运算、相量的定义与性质、正弦量的相量转换；
  • Chapter 10：相量法分析串并联电路、网孔电流法与节点电压法的相量应用；
  • Chapter 11：相量法计算平均功率、无功功率，最大功率传输的相量条件。

3. 《Introduction to Circuit Analysis》（Robert L. Boylestad 著，原书第 12 版，中译《电路分析导论》）

• Chapter 13 “Sinusoidal AC Circuit Analysis”
  Chapter 14 “Network Theorems Applied to AC Circuits”
• 章节内容：
  • Chapter 13：相量的数学基础、RLC 元件的相量模型、相量法求解稳态响应；
  • Chapter 14：叠加定理、戴维南定理在相量域的应用，含工程电路的相量分析案例。

三、德文

《Elektrotechnik: Grundlagen für Studium und Praxis》（Walter Benner 著，第 13 版）

• Kapitel 5 “Wechselstromkreise”（交流电路）
  Kapitel 6 “Phasorenmethode”（相量法）
• 章节内容：
  • Kapitel 5：正弦交流量的基本概念，为相量法铺垫；
  • Kapitel 6：相量的定义与运算、阻抗的相量表示、相量法分析复杂交流电路。

四、俄文

《Электрические цепи》（Александр Сергеевич Соколов著，第 8 版）

• Глава 7 “Синусоидальный режим работы цепей”（电路的正弦稳态运行）
  Глава 8 “Метод фазоров для анализа синусоидальных цепей”（正弦电路的相量分析法）
• 章节内容：
  • Глава 7：正弦量的时域特性与相量表示的必要性；
  • Глава 8：相量法的数学依据、基尔霍夫定律的相量形式、相量法求解稳态电流 / 电压。

五、法文

《Circuits électriques: Théorie et pratique》（Bernard Multon 著，第 4 版）

• Chapitre 4 “Régime sinusoïdal permanent : Notion de phasor”（正弦稳态：相量概念）、Chapitre 5 “Analyse des circuits en régime sinusoïdal permanent”（正弦稳态电路分析）
• 章节内容：
  • Chapitre 4：相量的定义、复数运算与相量转换；
  • Chapitre 5：相量法分析 RLC 电路、基于相量的功率计算与故障诊断。

---

• 电路分析 | Phasor Analysis（篇 1）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/154341480

---

• 相量法_百度百科
  https://baike.baidu.com/item/相量法/5936890
• 电路分析 第七章（相量法基础）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/Zevalin/article/details/135730772
• 电路——相量法的理解 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/31415809
• 《电路原理》——相量法 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/21372260
• 第8章 相量法 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/666851542
• ……