欧拉降幂 | 公式 / 例题分析 / 代码实现

原创已于 2025-09-22 18:04:27 修改 · 1.1k 阅读

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#欧拉降幂

于 2025-09-22 18:04:11 首次发布

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注：本文为 “欧拉降幂” 相关合辑。
略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

详解欧拉降幂

狠人王原创于 2019-10-23 17:09:56 发布

1 问题引出

在数论计算中，经常需要求解形如 $a^{b} \mod c$ 的表达式。针对这一问题，常见的求解思路包括暴力幂运算（pow）与快速幂运算（快速幂），但两者均存在明显局限性：当指数 $b$ 的数值极大（如 $b$ 为百位以上的整数）时，即便采用快速幂算法，也难以在有效时间内完成计算。

为解决大指数下 $a^{b} \mod c$ 的高效求解问题，引入欧拉降幂算法。该算法的核心优势在于：在不改变最终结果的前提下，大幅降低指数 $b$ 的数值，从而显著缩短计算时间，适配大指数场景。

2 欧拉降幂公式

欧拉降幂的核心是基于欧拉函数 $\phi(c)$ （ $\phi$ 为欧拉函数符号）对指数进行降幂，具体公式如下：

$\large a^b \bmod c = a^{b \bmod \varphi(c) + \varphi(c)} \bmod c$

其中， $\phi(c)$ 表示欧拉函数值，其定义为：小于等于 $c$ 且与 $c$ 互质的正整数的个数（互质指两个整数的最大公约数为 1）。

3 关键组件实现与代码解析

3.1 欧拉函数计算（ $\phi(x)$ ）

3.1.1 计算原理

根据欧拉函数的数学性质，对正整数 $x$ 进行质因数分解：若 $p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_n^{k_n}$ （ $p_1,p_2,\dots,p_n$ 为 $x$ 的所有不同质因数， $k_1,k_2,\dots,k_n$ 为对应质因数的指数），则欧拉函数值为：
$\phi(x) = x \times \prod_{i=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right)$

3.1.2 代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAX = 1000100;

// 计算欧拉函数值 phi(x)
ll eulerFunction(ll x) {
    ll eulerNumbers = x;  // 初始化欧拉函数值为 x
    // 遍历所有可能的质因数（直至 sqrt(x)）
    for (ll i = 2; i * i <= x; i++) {
        // 若 i 是 x 的质因数
        if (x % i == 0) {
            eulerNumbers = eulerNumbers / i * (i - 1);  // 应用欧拉函数公式
            // 去除 x 中所有质因数 i（避免重复计算）
            while (x % i == 0) {
                x /= i;
            }
        }
    }
    // 若剩余 x > 1，说明 x 本身是一个质因数
    if (x > 1) {
        eulerNumbers = eulerNumbers / x * (x - 1);
    }
    return eulerNumbers;
}

3.2 快速幂运算（ $a^b \mod \text{mod}$ ）

3.2.1 计算原理

快速幂通过二进制分解降低幂运算的时间复杂度：将指数 $b$ 表示为二进制形式，仅对二进制中为 1 的位对应的幂进行乘法运算，最终时间复杂度由暴力幂的 $O (b)$ 降至 $O(\log b)$ 。

3.2.2 代码实现

// 快速幂计算：(a^b) mod mod，返回结果
ll fastPow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    a %= mod;  // 预处理：将 a 对 mod 取余，减小数值
    while (b > 0) {
        // 若当前二进制位为 1，将结果与当前 a 相乘并取余
        if (b & 1) {
            ans = (ans * a) % mod;
        }
        // a 自乘，对应二进制位左移（即指数乘以 2）
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;  // 指数右移，处理下一个二进制位
    }
    return ans;
}

3.3 欧拉降幂完整实现（ $a^b \mod c$ ， $b$ 为大整数）

当 $b$ 数值极大（需用字符串存储）时，直接计算 $b$ 不现实，需通过欧拉函数对 $b$ 降幂：

计算 $c$ 的欧拉函数值 $\phi(c)$ ；
将字符串形式的 $b$ 转换为数值，并对 $\phi(c)$ 取余，得到降幂后的指数 $\mod \phi(c)$ ；
由于欧拉降幂公式的约束，需补充 $\phi(c)$ 至 $b^{'}$ （即 $\phi(c)$ ），确保结果正确性；
调用快速幂计算 $a^{b' + \phi(c)} \mod c$ 。

3.3.1 代码实现

// 欧拉降幂计算：a^b mod c，其中 b 为字符串形式的大整数
ll eulerDropPow(ll a, char b[], ll c) {
    ll eulerNumbers = eulerFunction(c);  // 步骤1：计算 phi(c)
    ll descendingPower = 0;
    ll len = strlen(b);
    // 步骤2：将字符串 b 转换为数值，并对 phi(c) 取余
    for (ll i = 0; i < len; ++i) {
        descendingPower = (descendingPower * 10 + b[i] - '0') % eulerNumbers;
    }
    // 步骤3：补充 phi(c)，确保降幂公式适用
    descendingPower += eulerNumbers;
    // 步骤4：快速幂计算最终结果
    return fastPow(a, descendingPower, c);
}

// 主函数：输入 a、b（字符串）、c，输出 a^b mod c
int main() {
    ll a, c;
    char b[MAX];
    // 循环读取输入（直至 EOF）
    while (~scanf("%lld%s%lld", &a, b, &c)) {
        printf("%lld\n", eulerDropPow(a, b, c));
    }
    return 0;
}

浅谈欧拉降幂

发表于 2020-05-03 23:22

1 欧拉降幂的理论基础——欧拉定理

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是欧拉降幂的核心理论依据，其内容为：
若 $n$ 、 $a$ 为正整数，且 $a$ 与 $n$ 互质，则：
$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$
其中 $\phi(n)$ 为 $n$ 的欧拉函数值。

$a^b \equiv \begin{cases} a^{b \% \phi(p)} & gcd(a,p) = 1 \\ a^b & gcd(a,p) \neq 1, b < \phi(p) \\ a^{b \% \phi(p) + \phi(p)} & gcd(a,p) \neq 1, b \geq \phi(p) \end{cases} \pmod{p}$

第一个情况，当 $g c d (a, p) = 1$ （即 $a$ 和 $p$ 互质）时，使用的是经典的欧拉定理，此时 $a^b \equiv a^{b \% \phi(p)} \pmod{p}$ 。
第二个和第三个情况属于广义欧拉降幂，不要求 $a$ 和 $p$ 互质，而是根据指数 $b$ 与 $\phi(p)$ 的大小关系来确定不同的降幂形式：
当 $\neq 1$ 且 $\phi(p)$ 时，直接为 $a^b$ ；
当 $\neq 1$ 且 $\geq \phi(p)$ 时，为 $a^{b \% \phi(p) + \phi(p)}$ 。

基于欧拉定理，可推导出基础的降幂公式：
$a^b \equiv a^{b \mod \phi(n) + \phi(n)} \pmod{n}$
该公式是欧拉降幂的核心，后续广义形式均基于此扩展。

2 欧拉降幂的三种形式（广义欧拉降幂）

欧拉降幂根据 $a$ 与 $c$ 的互质关系及指数 $b$ 的大小，分为三种形式，覆盖所有场景：

场景条件	降幂公式	说明
$a$ 与 $c$ 互质	$a^b \equiv a^{b \mod \phi(c)} \pmod{c}$	直接基于欧拉定理推导，无指数大小限制
$a$ 与 $c$ 不互质，且 $\geq \phi(c)$	$a^b \equiv a^{b \mod \phi(c) + \phi(c)} \pmod{c}$	最常用的广义形式，适配大指数场景
$a$ 与 $c$ 不互质，且 $\phi(c)$	$a^b \equiv a^b \pmod{c}$	指数较小，无需降幂，直接计算

3 典型例题解析：求 $2^{(2^{(2^{(2^{\dots})})})} \mod p$ （无限嵌套指数）

3.1 问题分析

该问题为无限嵌套的指数运算，无法直接计算外层指数，需通过递归+欧拉降幂逐层简化：

设 $2^{(2^{(2^{\dots})})} \mod p$ （嵌套层数无限）；
对指数部分应用欧拉降幂：内层嵌套 $2^{(2^{\dots})} = f(\phi(p)) + \phi(p)$ （因内层指数必然 $\geq \phi(p)$ ）；
递归边界：当 $p = 1$ 时，任何数对 1 取余均为 0，故 $f (1) = 0$ 。

解答

要计算 $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \bmod p$ ，可按以下步骤进行：

步骤1：分解 $p$

令 $2^k \cdot q$ ，其中 $q$ 为奇数。这样分解能将 $p$ 的 $2$ 的幂次部分和奇数部分分开处理。

步骤2：转换模运算表达式

从原始表达式 $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \bmod p$ 开始，结合 $2^k \cdot q$ ，可将其改写为：
$2^k \left(2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}-k}} \bmod q\right)$
这里 $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}-k}} \bmod q$ 聚焦于指数部分对奇数 $q$ 取模的情况。

步骤3：应用欧拉定理

因为 $q$ 是奇数，所以 $\gcd(2, q) = 1$ 。根据欧拉定理，若 $\gcd(a, n) = 1$ ，则 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ （其中 $\phi$ 是欧拉函数）。于是，我们可以将指数对 $\phi(q)$ 取模来简化：
$2^k \left(2^{\left(2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}-k}\right) \bmod \phi(q)} \bmod q\right)$
这形成了递归结构，此时指数部分的形式与原始问题相同（只是模数不同）。

步骤4：递归过程

除第一次迭代外，每一步递归中的模数都是偶数。这意味着模数在每次迭代中至少会减半，因此递归最多会在 $\Theta(\log_2 p)$ 步后终止，此时模数变为 $1$ 。

当模数为 $1$ 时，任何整数对 $1$ 取模的结果都是 $0$ 。此时，我们可以通过回溯递归调用来计算最终结果。

步骤5：时间复杂度分析

使用线性筛计算欧拉函数：时间复杂度为 $\Theta(p + T\log_2 p)$ ，其中 $T$ 是递归步骤数。
每次用 $\Theta(\sqrt{p})$ 计算欧拉函数：时间复杂度为 $\Theta(T\log_2 p\sqrt{p})$ 。实践中，这种方法比线性筛法快得多。
迭代计算（模 $1$ 到模 $10^7$ ）：时间复杂度为 $\Theta(p)$ ，但由于常数因子过大，实际运行中常出现超时（TLE）。

这种方法借助数论知识和递归，利用模运算与欧拉定理的性质，高效地解决了问题。

3.2 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

// 计算欧拉函数值 phi(x)
ll ph(ll x) {
    ll res = x, a = x;
    for (ll i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (a % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (a % i == 0) a /= i;
        }
    }
    if (a > 1) res = res / a * (a - 1);
    return res;
}

// 快速幂计算：(a^b) mod mod
ll quick_pow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

// 递归计算 f(p) = 2^(2^(2^...)) mod p
ll f(ll p) {
    if (p == 1) return 0;  // 递归边界：任何数 mod 1 = 0
    ll k = ph(p);           // 计算 phi(p)
    // 递归：内层指数 = f(k) + k，再应用快速幂
    return quick_pow(2, f(k) + k, p);
}

// 主函数：多组测试用例
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        ll p;
        scanf("%lld", &p);
        printf("%lld\n", f(p));
    }
    return 0;
}

4 通用问题：求 $A^B \mod C$ （ $B$ 为大整数）

4.1 问题特点

$B$ 为大整数（需用字符串存储），需通过欧拉降幂将 $B$ 转换为可计算的小指数，再用快速幂求解。

4.2 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define ll __int64
using namespace std;

char a[1000006];  // 存储大指数 B（字符串形式）
ll x, z;          // x = A，z = C

// 快速幂计算：(x^y) mod z
ll quickpow(ll x, ll y, ll z) {
    ll ans = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) ans = ans * x % z;
        x = x * x % z;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}

// 计算欧拉函数值 phi(n)
ll phi(ll n) {
    ll i, rea = n;
    for (i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            rea = rea - rea / i;  // 等价于 rea = rea / i * (i-1)
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) rea = rea - rea / n;
    return rea;
}

// 主函数：输入 A、B（字符串）、C，输出 A^B mod C
int main() {
    while (scanf("%lld %s %lld", &x, a, &z) != EOF) {
        ll len = strlen(a);
        ll p = phi(z);           // 步骤1：计算 phi(C)
        ll ans = 0;
        // 步骤2：将字符串 B 转换为数值，并对 phi(C) 取余
        for (ll i = 0; i < len; i++) {
            ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % p;
        }
        // 步骤3：补充 phi(C)，确保降幂公式适用
        ans += p;
        // 步骤4：快速幂计算最终结果
        printf("%lld\n", quickpow(x, ans, z));
    }
    return 0;
}

EOF

posted @ 2020-05-03 23:22 ジャスミン

欧拉降幂公式

一、引言

在数论与算法领域，大指数幂运算的取模问题（即计算 $a^b \mod c$ ，其中 $b$ 为极大整数）是核心难点之一。

直接计算 $a^b$ 会因数值溢出或复杂度爆炸而无法实现，欧拉降幂公式基于欧拉函数 $\varphi(c)$ ，通过“降低指数规模”的核心思想，将此类问题转化为可解形式，是解决大指数模运算的关键工具。

1.1 变量定义

在学习欧拉降幂公式前，需明确以下3个基础变量的定义，避免后续混淆：

$a, b, c$ ：均为正整数，且 $\geq 2$ （若 $c = 1$ ，则任何数对1取模结果恒为0，无需降幂）；
$\gcd(a, c)$ ：表示 $a$ 与 $c$ 的最大公约数，用于判断两者是否互质（互质即 $\gcd(a,c)=1$ ）；
$\varphi(c)$ ：欧拉函数，定义为“小于等于 $c$ 且与 $c$ 互质的正整数的个数”，是降幂公式的核心工具。

1.2 欧拉函数的计算

欧拉函数的计算依赖于模数 $c$ 的质因数分解，具体步骤如下：

对 $c$ 进行质因数分解：若 $p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_n^{k_n}$ （其中 $p_1,p_2,\dots,p_n$ 为互不相同的质数， $k_1,k_2,\dots,k_n$ 为正整数）；
代入欧拉函数公式：
$\varphi(c) = c \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \frac{1}{p_n}\right)$

示例：

计算 $\varphi(6)$ ：6的质因数分解为 $2^1 \times 3^1$ ，则 $\varphi(6) = 6 \times (1-\frac{1}{2}) \times (1-\frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 2$ （与6互质的数为1、5，共2个，结果一致）；
计算 $\varphi(7)$ ：7是质数，质因数分解为 $7^1$ ，则 $\varphi(7) = 7 \times (1-\frac{1}{7}) = 6$ （与7互质的数为1~6，共6个，结果一致）。

二、欧拉降幂公式的完整形式

欧拉降幂公式并非单一表达式，需根据底数 $a$ 与模数 $c$ 的互质关系和指数 $b$ 的大小分为3种核心场景，覆盖所有可能情况且互不重叠。其核心目标是：在不改变 $a^b \mod c$ 结果的前提下，将指数 $b$ 降低至可计算范围。

2.1 场景1： $a$ 与 $c$ 互质（ $\gcd(a,c)=1$ ）

公式

$a^b \mod c = a^{b \mod \varphi(c)} \mod c$

适用条件

无需限制指数 $b$ 的大小（无论 $b$ 为大或小，公式均成立）。

原理

由欧拉定理推导：若 $\gcd(a,c)=1$ ，则 $a^{\varphi(c)} \equiv 1 \pmod{c}$ 。这意味着 $a$ 的幂次以 $\varphi(c)$ 为周期循环，因此指数 $b$ 可对 $\varphi(c)$ 取模后简化，即 $\cdot \varphi(c) + r$ （ $\leq r < \varphi(c)$ ），则 $a^b = (a^{\varphi(c)})^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r = a^r \pmod{c}$ 。

示例

计算 $3^{100} \mod 7$ ：

判断互质关系： $\gcd(3,7)=1$ ，满足场景1条件；
计算欧拉函数： $\varphi(7)=6$ （7为质数）；
降幂指数： $\mod 6 = 4$ ；
计算结果： $3^4 \mod 7 = 81 \mod 7 = 4$ 。

2.2 场景2： $a$ 与 $c$ 不互质（ $\gcd(a,c) \neq 1$ ）且 $\geq \varphi(c)$

公式（广义欧拉降幂）

$a^b \mod c = a^{b \mod \varphi(c) + \varphi(c)} \mod c$

关键注意事项

必须在“ $\mod \varphi(c)$ ”后补充 $\varphi(c)$ ！若仅用 $\mod \varphi(c)$ 会导致结果错误（见下方反例）。

原理

当 $a$ 与 $c$ 不互质时，欧拉定理直接失效，但可通过“质幂模分解 + 中国剩余定理”推导：
将 $c$ 分解为质幂乘积 $p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_n^{k_n}$ ，对每个质幂 $p_i^{k_i}$ ，可证明 $a^b \equiv a^{b \mod \varphi(p_i^{k_i}) + \varphi(p_i^{k_i})} \pmod{p_i^{k_i}}$ （因 $\geq \varphi(c) \geq \varphi(p_i^{k_i})$ ，指数足够大以覆盖质因子的影响）；再通过中国剩余定理将各质幂模的结果组合，最终得到广义降幂公式。

示例

计算 $4^{10} \mod 6$ ：

判断互质关系与指数大小： $\gcd(4,6)=2 \neq 1$ ， $\varphi(6)=2$ ，且 $\geq 2$ ，满足场景2条件；
降幂指数： $\mod 2 = 0$ ，补充 $\varphi(6)$ 后指数为 $0 + 2 = 2$ ；
计算结果： $4^2 \mod 6 = 16 \mod 6 = 4$ ；
反例验证：若不补充 $\varphi(6)$ ，则指数为0， $4^0 = 1$ ， $\mod 6 = 1$ ，与正确结果4矛盾。

2.3 场景3： $a$ 与 $c$ 不互质（ $\gcd(a,c) \neq 1$ ）且 $\varphi(c)$

结论

无法降幂，直接计算 $a^b \mod c$ 即可。

原因

广义降幂公式（场景2）的前提是“指数足够大（ $\geq \varphi(c)$ ）”，若 $\varphi(c)$ ：

补充 $\varphi(c)$ 会导致指数变大（反而增加计算复杂度）；
此时指数本身已足够小，直接计算（结合快速幂）效率更高，且结果与降幂结果可能不一致（见下方反例）。

示例

计算 $6^1 \mod 4$ ：

判断互质关系与指数大小： $\gcd(6,4)=2 \neq 1$ ， $\varphi(4)=2$ ，且 $1 < 2$ ，满足场景3条件；
直接计算结果： $6^1 \mod 4 = 2$ ；
反例验证：若强行用场景2公式，指数为 $1 + 2 = 3$ ， $6^3 = 216$ ， $\mod 4 = 0$ ，与正确结果2矛盾。

2.4 三种场景的对比总结

为清晰区分适用范围，下表整理了三种场景的核心要素：

场景	互质关系（ $\gcd(a,c)$ ）	指数条件（ $b$ 与 $\varphi(c)$ ）	核心公式	关键提醒
1	$= 1$ （互质）	无要求（ $b$ 任意）	$a^{b \mod \varphi(c)} \mod c$	无需补充 $\varphi(c)$
2	$\neq1$ （不互质）	$\geq \varphi(c)$ （指数大）	$a^{b \mod \varphi(c) + \varphi(c)} \mod c$	必须补充 $\varphi(c)$
3	$\neq1$ （不互质）	$\varphi(c)$ （指数小）	$a^b) \mod c$ （直接计算）	无法降幂，直接计算

三、欧拉降幂公式的严格证明

3.1 场景1（ $a$ 与 $c$ 互质）的证明

构造既约剩余系：设 $\{r_1, r_2, \dots, r_{\varphi(c)}\}$ 是模 $c$ 的既约剩余系（即所有与 $c$ 互质的剩余类代表，满足 $gcd(r_i, c)=1$ 且两两模 $c$ 不同余）；
剩余系的封闭性：因 $\gcd(a,c)=1$ ，则 $\{a r_1, a r_2, \dots, a r_{\varphi(c)}\}$ 也是模 $c$ 的既约剩余系（证明：若 $r_i \equiv a r_j \pmod{c}$ ，则 $r_i \equiv r_j \pmod{c}$ ，与 $S$ 元素互异矛盾；且 $gcd(a r_i, c)=1$ ）；
乘积同余：由于 $T$ 是 $S$ 的置换，两组元素的乘积模 $c$ 相等：
$r_1)(a r_2) \dots (a r_{\varphi(c)}) \equiv r_1 r_2 \dots r_{\varphi(c)} \pmod{c}$
化简得 $a^{\varphi(c)} \cdot (r_1 r_2 \dots r_{\varphi(c)}) \equiv r_1 r_2 \dots r_{\varphi(c)} \pmod{c}$ ；
消去乘积项：因 $\gcd(r_1 r_2 \dots r_{\varphi(c)}, c)=1$ ，两边可约去乘积项，得 $a^{\varphi(c)} \equiv 1 \pmod{c}$ （欧拉定理）；
指数拆分：设 $\cdot \varphi(c) + r$ （ $\leq r < \varphi(c)$ ），则 $a^b = (a^{\varphi(c)})^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r = a^r = a^{b \mod \varphi(c)} \pmod{c}$ ，证毕。

3.2 场景2（ $a$ 与 $c$ 不互质且 $\geq \varphi(c)$ ）的证明

质幂模分解：将 $c$ 分解为质幂乘积 $p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_n^{k_n}$ ，需证明对每个质幂 $p_i^{k_i}$ ，公式成立（中国剩余定理：若对所有质幂模成立，则对 $c$ 成立）；
单个质幂模的分析：取任意质幂 $p^k$ ，设 $p^t \cdot s$ （ $\geq 1$ ， $\gcd(s, p)=1$ ），需证 $a^b \equiv a^{b \mod \varphi(p^k) + \varphi(p^k)} \pmod{p^k}$ ：
- 欧拉函数计算： $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)$ ；
- 指数条件：因 $\geq \varphi(c) \geq \varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1) \geq k$ （对 $\geq 2, k \geq 1$ 成立），故 $a^b = p^{t b} \cdot s^b$ 中 $\geq t k \geq k$ （ $\geq 1$ ），因此 $a^b \equiv 0 \pmod{p^k}$ ；
- 右侧指数分析： $\mod \varphi(p^k) + \varphi(p^k) \geq \varphi(p^k) \geq k$ ，故 $a^{b \mod \varphi(p^k) + \varphi(p^k)} = p^{t (b \mod \varphi(p^k) + \varphi(p^k))} \cdot s^{...}$ 中 $\geq k$ ，因此 $a^{...} \equiv 0 \pmod{p^k}$ ；
- 综上： $a^b \equiv a^{b \mod \varphi(p^k) + \varphi(p^k)} \pmod{p^k}$ ；
组合结果：由中国剩余定理，对所有 $p_i^{k_i}$ 成立，故对 $c$ 成立，证毕。

3.3 场景3（ $a$ 与 $c$ 不互质且 $\varphi(c)$ ）的证明

反证法：

假设存在降幂公式 $a^b \equiv a^{r} \pmod{c}$ （ $r < b$ ），则存在 $a^r (a^{b - r} - 1) \equiv 0 \pmod{c}$ 。

因 $\varphi(c)$ ， $\varphi(c)$ ，而 $a$ 与 $c$ 不互质， $a^{b - r} - 1$ 与 $c$ 的公因子可能不足以覆盖 $c$ 的所有质因子，导致等式不成立（如示例 $6^1 \mod 4$ ，若降幂为 $6^0=1$ ，则 $\not\equiv 2 \pmod{4}$ ）。

因此，场景3无法降幂，只能直接计算，证毕。

四、欧拉降幂公式的实战应用

4.1 实际计算步骤

遇到 $a^b \mod c$ （ $b$ 极大）时，按以下步骤选择公式，确保无遗漏：

第一步：计算基础量
- 计算 $\gcd(a, c)$ ，判断 $a$ 与 $c$ 是否互质；
- 计算 $\varphi(c)$ （需先对 $c$ 质因数分解）；
第二步：根据场景选择公式
- 若 $\gcd(a,c)=1$ → 场景1公式；
- 若 $\gcd(a,c) \neq 1$ ：
  - 若 $\geq \varphi(c)$ → 场景2公式；
  - 若 $\varphi(c)$ → 场景3（直接计算）；
第三步：结合快速幂计算
降幂后的指数仍可能较大，需用快速幂算法（见4.2节）高效计算 $a^r \mod c$ （ $r$ 为降幂后的指数）。

4.2 快速幂算法（辅助工具）

快速幂算法通过“指数二分”思想，将 $a^r \mod c$ 的时间复杂度从 $O (r)$ 降至 $O(\log r)$ ，是欧拉降幂的必备辅助工具。

算法原理

若 $r$ 为偶数： $a^r = (a^2)^{r/2}$ ；
若 $r$ 为奇数： $a^r = a \cdot (a^2)^{(r-1)/2}$ ；
过程中及时对底数和结果取模，避免溢出。

代码实现（C++）

long long fast_pow_mod(long long base, long long exponent, long long mod) {
    long long result = 1;
    base %= mod;  //    long long result = 1;
    base %= mod;  // 底数先取模，避免初始值过大
    while (exponent > 0) {
        // 指数为奇数时，将当前底数乘入结果
        if (exponent % 2 == 1) {
            result = (result * base) % mod;  // 结果取模，防止溢出
        }
        // 底数平方，指数减半（二分思想）
        base = (base * base) % mod;  // 底数平方后取模
        exponent /= 2;
    }
    return result;
}

4.3 典型应用场景

场景1：密码学（RSA加密算法）

RSA算法的核心步骤依赖大指数幂取模：

加密过程： $c = m^e \mod n$ （ $m$ 为明文， $e$ 为公钥指数， $n$ 为模数）；
解密过程： $m = c^d \mod n$ （ $d$ 为私钥指数）；
关键问题： $e$ 和 $d$ 通常是数百位的大整数，直接计算 $m^e$ 或 $c^d$ 不可行。
通过欧拉降幂（结合 $n = pq$ 的特性， $\varphi(n) = (p-1)(q-1)$ ），可将指数降为 $\mod \varphi(n)$ 或 $\mod \varphi(n)$ ，大幅降低计算量，确保加密/解密高效执行。

场景2：算法竞赛（大指数取模问题）

在ACM-ICPC、CCF CSP等竞赛中，常出现“计算 $a^b \mod c$ 且 $b$ 为 $10^{100}$ 级别大整数”的题目，需结合欧拉降幂与快速幂求解：

示例：计算 $2^{1000000000000} \mod 15$
1. 计算 $\gcd(2,15)=1$ ， $\varphi(15)=8$ （15=3×5， $\varphi(15)=15×(1-1/3)×(1-1/5)=8$ ）；
2. 降幂指数： $\mod 8 = 0$ （场景1公式）；
3. 快速幂计算： $2^0 \mod 15 = 1$ ，最终结果为1。

场景3：无限嵌套指数（指数塔）

欧拉降幂的经典进阶应用是解决“无限嵌套指数取模”，例如计算 $2^{2^{2^{\dots}}} \pmod{p}$ （嵌套层数无限，称为“指数塔”）。

问题分析

直接计算外层指数不可行（指数塔无限大）；
需通过递归+欧拉降幂逐层简化：设 $2^{2^{2^{\dots}}} \pmod{p}$ ，则内层指数仍为 $f(\varphi(p))$ （内层也是无限指数塔）；
递归边界：当 $p = 1$ 时，任何数 mod 1 均为0，故 $f (1) = 0$ 。

核心算法（C++）

#include <map>
using namespace std;

// 缓存欧拉函数结果，避免重复计算
map<long long, long long> phi_cache;

// 计算欧拉函数
long long get_phi(long long n) {
    if (phi_cache.count(n)) return phi_cache[n];
    long long res = n;
    // 质因数分解
    for (long long i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);  // 欧拉函数公式
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) res = res / n * (n - 1);  // 剩余质因子
    phi_cache[n] = res;
    return res;
}

// 快速幂（支持扩展欧拉降幂）
long long power_mod(long long base, long long exp, long long mod, long long phi_mod) {
    if (mod == 1) return 0;
    // 确保指数满足 b >= phi(mod)，补充 phi_mod
    long long effective_exp = exp < phi_mod ? exp + phi_mod : exp;
    long long res = 1;
    base %= mod;
    while (effective_exp > 0) {
        if (effective_exp % 2 == 1) res = (res * base) % mod;
        base = (base * base) % mod;
        effective_exp /= 2;
    }
    return res;
}

// 递归计算指数塔 mod p
long long calculate_tower_mod(long long p) {
    if (p == 1) return 0;  // 递归边界
    long long phi_p = get_phi(p);
    long long inner_exp = calculate_tower_mod(phi_p);  // 内层指数塔 mod phi(p)
    return power_mod(2, inner_exp, p, phi_p);  // 应用场景2公式
}

测试示例

计算 $2^{2^{2^{\dots}}} \pmod{7}$ ：

递归步骤： $\to \varphi(7)=6 \to f(6) \to \varphi(6)=2 \to f(2) \to \varphi(2)=1 \to f(1)=0$ ；
回溯计算：
- $f(2) = power_mod(2, 0, 2, 1) = 0$ ；
- $f(6) = power_mod(2, 0, 6, 2) = 4$ ；
- $f(7) = power_mod(2, 4, 7, 6) = 2^4 \mod 7 = 16 \mod 7 = 2$ ；
最终结果：2。

第五章与其他数论定理的关联与对比

5.1 与费马小定理的关系（特殊与一般）

费马小定理是欧拉降幂公式在“模数为质数”时的特殊情况，二者关系如下：

对比维度	费马小定理（Fermat’s Little Theorem）	欧拉降幂公式
适用条件	1. 模数 $p$ 为质数； 2. $\gcd(a,p)=1$	1. 模数 $c$ 为任意正整数（ $\geq 2$ ）； 2. 无互质强制要求（分场景处理）
核心公式	$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ （降幂形式： $a^b \equiv a^{b \mod (p-1)} \pmod{p}$ ）	分3场景（见第二章），当 $c = p$ （质数）且 $\gcd(a,p)=1$ 时，退化为费马小定理
本质	质数模下的指数周期性结论（周期为 $p - 1$ ）	任意模下的通用降幂工具（周期为 $\varphi(c)$ ）

示例：计算 $3^{100} \mod 7$ （7为质数）

费马小定理： $\gcd(3,7)=1$ ， $3^{6} \equiv 1 \pmod{7}$ ， $\mod 6=4$ ， $3^4 \mod7=4$ ；
欧拉降幂： $\varphi(7)=6$ ， $3^{100 \mod6} \mod7=3^4 \mod7=4$ ，结果一致。

5.2 与原根、阶的关联（更精细的降幂）

对于与 $c$ 互质的 $a$ ，若存在最小正整数 $d$ 使得 $a^d \equiv 1 \pmod{c}$ ，则 $d$ 称为 $a$ 模 $c$ 的阶（记为 $\text{ord}_c(a)$ ）。阶与欧拉函数的关系是 $\text{ord}_c(a) \mid \varphi(c)$ （阶是欧拉函数的约数）。

基于阶的降幂公式为：
$a^b \equiv a^{b \mod d} \pmod{c}$
由于 $\leq \varphi(c)$ ，该公式可将指数降得更小，计算效率更高。

示例：计算 $2^{100} \mod 7$

欧拉降幂： $\varphi(7)=6$ ， $\mod6=4$ ， $2^4=16 \mod7=2$ ；
基于阶的降幂： $\text{ord}_7(2)=3$ （ $2^3=8 \equiv1 \mod7$ ，且无更小正整数满足）， $\mod3=1$ ， $2^1=2 \mod7=2$ ，指数更小（1 < 4）。

六、常见误区与注意事项

6.1 混淆“互质”与“不互质”的公式适用场景

错误案例：计算 $4^2 \mod 6$ 时，误用场景1公式（ $\gcd(4,6)=2 \neq1$ ，不满足互质条件）， $\varphi(6)=2$ ， $\mod2=0$ ， $4^0=1 \mod6=1$ ，但正确结果为 $4^2=16 \mod6=4$ ；
正确做法：先计算 $\gcd(a,c)$ ，再根据指数大小选择公式，不互质且 $\geq \varphi(c)$ 时必须补充 $\varphi(c)$ （场景2）。

6.2 忽略“指数补充 $\varphi(c)$ ”的前提条件

错误案例：计算 $6^1 \mod4$ 时，强行用场景2公式（ $\varphi(4)=2$ ，不满足指数条件），指数变为 $1 + 2 = 3$ ， $6^3=216 \mod4=0$ ，但正确结果为 $6^1 \mod4=2$ ；
正确做法：仅当 $a$ 与 $c$ 不互质且 $\geq \varphi(c)$ 时，才补充 $\varphi(c)$ ，二者缺一不可。

6.3 欧拉函数计算错误

欧拉函数的计算依赖质因数分解，若分解错误，后续降幂全错：

错误案例：计算 $\varphi(12)$ 时，错误分解为 $12 = 2 \times 6$ （6非质数）， $\varphi(12)=12×(1-1/2)×(1-1/6)=5$ ，但正确分解为 $12=2^2×3$ ， $\varphi(12)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4$ ；
正确做法：质因数分解时，需将模数分解为互不相同的质数的幂次乘积，遍历到 $\sqrt{n}$ 后需检查剩余部分是否为质数（如 $n = 15$ ，遍历到 $i = 3$ 后剩余 $5 > 1$ ，需补充乘以 $(1 - 1/5)$ ）。

6.4 忽略“模数 $c = 1$ ”的特殊情况

当 $c = 1$ 时，任何整数对1取模结果恒为0，无需计算欧拉函数或降幂：

示例：计算 $100^{1000} \mod1$ ，直接得0，无需额外操作。

七、应用领域

一、密码学领域（除 RSA 外）

欧拉降幂公式是密码学核心工具，可简化非对称加密、签名算法中 “密钥生成”“签名验证”“解密” 的高次幂计算，解决指数过大导致的效率问题。

1. 椭圆曲线密码学（ECC）

ECC（如比特币 secp256k1 曲线）核心是椭圆曲线上的点群运算，“点的高次倍乘” 是 ECDH 密钥交换、ECDSA 签名的关键步骤。

原理：椭圆曲线点群满足 “有限阶”（存在最小正整数 $n$ ，使 $n P = O$ ， $O$ 为无穷远点， $P$ 为基点），与欧拉函数 “模 $m$ 下的阶” 本质一致。计算 “ $k P$ ”（ $k$ 为私钥）时，可用曲线阶 $n$ 替代 $\phi (m)$ ，将 $k$ 简化为 $\mod n$ ，再算 $\mod n) P$ ，减少运算量。
例：secp256k1 曲线 $P$ 的阶 $n=2^{256}-2^{32}-3\cdot2^{96}+2^{32}-1$ ， $k$ 超 $n$ 时，先算 $\mod n$ 再算 $k^{'} P$ ，结果一致且效率更高。

2. 数字签名算法（DSA）

DSA（衍生出 ECDSA）签名需算 “ $r = (g^k \mod p) \mod q$ ”，验证需算 “ $(g^{u1} \cdot y^{u2} \mod p) \mod q$ ”（ $g$ 为模 $p$ 原根， $q$ 为 $p - 1$ 大素因子， $k 、 u 1 、 u 2$ 为大整数）。

原理：由 $g^q \equiv 1 \pmod {p}$ （原根性质，对应欧拉定理 $g^{\phi (p)}=g^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$ ，且 $q$ 是 $\phi (p)$ 因子），计算 $g^k \mod p$ 时可先降幂 $\mod q$ ，再算 $g^{k'} \mod p$ ，结果不变。
作用： $k$ 为 1000 位时，降幂后 $k^{'}$ 仅 160 位，运算效率提升数倍，确保签名 / 验证毫秒级完成。

3. Diffie-Hellman 密钥交换（DH）

DH 是首个非对称密钥交换协议，核心步骤为 “双方算 $A = g^a \mod p$ 和 $B = g^b \mod p$ ，再各自算 $B^a \mod p$ 和 $A^b \mod p$ （即共享密钥）”（ $g$ 为模 $p$ 原根， $a 、 b$ 为私钥）。

原理：由欧拉定理 $g^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$ （ $\phi (p)=p-1$ ）， $ab$ 为极大指数（如 $a 、 b$ 均为 2048 位， $ab$ 为 4096 位）时，可降幂 $\mod (p-1)$ ，即 $g^{ab} \equiv g^{ab \mod (p-1)} \pmod {p}$ ，简化计算。
例： $p$ 为 2048 位素数时，降幂后指数从 4096 位降至 2048 位，乘法次数减半，避免计算超时。

二、数论与数学计算领域

欧拉降幂是数论 “高次幂模运算” 核心工具，用于竞赛题、大整数余数计算、素性测试等场景。

1. 大整数高次幂的余数计算

计算 “ $a^b \mod m$ ”（ $b$ 为极大整数，如 $b=10^{1000}$ ）时，直接算 $a^b$ 会溢出，欧拉降幂可通过 “降指数” 高效计算。

分情况应用（完整公式）：
1. $a$ 与 $m$ 互质： $a^b \equiv a^{b \mod \phi (m)} \pmod {m}$ ；
2. $a$ 与 $m$ 不互质且 $\geq \phi (m)$ ： $a^b \equiv a^{b \mod \phi (m) + \phi (m)} \pmod {m}$ ；
3. $a$ 与 $m$ 不互质且 $\phi (m)$ ：直接算 $a^b \mod m$ 。
实例：计算 $2^{1000} \mod 15$ 。
第一步： $\phi (15)=\phi (3×5)=15×(1-1/3)×(1-1/5)=8$ ；
第二步：2 与 15 互质且 $\geq 8$ ，降幂得 $\mod 8 = 0$ ；
第三步： $2^0=1$ ，故 $2^{1000} \equiv 1 \pmod {15}$ 。

2. 素性测试（如 Miller-Rabin 测试）

Miller-Rabin 测试是常用 “概率性素性测试”，核心依赖费马小定理（欧拉定理特殊情况， $m$ 为素数时 $\phi (m)=m-1$ ，即 $a^{m-1} \equiv 1 \pmod {m}$ ），欧拉降幂可简化高次幂计算。

测试步骤（简化版）：
1. 奇数 $n$ （待测试数）写成 $n-1 = d × 2^s$ ；
2. 选 $a$ （ $1 < a < n$ ），算 $x = a^d \mod n$ ；
3. $x = 1$ 或 $x = n - 1$ 则 $n$ 可能为素数；否则重复算 $x = x^2 \mod n$ （共 $s - 1$ 次），始终不为 $n - 1$ 则 $n$ 是合数。
作用： $d$ 为大整数（如 $n$ 为 2048 位， $d$ 为 2047 位）时，需用欧拉降幂简化指数，否则计算无法完成。
意义：是 RSA 密钥生成 “生成大素数” 的核心算法，优化后可几秒内完成 2048 位素数测试。

3. 数论竞赛与难题求解

是奥林匹克数学竞赛（如 IMO、国内数竞）中解决 “高次幂同余” 问题的核心工具，例如：

问题：求最小正整数 $k$ ，使 $3^k \equiv 1 \pmod {7}$ 。
解： $\phi (7)=6$ ，3 与 7 互质，故 $3^6 \equiv1 \pmod {7}$ ，最小 $k$ 是 6 的约数（1,2,3,6）。验证得 $3^3=27 \equiv6 \pmod {7}$ ， $3^6=(3^3)^2 \equiv6^2=36 \equiv1 \pmod {7}$ ，故 $k = 6$ 。
问题：计算 $5^{2023} \mod 12$ 。
解： $\phi (12)=\phi (4×3)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4$ ，5 与 12 互质， $\mod 4=3$ ，故 $5^3=125 \equiv5 \pmod {12}$ ，结果为 5。

三、计算机科学与算法设计

欧拉降幂用于 “优化涉及大指数的算法”，涵盖哈希函数、伪随机数生成、分布式计算等场景。

1. 密码学哈希函数（如 SHA-256 的辅助计算）

部分场景（如 “基于哈希的签名”）需计算 “输入的高次幂模素数”，例如轻量级哈希方案 $H (x) = (x^{k} \mod p)$ （ $k$ 为大整数， $p$ 为素数），需用欧拉降幂简化 $x^k \mod p$ （因 $\phi (p)=p-1$ ，可降为 $x^{k \mod (p-1)} \mod p$ ），避免计算耗时过长。

2. 伪随机数生成（PRNG）

部分 PRNG（如 “线性同余生成器” 变种）公式为 $X_{n+1} = (a × X_n^b + c) \mod m$ （ $a 、 b 、 c$ 为参数， $m$ 为模）。 $b$ 为大整数（如 $b=10^5$ ）时，直接算 $X_n^b$ 会溢出，可利用欧拉降幂将 $b$ 降为 $\mod \phi (m)$ （若 $X_n$ 与 $m$ 互质），再算 $X_n^{b \mod \phi (m)} \mod m$ ，确保高效运行且符合随机性要求。

3. 分布式计算中的任务分配

需分配 “大指数计算任务”（如分布式破解密码的高次幂验证）时，可先将 $b$ 拆分为 $\phi (m) + r$ （ $\leq r < \phi (m)$ ），则 $a^b \equiv a^r \mod m$ （若 $a$ 与 $m$ 互质），每个节点仅算 $a^r$ 的部分乘积，再汇总结果，减少单个节点压力。

欧拉降幂公式的本质是 “将‘无限大的指数’转化为‘有限范围的指数’”，所有应用均围绕此核心 —— 存在 “大整数高次幂的模运算” 且需优化效率、避免溢出时，欧拉降幂是关键工具，是连接理论数论与实际工程的重要桥梁。

总结

欧拉降幂公式是解决 “大指数幂取模” 的核心工具，核心逻辑为 “先判互质，再看指数，按需降幂”：
1.判互质：通过 $\gcd (a,c)$ 区分 “互质” 与 “不互质” 场景；
2.看指数：不互质时，判断 $b$ 与 $\varphi (c)$ 的大小，决定是否补充 $\varphi (c)$ ；
3.按需降幂：结合快速幂算法，高效计算降幂后的指数幂取模结果。

欧拉降幂应用贯穿数论与计算机科学多领域，掌握其原理可深化对 “模运算”“欧拉函数” 的理解，为原根、离散对数等复杂数论问题打基础。其本质是 “简化模运算下的高次幂计算”，除 RSA 加密外，还覆盖数论计算、密码学其他领域、算法设计等方向（核心是** $a^{\phi (m)} \equiv 1 \pmod {m}$ ，其中 $a$ 与 $m$ 互质， $\phi$ 是欧拉函数**）。