自动控制原理知识点精要梳理 | Ref 2

注：本文为 “自动控制原理知识点” 相关经典博文 Ref 2。

因 csdn 博客篇幅合并超限，四篇重排连载，不定期修订。
图片清晰度，限于引文原状。
部分图片转为文字。
如有内容异常，请看原文。

---

自动控制原理知识点总结

NONO.97 已于 2022-09-07 08:28:49 修改

自动控制原理

内容包括：

• 控制系统的时域数学模型
• 控制系统的复数域数学模型
• 控制系统的结构图与信号流图
• 梅逊公式
• 闭环系统传递函数
• 线性系统的时域分析法
• 一阶系统的时域分析
• 系统时间响应的性能指标
• 二阶系统的时域分析
• 线性系统的稳定性分析
• 线性系统的根轨迹法
• 根轨迹绘制
• 线性系统的频域分析法
• 典型环节与开环系统的频率特性
• 频率域稳定判据
• 稳定裕度
• 闭环系统的频域性能指标
• 线性系统的状态空间描述
• 线性系统的可控性与可观测性
• 线性定常系统的线性变换
• 线性定常系统的反馈结构与状态观测器
• 李雅普诺夫稳定性分析

提示：本文内容较长，建议按需阅读。

前言

简介：

作为电气专业，自控课程只需学习第一章至第六章以及第九章。虽然内容不多，但学习起来难度较大。与其说自控是一门专业课，不如说它更像是一门数学类课程，而数学一直是本人的薄弱环节。因此，秉持着“哪不懂，啃哪”的精神，即使再困难，也必须先将其总结完成。以下是对自动控制原理所学知识的理解与总结。本人学艺不精，部分知识点可能存在瑕疵，希望各位读者多多指教。

提示：以下是正文内容，供读者参考。

第一章——控制系统导论

一.基本概念

反馈控制原理：

1. 反馈（闭环）控制原理：控制装置对被控对象施加的控制作用，是取自被控量的反馈信号，用来不断修正被控量与输入量之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制的任务。
2. 反馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程。
3. 负反馈：反馈的信号是与输入信号相减而使偏差越来越小。反之，则称为正反馈。

反馈控制系统的组成：测量元件、给定环节、比较环节、放大环节、执行环节、控制环节

自动控制系统基本控制方式：

• 反馈控制方式：输出量通过适当检测，又送回输入端与输入量比较参与控制（反馈）。
• 开环控制方式：控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反（反馈）向联系。
• 前馈控制：根据扰动或设定值的变化按补偿原理而工作的控制系统。其特点是：当扰动作用产生，被控变量还未变化以前，根据扰动作用的大小进行控制，以补偿扰动对被控变量的影响。
• 复合控制方式：有反馈，有前馈。

二.自动控制系统的分类与基本要求

自动控制系统的分类：

• 按控制方式：按给定值操纵的开环控制、按干扰补偿的开环控制、按偏差调节的闭环控制、复合控制（闭环反馈为主，开环补偿为辅）。
• 按给定值变化规律：恒值系统、随动系统、程序控制系统。
• 按系统性能：线性/非线性系统、连续/离散性系统、定常/时变性系统、确定/不确定系统。

自动控制系统的基本要求：

• 稳定性：是保证控制系统正常工作的先决条件。
• 快速性：动态性能，有指标。
• 准确性：稳态（过度结束后的）值应尽量与期望值一致。

常见外作用：

第二章——控制系统数学模型

自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

常用数学模型：微分方程（或差分方程）、传递函数（或结构图）、频率特性、状态空间表达式（或状态模型）。

一.控制系统的时域数学模型

1. 线性元件的微分方程列写步骤：
   1. 确定系统的输入、输出变量。
   2. 从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程。
   3. 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；最后变换成标准形式。
2. 线性系统的基本特性：非线性系统、线性系统、线性定常系统、线性时变系统。
3. 线性定常微分方程的求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
4. 非线性微分方程的线性化：小偏差线性化用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
5. 运动的模态：线性微分方程的解 = 特解 + 齐次方程的通解，通解由特征根决定。

二.控制系统的复数域数学模型

1.传递函数的定义和性质

1. 传递函数 $G(s)$ 的定义：线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
2. 性质：
   1. $G(s)$ 是复变量 $s$ 的有理真分式函数，分子多项式的次数 $m$ 低于或等于分母多项式的次数 $n$，所有系数均为实数。
   2. $G(s)$ 只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关，不反映系统内部任何信息。
   3. $G(s)$ 的拉氏变换是系统的脉冲响应。
   4. $G(s)$ 是在零初始条件下定义的，只反映系统的零状态。

2.传递函数的零点和极点

传递函数分子多项式的根 $z_i$ 称为传递函数的零点；分母多项式的根 $p_j$ 称为传递函数的极点。$K^{\ast }$ 称为传递系数或根轨迹增益。其中，极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。

三.控制系统的结构图与信号流图

1.结构图

结构图的组成和绘制：
结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，包括：

• 信号线：表示信号传递通路与方向。
• 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。
• 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+” 表示相加，“-” 表示相减。
• 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。

结构图的化简：

2.信号流图

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。由源（输入）节点、阱结点（输出）结点、混合结点、前向通路、回路、不接触回路组成。

基本性质：

1. 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示。
2. 信号在支路上沿箭头单向传递。
3. 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号。
4. 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。

基本概念：

• 混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路又有信号输入的支路。
• 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用 $P_k$ 表示。
• 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用 $L$ 表示。
• 不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。

由系统微分方程绘制信号流图：

1. 将微分方程通过拉氏变换，得到 $s$ 的代数方程。
2. 每个变量指定一个节点。
3. 将方程按照变量的因果关系排列。
4. 连接各节点，并标明支路增益。

由系统结构图绘制信号流图：

1. 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。
2. 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。

梅逊公式：

四.闭环系统的传递函数

第三章——线性系统的时域分析法

基本概念：

• 典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦。
• 典型时间响应：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应。系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。
• 过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
• 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间 $t$ 趋于无穷时，系统输出量的表现形式。

一.系统的时域性能指标

1. 典型输入信号：img

名称	时域表达式	复域表达式
单位阶跃函数	$1(t),t\ge 0$	$\frac{1}{s}$
单位斜坡函数	$t,t\ge 0$	$\frac{1}{s^2}$
单位加速度函数	$\frac{1}{2}{t}^2,t\ge 0$	$\frac{1}{s^3}$
单位脉冲函数	$\delta (t),t=0$	$1$
正弦函数	$A\sin (\omega t)$	$\frac{A\omega }{s^2+{\omega }^2}$

2. 阶跃响应性能指标（动态）：
   

   

二.一阶系统的时域分析

一阶系统的数学模型：

1.一阶系统的响应

1. 单位阶跃响应——输入 $r(t)=1(t)$，输出 $h(t)=1-e^{-t/T}$，$t>0$
   • 特点：
     • 可用时间常数去度量系统的输出量的数值。
     • 初始斜率为 $1/T$
     • 无超调，稳态误差 $e_{ss}=0$
   • 性能指标：
     • 延迟时间：$t_d=0.69T$
     • 上升时间：$t_r=2.2T$
     • 调节时间：$t_s=3T$($\Delta =0.05$)或 $t_s=4T$($\Delta =0.02$)
2. 单位脉冲响应——输入 $r(t)=\delta (t)$，输出 $g(t)=e^{-t/T}/T$，$t>0$
   • 特点：
     • 可用时间常数去度量系统的输出量的数值。
     • 初始斜率为 $-1/T^2$
     • 无超调，稳态误差 $e_{ss}=0$
3. 单位斜坡响应——输入 $r(t)=t$，输出 $c(t)=t-T+T{e}^{-t/T}$
   • 特点：
     • 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数 $T$，即存在跟踪误差，其数值与时间 $T$ 相等。
     • 稳态误差 $e_{ss}=T$，初始斜率 = 0，稳态输出斜率 = 1
4. 单位加速度响应——输入 $r(t)=0.5t^2$，输出 $c(t)=0.5t^2-Tt+T^2(1-e^{-t/T})$，$t$ 一阶系统不能跟踪加速度函数。

2.小结

一阶系统的典型响应与时间常数 $T$ 密切相关。只要时间常数 $T$ 小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。一阶系统不能跟踪加速度函数。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。

三.二阶系统的时域分析（以单位阶跃响应为例）

二阶系统的数学模型：

以二阶系统的单位阶跃响应为例，展开叙述。

1.欠阻尼二阶系统（即 $0<\zeta <1$ 时）

1. 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态和瞬态两部分组成：
   • 稳态部分等于 1，表明不存在稳态误差。
   • 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 $\zeta {\omega }_n$（即 $\sigma$，特征根实部）决定。
   • 振荡角频率为阻尼振荡角频率 $w_d$（特征根虚部），其值由阻尼比 $\zeta$ 和自然振荡角频率 ${\omega }_n$ 决定。
2. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析：

   • 动态性能指标计算：
     

   • 上升时间 $t_r$：阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。

     $t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

   • 峰值时间 $t_p$：单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

     $t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

   • 超调量 $\sigma \%$：单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

     $\sigma \%=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$

   • 调节时间 $t_s$：

     • $t_s=3.5/\sigma$（$\Delta =5\%$）
     • $t_s=4.4/\sigma$（$\Delta =2\%$）
       调节时间与闭环极点的实部数值成反比：闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。

   • 延迟时间 $t_d$：

     • $t_d=(1+0.7\zeta )/{\omega }_n$

2.临界阻尼二阶系统（即 $\zeta =1$ 时）

系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。

3.无阻尼二阶系统（即 $\zeta =0$ 时）

无阻尼二阶系统（即 $\zeta =0$ 时）：

• 系统有两个纯虚根：$s_{1,2}=\pm j{\omega }_n$。其中 ${\omega }_n$ 为无阻尼振荡频率。
• 阶跃响应：$c(t)=1-\cos ({\omega }_{n}t)$，$t>0$
• 系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。

4.过阻尼二阶系统（即 $\zeta >1$ 时）

系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。

动态过程分析：

• 延迟时间 $t_d$：

  $t_d=(1+0.6\zeta +0.2{\zeta }^2)/{\omega }_n$

• 上升时间 $t_r$：

  $t_r=(1+1.5\zeta +{\zeta }^2)/{\omega }_n$

• 调节时间 $t_s$：

  $\zeta =\frac{1+(T_1/T_2)}{2\sqrt{T_1/T_2}}$

四.线性系统的稳定

线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。

判别系统稳定性的基本方法：劳斯-赫尔维茨判据、根轨迹法、奈奎斯特判据、李雅普诺夫第二方法。

本章学习劳斯-赫尔维茨判据，简称劳斯判据。

1.劳斯判据

系统特征方程

系统特征方程

$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0,a_0>0$

稳定判据则只要根据 特征方程的系数 便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。

系统闭环稳定的充分必要条件：

1. 特征方程各项系数均大于零，即 $a_i>0$
2. 赫尔维茨行列式全部为正

$n\le 4$ 时，线性系统稳定的充要条件：

• $n=2$：各项系数为正
• $n=3$：各项系数为正，且 $a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$
• $n=4$：各项系数为正，且 ${\Delta }_2=a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$，以及 ${\Delta }_2>a_1^2{a}_4/a_3$

劳斯稳定判据：

当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。

注意两种特殊情况的处理：

1. 某行的第一列项为 0，而其余各项不为 0 或不全为 0。用因子 $(s+a)$ 乘原特征方程（其中 $a$ 为任意正数），或用很小的正数 $\epsilon$ 代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。
2. 当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。

2.系统的特征方程

所谓的系统的特征方程，指的是使闭环传递函数分母为 0 的方程。若开环函数 $GH=A/B$、$C(s)=G/(1+GH)$，则其特征方程为 $1+GH=0$，即 $A+B=0$，即 分母 + 分子 = 0。

注：如果给闭环传递函数 $G(s)$，令分母为 0；如果给开环传递函数 $G(s)$，先求其闭环传递函数，再令分母为 0。

五.线性系统的稳态误差计算

稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。

稳态误差是指，稳态响应的希望值与实际值之差。误差的定义有两种：输出端定义和输入端定义（单位反馈时两种定义相同）。

扰动作用下的稳态误差（输出端定义）：

六.系统的类型

$K$ 为开环增益。$v$ 为开环系统在 $s$ 平面坐标原点的极点重数，$v=0,1,2$ 时，系统分别称为 0 型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。

系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次 $v$、开环增益 $K$ 以及输入信号的形式。

减小或消除误差的措施：

• 提高开环积分环节的阶次 $v$、增加开环增益 $K$。
• 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。

第四章——线性系统的根轨迹法

一.基本概念

1. 根轨迹是指开环系统某个参数由 0 变化到 $\infty$，闭环特征根在 $s$ 平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。
2. 开环零点指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。
3. 开环极点指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。
4. 闭环零点指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
5. 闭环极点指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益 $K^{\ast }$ 均有关。（$K^{\ast }\to 0$，开闭环极点相同。）
6. 根轨迹增益——$K^{\ast }$ 为开环系统根轨迹增益。
7. 根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

根轨迹方程

1. 由闭环特征方程得根轨迹方程：$1+G(s)H(s)=0\to G(s)H(s)=-1$
2. 将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程。
   

二.根轨迹绘制的基本法则

法则 1——根轨迹的分支数：根轨迹在 $s$ 平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数 $n$，也就是分支数与闭环极点的数目相同。

法则 2——根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于 $s$ 平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。

法则 3——根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数 $m$ 小于开环极点数 $n$，则有 $(n-m)$ 条根轨迹终止于无穷远处（的零点）。

法则 4——实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。

法则 5——根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标

$${\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_j}{n-m}$$

而渐近线与实轴正方向的夹角
$\psi =(2k+1)\pi /(n-m)$
$k$ 依次取 0, +1, -1, +2, -2, $\dots$，直到获得 $n-m$ 个倾角为止。其中，$n$ 为开环极点数，$m$ 为开环零点数。（${\psi }_a$ 可由相角方程中 $s\to \infty$ 得到）

法则 6——根轨迹的起始角（从极点 $p_k$）和终止角（到零点 $z_k$）：

法则 7——分离点（会合点）坐标 $d$：几条根轨迹在 $s$ 平面上相遇后又分开的点，称为分离点。分离点的坐标 $d$ 可由下面方程得到：

法则 8——根轨迹与虚轴的交点：

法则 9——根之和：若 $n-m>2$，则

$$\sum _{i=1}^n{s}_i=\sum _{j=1}^n{p}_j=-a_1$$

注：若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。带开环零点的二阶系统，若能在复平面上画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。

扩展：参数根轨迹
变化的参数不是开环根轨迹增益 $K^{\ast }$ 的根轨迹叫参数根轨迹。将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。

第五章——线性系统的频率分析法

一.频率特性

频率特性分为两种，分别是 $A(\omega )$ 幅频特性 和 $\varphi (\omega )$ 相频特性。

对于一个一阶线性定常系统对正弦输入信号 $A\sin (\omega t)$ 的稳态输出 $Y\sin (\omega t+\psi )$，仍是一个正弦信号，其 特点：

1. 频率与输入信号相同。
2. 振幅 $Y$ 为输入振幅 $A$ 的 $|G(j\omega )|$ 倍。
3. 相移为 $\psi =\angle G(j\omega )$。

振幅 $Y$ 和相移 $\psi$ 都是输入信号频率 $\omega$ 的函数，对于确定的 $\omega$ 值来说，振幅 $Y$ 和相移 $\psi$ 都将是常量。

$$|G(j\omega )|=\frac{Y}{A}\text{正弦输出对正弦输入的幅值比—幅频特性}$$
$$\angle G(j\omega )=\psi \text{正弦输出对正弦输入的相移—相频特性}$$

理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是，系统不稳定时，瞬态分量不可能消失，它和稳态分量始终同时存在，所以，不稳定系统的频率特性是观察不到的。

常用于描述频率特性的几种曲线

1. 幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率 $\omega$ 从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。
2. 幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数频率特性曲线的横坐标是频率 $\omega$，并按对数分度，单位是 $[rad/s]$。对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性分度，单位是 $[dB]$，此坐标系称为半对数坐标系。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性分度，单位是 ${(}^{\circ })$ 或（弧度），频率特性 $G(j\omega )$ 的对数幅频特性定义如下
   $$L(\omega )=20\lg |G(j\omega )|$$
   对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。
3. 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。

二.典型环节和开环频率特性

1.幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制

1. 比例环节 $K$：
   • 比例环节的频率特性是 $G(j\omega )=K$，幅相曲线如下：
     
   • 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：
     $$L(\omega )=20\lg |G(j\omega )|=20\lg K$$
     $$\varphi (\omega )=0$$
2. 积分环节：
   
   • 积分环节的对数幅频特性是 $L(\omega )=-20\lg \omega$，而相频特性是 $\varphi (\omega )=-90^{\circ }$。直线和零分贝线交于 $\omega =1$ 处。
3. 微分环节：
   
   • $G(s)=s$ 和 $G(j\omega )=j\omega =\omega \angle \pi /2$
   • $L(\omega )=20\lg \omega$
   • 相频特性 $\varphi (\omega )=90^{\circ }$
4. 惯性环节：
   
5. 一阶微分环节 $G(s)=Ts+1$：
   
6. 振荡环节：
   
   • 易知，当 $\omega ={\omega }_n$ 时，相角为 $-90^{\circ }$，与 $\zeta$ 无关。
   • 当存在：
     
   • 实际上，幅频特性在谐振频率处有峰值，峰值大小取决于阻尼比，这一特点也必然反映在对数幅频曲线上。
7. 不稳定环节：
   • 系统如果不稳定，其特征方程必定有正实部的根，分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环节。
   • 不稳定惯性环节：
     
     • 很明显，不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同，而相频特性曲线却对称于 $-90^{\circ }$ 水平线。
       
   • 不稳定振荡环节：
     
     • 不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同，而相频特性曲线对称于 $-180^{\circ }$ 线。
8. 延迟环节：
   • 输出量毫不失真地复现输入量的变化，但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节。$c(t)=r(t-\tau )l(t-\tau )$
   • 幅相曲线是个圆，圆心在原点，半径为 1，延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB。
   • 对数频率特性曲线如下：
     
   • 由图可见，$\tau$ 越大，相角迟后越大。

2.开环幅相曲线的绘制

1. 起点：分子分母保留最低次方。
2. 终点：分子分母保留最高次方。
3. 若 $Re[GH]=0$ 有解，则与虚轴相交。
4. 若 $Im[GH]=0$ 有解，则与实轴相交。

3.绘制系统开环 Bode 图

1. 化 $G(s)$ 为尾 1 标准型。
2. 顺序列出转折频率 $f$。
3. 确定基准线：
   • 基准点：$(\omega =1,L(1)=20\lg K)$
   • 斜率：$-20vdB/dec$
4. 叠加作图：
   • 一阶：
     • 惯性环节：$-20dB/dec$
     • 复合微分：$+20dB/dec$
   • 二阶：
     • 振荡环节：$-40dB/dec$
     • 复合微分：$+40dB/dec$
5. 修正：振荡环节中 $\zeta \in (0.38,0.8)$
6. 检查：
   • 最右侧 $K=-20(n-m)dB$
   • 转折点数 =（惯性 + 一阶微分 + 二阶微分 + 振荡）
   • $\psi (\omega )=-90^{\circ }(n-m)$

4.最小相角系统和非最小相角系统

最小相角（相位）系统的零点、极点均在 $s$ 平面的左半平面，在 $s$ 平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。

最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。

5.奈奎斯特判据

定性判据：如果在 $S$ 平面上，$S$ 沿奈奎斯特回线顺时针移动一周时，在 $F(S)$ 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针旋转 $R=P$ 周，则系统是稳定的。

若虚轴上含有开环极点的情况：映射定理要求奈奎斯特回线不能经过 $F(S)$ 的奇点。用半径 $\epsilon \to 0$ 的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半 $s$ 平面。

根据伯德图判定系统的稳定性：

三.系统的相对稳定和稳定裕度

稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。主要表征 $G(j\omega )H(j\omega )$ 轨迹靠近 $(-1,j0)$ 点的程度。

几个概念：

1. 增益交界频率 ${\omega }_c$：dB 图中曲线与 $x$ 轴的交点或 $GH$ 平面中曲线与单位圆交点。（$Im(GH)=0$）
2. 相位交界频率 ${\omega }_g$：$GH$ 平面中曲线与负实轴交点或相频图中与 $-\pi$ 的交点。
3. 相位裕量 $\gamma$：在增益交界频率 ${\omega }_c$ 上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量（$\gamma =\pi +\psi ({\omega }_c)$）。
4. 幅值裕量（增益裕度）$K_g$：在相位交界频率 ${\omega }_g$ 上，频率特性 $|G(j\omega )H(j\omega )|$ 的倒数。

第六章——线性系统的校正方法

暂不详述。

第七章——线性系统的状态空间

系统的外部描述——传递函数
系统的内部描述——状态空间描述（状态方程、输出方程）
系统具有松弛性、因果性、线性、定常性（时不变性）

一.线性系统的状态空间描述

几个基本概念：

1. 状态：表征系统运动的信息和行为。
2. 状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。
3. 状态向量：$x(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)]$
4. 状态空间：以 $n$ 个状态变量作为坐标轴所组成的 $n$ 维空间。
5. 状态方程：例如：$x(t)=f[x(t),u(t),t]$
6. 输出方程：例如：$y(t)=g[x(t),u(t),t]$
7. 状态空间表达式（动态方程）： { A , B , C , D } \{A, B, C, D\} {A,B,C,D}
   
8. 线性系统结构图：
   

绘制步骤（先定骨架，再整构造）：

1. 在适当位置画出积分器，其个数 = 状态变量个数，每个积分器的输出等于对应的状态变量。
2. 由状态方程和输出方程画出加法器和比例器。
3. 用箭头连接各部分。

状态变量的选取有三种途径（原则：使状态方程不含 $u$ 的导数）：

1. 选取系统的储能元件的输出量作为状态变量——从机理出发。
2. 选取系统的输出量及其各阶导数。
3. 选择使系统状态方程为某标准形式的变量。

结论：系统的状态空间不具有唯一性。选取不同的状态变量就会有不同的状态空间表达式，但都描述了同一系统。描述同一系统的不同状态空间表达式存在线性变换关系。

1.传递函数化为状态空间表达式（实现）

1. 串联分解：
   • 对于任意一个传递函数可化简为 $G(s)=b_n+\frac{N(s)}{D(s)}$，令 $g(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$，$b_n$ 为前馈系数，设 $z(s)$ 为中间变量。
     
   • 因化简形式不同，可化简为以下几种形式：

     • 可控标准型：img
       $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right],C=[{\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-1}]$$

       • 这样的 $A$ 阵又称友矩阵，若状态方程中的 $A$，$b$ 具有这种形式，则称为可控标准型。系统 { A , b , C , D } \{A, b, C, D\} {A,b,C,D} 称为 $G(s)$ 的可控标准形实现。

     • 可观测标准型：

       • 当 $b_n$ 时，选取合适变量，则系统的 $A$，$b$，$c$ 矩阵为
         
       • 可控标准型与可观测标准型的对偶关系：$A_c=A_o^T$，$b_c=c_o^T$，$c_c=b_o^T$
2. 并联分解（对角标准形）：
   • 把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式 $g(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ 只含单实极点，设 $D(s)$ 可分解为 $D(s)=(s-{\lambda }_1)(s-{\lambda }_2)\dots (s-{\lambda }_n)$，则 $g(s)$ 可分解为
     
   • 从而将其变为：
     
   • 特点：$A$ —— 传函极点、$B$ —— 全 1、$C$ —— 对应极点的留数
3. $g(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ 含重实极点：
   • 
   • 

2.线性定常连续系统状态方程的解

齐次状态方程的解 $x^{\prime }=Ax$：
1）. 幂级数法：

$$x(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{A}^k{t}^{k}x(0)=e^{At}x(0)$$

其中：

$$e^{At}=I+At+\frac{1}{2}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}{A}^k$$

$e^{At}$ —— 矩阵指数函数，简称矩阵指数。状态转移矩阵。

2）. 拉普拉斯变换法：

$$\begin{array}{rl}X(s)& =(sI-A{)}^{-1}x(0),x(t)={\mathcal{L}}^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]x(0)\\ \therefore e^{At}& ={\mathcal{L}}^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]\end{array}$$

状态转移矩阵的特性：

1. $\varphi (0)=I$

2. ${\varphi }^{\prime }(t)=A\varphi (t)=\varphi (t)A$，且 ${\varphi }^{\prime }(0)=A$

3. $\varphi (t_1\pm t_2)=\varphi (t_1)\varphi (\pm t_2)=\varphi (\pm t_2)\varphi (t_1)$

4. ${\varphi }^{-1}(t)=\varphi (-t)$，${\varphi }^{-1}(-t)=\varphi (t)$

5. $x(t)=\varphi (t-t_0)x(t_0)=\varphi (t){\varphi }^{\prime }(t_0)x(t_0)$

6. $\varphi (t_2-t_0)=\varphi (t_2-t_1)\varphi (t_1-t_0)$

7. $[\varphi (t){]}^k=\varphi (kt)$，$k$ 为函数

8. 若 $\varphi (t)$ 为 $x^{\prime }(t)=Ax(t)$ 的状态转移矩阵，则引入非奇异矩阵 $x=P\bar{x}$ 后的状态转移矩阵为 $\bar{\varphi }(t)=P^{-1}{e}^{At}P$ 。

9. $A=\text{diag}[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n]$ 即 $A$ 为对角阵，且具有互异元素

$$\varphi (t)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & & \\ & e^{{\lambda }_{2}t}& & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$$

$$A={\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right]}_{m\times m}\Rightarrow \varphi (t)=\left[\begin{array}{ccccc}{e}^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \frac{t^2}{2}{e}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}{e}^{\lambda t}\\ 0& e^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}{e}^{\lambda t}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & t{e}^{\lambda t}\\ 0& 0& 0& \cdots & e^{\lambda t}\end{array}\right]$$

非齐次状态方程 $x^{\prime }(t)=Ax(t)+Bu(t)$：

1）. 积分法：

$$x(t)=\varphi (t-t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau$$

令 $t_0=0$，则前半部分为 0 输入，后半部分为 0 状态。总方程 $x(t)=0$ 输入 + 0 状态。

2）. 拉氏变换：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau \\ & =\varphi (t)x(0)+{\int }_0^t\varphi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau \end{array}$$

其中前半部分为 0 输入，后半部分为 0 状态。总方程 $x(t)=0$ 输入 + 0 状态。

3. 传递函数矩阵

1. 基本定义：

   • 定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系。

     系统传递矩阵表达式为：

   $$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+DG(s):q\times p$$

   $${\left[\begin{array}{c}{y}_1(s)\\ y_2(s)\\ ⋮\\ y_q(s)\end{array}\right]}_{q\times 1}={\left[\begin{array}{ccc}{g}_{11}(s)& \cdots & g_{1p}(s)\\ g_{21}(s)& \cdots & g_{2p}(s)\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ g_{q1}(s)& \cdots & g_{qp}(s)\end{array}\right]}_{q\times p}\left[\begin{array}{c}{u}_1(s)\\ u_2(s)\\ ⋮\\ u_p(s)\end{array}\right]$$

   可知，任一变量变化会导致整体变化。

2. 开环与闭环传递函数：
   
   偏差传递矩阵：$\Phi (s)=[I+H(s)G(s){]}^{-1}$

3. 解耦系统的传递矩阵：

   • 条件：当 $g(s)$ 为对角阵时实现解耦（对角化传递矩阵必须非奇异的、$g_{ii}(s)$ 不为 0）
   • 方法 1：用串联补偿器 $G_c(s)$ 实现解耦
     • 原理：将比例放大
       
     • $G_c(s)=G_p^{-1}(s)\Phi (s)[I-H(s)\Phi (s){]}^{-1}$
   • 方法 2：用前馈补偿器 $G_d(s)$ 实现解耦
     

二. 线性系统的可控性与可观测性

1. 基本概念

能控性：对状态变量的支配，通过能否找到使任意初态来确定终态。
能观性：系统输出能否反映状态变量，通过能否由输出量的测量值来确定各状态。

2. 能控性 —— 状态方程有 $u(t)\to x(t)$

能控性：如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到终点，则系统能控（状态能控）。

1. 基本定义：若存在一分段连续控制向量 $u(t)$，能在 $[t_0,t_f]$ 内将系统从任意状态 $x(t_0)$ 转移到任意终态 $x(t_f)$，则该系统完全能控。
   
2. 凯莱 - 哈密顿定理：
   
3. 定理（$x^{\prime }=Ax+Bu$）：
   1. 能控的充要条件是能控性矩阵：
      $$S_c=[BAB\dots A^{n-1}B]$$
      的秩是 $n$，$\text{rank}{S}_c=\text{rank}[BAB\dots A^{n-1}B]=n$
      • 注：对于行数 < 列数的情况下求秩时：
        $$\text{rank}{S}_c=\text{rank}[S_c{S}_c^T{]}_{n\times n}$$
   2. 若 $A$ 为对角型，则状态完全能控的充要条件为：$B$ 中没有任意一行的元素全为零。
   3. 若 $A$ 为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的 $B$ 阵中所有的行元素不全为零。
   4. 当特征值为 ${\lambda }_1({\sigma }_1$ 重根)，${\lambda }_2({\sigma }_2$ 重根)，$\dots$，${\lambda }_l({\sigma }_l$ 重根) 且 ${\sigma }_1+{\sigma }_2+\cdots +{\sigma }_l=n$，则可以经过非奇异变换，将 $A$ 化为约当型。且约当矩阵的最后一行相互线性无关。
   5. 线性变换后系统的能控性不变。
   6. 如果系统能控，则 $S_c=[BAB\dots A^{n-1}B]$ 则存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型。
      
   7. 线性定常系统的输出能控性——系统输出完全能控的充要条件：
      $$\text{rank}[CBCAB\dots C{A}^{n-1}B|D]=q$$

3. 能观性 —— 输出方程有 $y(t)\to x(t)$

能观性：如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态能观测的。

1）. 基本定义：对任意给定 $u(t)$，在 $[t_0,t_f]$ 内输出 $y(t)$ 可唯一确定系统的初态 $x(t_0)$，则系统是完全能观的。

2）. 定理（$x^{\prime }=Ax+Bu$，$y=Cx$）：

1. 系统状态完全能观的充要条件：
   $$\text{rank}{S}_0=\text{rank}{S}_0^T=n$$
   其中，
   $$S_0=[C^T{A}^T{C}^T\dots (A^T{)}^{n-1}{C}^T]$$
   $$S_0^T=[CCA\dots C(A{)}^{n-1}{]}^T$$
2. 若 $A$ 为对角型，则系统完全能观的充要条件是：输出阵 $C$ 中没有任何一列的元素全为零。
3. 若 $A$ 为约当型，则系统完全能观的充要条件是：$C$ 阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零。
4. 约当型判据：
   
   • 设 $A$ 有 ${\lambda }_1({\sigma }_1$ 重根)，${\lambda }_2({\sigma }_2$ 重根)，$\dots$，${\lambda }_l({\sigma }_l$ 重根)，且 ${\sigma }_1+{\sigma }_2+\cdots +{\sigma }_l=n$，要使系统完全能观，则由 $C$ 的第一列组成的矩阵均列线性无关。
5. 如果系统能观，但不是能观标准型，则存在非奇异变换，将原系统化为能观标准型。
   
6. 线性变换后系统能观性不变。

三.状态空间的线性变换

1. 状态空间表达式的线性变换

1）. 化 $A$ 为对角型：

• 当系统矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 互异，则必存在非奇异变换矩阵 $P$，通过以下线性变换使 $A$ 为对角型。
  
• 若 $A$ 阵为友矩阵，且有 $n$ 个互异实数特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则下列的范德蒙特（Vandermode）矩阵 $P$，可使 $A$ 对角线：
  
• 设 $A$ 阵具有 $m$ 重实数特征值 ${\lambda }_1$，其余为 $(n-m)$ 个互异实数特征值，但在求解 $Api={\lambda }_i{p}_i$（$i=1,2,\dots ,m$）时有 $m$ 个独立特征向量 $p_1,p_2,\dots ,p_m$，则可使 $A$ 阵化为对角阵
  

2）. 化 $A$ 为约当型：

• 设 $A$ 具有 $m$ 重实特征值 ${\lambda }_1$，其余为 $(n-m)$ 个互异实特征值，但在求解 $Api={\lambda }_i{p}_i$ 时只有一个独立实特征向量 $p_1$，则只能使 $A$ 化为约当阵 $J$
  
• 设 $A$ 为友矩阵，具有 $m$ 重实特征根 ${\lambda }_1$，且只有一个独立实特征向量 $p_1$，则使 $A$ 约当化的 $P$ 为
  

2. 对偶原理

对于线性定常系统 $S_1$ 和 $S_2$，其状态空间表达式分别为：

若满足：$A^{\ast }=A^T$，$B^{\ast }=C^T$，$C^{\ast }=B^T$，则称 $S_1$，$S_2$ 互为对偶，存在以下性质：

结论：对偶系统传递函数矩阵互为转置。

3. 非奇异线性变换的不变特性

存在以下特性：

• 系统特征值不变
• 系统传递矩阵不变
• 系统可控性不变
• 系统可观测性不变

线性定常系统结构分解（不详细展开）

四. 线性定常系统的反馈结构与状态观测器

1.反馈结构

1）. 状态反馈：

• 设原系统为 $x^{\prime }=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，引入状态反馈控制 $u=v-Kx$，其中 $K$ 为状态反馈阵。（图中圈起来的是原系统）
  

2）. 输出反馈：

• 输出反馈至参考微分处 ($x^{\prime }$)：
  
  • 其中 $H$ 为输出反馈阵。
• 输出反馈至参考输入：
  

3）. 二者对比：

• 输出反馈的自由度比状态反馈小，输出反馈等同于部分状态反馈（只有当 $C=I$，$F=K$ 时，才能等同状态反馈）。因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。

4）. 反馈结构对系统性能的影响：

• 状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性。
• 输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性。
• 输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性。

2. 系统的极点配置

1）. 状态反馈的极点配置：

• 定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控。
  

• 步骤：

  1. 验证原系统的能控性。
  2. 闭环系统特征方程：
     $$a(\lambda )=|\lambda I-(A-bK)|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a$$
  3. 希望的闭环系统的特征方程：
     $$a^{\ast }(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1^{\ast })(\lambda -{\lambda }_2^{\ast })\dots (\lambda -{\lambda }_n^{\ast })={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots$$
  4. 计算 $K$

• 状态反馈对系统 0 极点的影响：零点不变，极点可变。

2）. 输出反馈实现极点配置：

1. 输出反馈至参考微分处（$x^{\prime }=Ax+Bu-hy$，$y=Cx$）：
   • 定理：由输出至 $x^{\prime }$ 的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观。
     
2. 输出反馈至参考输入：
   • $x^{\prime }=(A-BfC+Bv)$，$y=Cx$
   • 引入输出反馈：$u=v-fy$

3. 全维状态观测器

其中 $A-HC$ 为观测器的系统阵，$H$ 为观测器的输出反馈阵。

• $H$ 的选择：使 $A-HC$ 的特征根具有负实部，
  $$a(\lambda )=|\lambda I-(A-bK)|=a^{\ast }(\lambda )$$
• 要求：观测器的响应速度大于状态反馈系统的响应速度。
• 定理：若系统 $(A,B,C)$ 完全能观，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：
  

4. 分离特性（结论）

若系统 $(A,B,C)$ 能控能观，用 $x$ 形成状态反馈后，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即 $K$ 和 $H$ 的设计可以分别独立进行。

1. 引入观测器提高了系统的阶次（由 $n\to 2n$）
2. 整个闭环系统特征值由状态反馈下 $(A-BK)$ 特征值和状态观测器下特征值 $(A-HC)$ 组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
3. 状态观测器的引入，不影响传递函数阵。且趋于 $x(t)$ 的速度，取决于观测器的特征值。

五. 李雅普诺夫稳定性分析

稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。

1. 李雅普诺夫意义下的稳定

1. 如果对每个实数 $\epsilon >0$ 都对应存在另一个实数 $\delta (\epsilon ,t_0)$ 满足 $||x_0-x_e||\le \delta (\epsilon ,t_0)$：
   • 是李氏意义下的稳定；$\delta$ 与 $t_0$ 无关，一致渐进稳定。
   • 大范围内渐进稳定性：若平衡状态 $x_e$ 为渐近稳定，且初始条件扩大至整个状态空间，则平衡状态 $x_e$ 叫大范围渐近稳定。
2. 若为线性系统（严格）：
   • 如果它是渐进稳定的，必是有大范围渐进稳定性（线性系统稳定性与初始条件的大小无关）。线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。
3. 若为非线性系统：
   • 只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛 $x_e$ 或其附近。
   • 非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局域发散的轨迹。至于是否趋于无穷远外是否存在其他平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
   • 当 $\delta$ 与 $t_0$ 无关，大范围一致渐进稳定。

2. 李雅普诺夫第一法（间接法）

利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。

1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
   • $x^{\prime }=Ax$，$x(0)=x_0$，$t\ge 0$
   • 李氏稳定的充要条件：$\text{Re}({\lambda }_i)<0$，即系统矩阵 $A$ 的全部特征值位于复平面左半部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
   • 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
     
   • ①若 $\text{Re}({\lambda }_i)<0$，则非线性系统在 $x_e$ 处是渐进稳定的，与 $g(x)$ 无关。
   • ②若 $\text{Re}({\lambda }_i)<0$，$\text{Re}({\lambda }_j)>0$，$i\ne j$，则不稳定。
   • ③若 $\text{Re}({\lambda }_i)=0$，稳定性与 $g(x)$ 有关，若 $g(x)=0$，则是李雅普诺夫意义下的稳定性。

3. 李雅普诺夫第二法（直接法）

1）. 几个定义：

1. 正定性：设有标量函数 $V(x)$，如果对所有在 $\Omega$ 域中的非零状态，总有 $V(x)>0$，且在 $x=0$ 处，有 $V(0)=0$，则称标量函数 $V(X)$ 在 $\Omega$ 域内均为正定。
2. 负定性：如果 $-V(x)$ 是正定的，则 $V(x)$ 就叫做负定。
3. 正半定性：如果标量函数 $V(x)$ 除了在原点及某些状态处等于零外，在 $\Omega$ 域的所有其他状态，都有 $V(x)>0$，则称 $V(x)$ 在 $\Omega$ 域内是正半定的。
4. 负半定性：如果 $-V(x)$ 是正半定的，则 $V(x)$ 是负半定。
5. 不定性：如果不管 $\Omega$ 域多么小，在 $\Omega$ 域内，$V(x)$ 能正能负，则 $V(x)$ 是不定的。

2）. 判定二次型正定性的赛尔维斯特（Sylvester）准则：

1. 二次型 $V(x)$ 为正定的充要条件是：矩阵 $P$ 的所有主子行列式为正，$P$ 又称为正定矩阵。即：
   
2. 若 $P$ 是奇异矩阵，并且它的所有主子行列式为非负的，那么 $V(x)=x^{T}Px$ 是正半定的。
3. 当 $P$ 的各顺序主子行列式负、正相间时，则 $V(x)$ 负定，称 $P$ 为负定矩阵。
4. 若主子行列式含有等于零的情况，则 $V(x)$ 为正半定或负半定。不属于以上情况的 $V(x)$ 不定。

3）. 稳定性定理：

• 设系统状态方程：$x^{\prime }=f(x,t)$ 其平衡状态满足 $f(0,t)=0$，假定状态空间原点作为平衡状态（$x_e=0$），并设在原点邻域存在 $V(x,t)$ 对 $x$ 的连续的一阶偏导数。

1. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 负定，则原点是渐进稳定的。说明：$V^{\prime }(x,t)$ 负定，能量随时间连续单调衰减。
2. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 负半定，$V^{\prime }[x(t;x_0,t_0),t]$ 在非零状态不恒为零，则原点是渐进稳定的。说明：$V^{\prime }(x,t)\equiv 0$，$x(t;x_0,t_0)\to 0$，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。
3. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 负半定，$V^{\prime }[x(t;x_0,t_0),t]$ 在非零状态存在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。说明：$x\ne 0$，$V^{\prime }(x,t)\equiv 0$，系统维持等能量水平运动，使 $x(t;x_0,t_0)$ 维持在非零状态而不运行至原点。
4. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 正定，则原点是不稳定的。说明：$V(x,t)$ 正定，能量函数随时间增大，$x(t;x_0,t_0)$ 在 $x_e$ 处发散。
5. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 正半定，$V^{\prime }[x(t;x_0,t_0),t]$ 在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。
6. 若 $V(x,t)$ 正定，$V^{\prime }(x,t)$ 正半定，若 $x\ne 0$，$V^{\prime }(x,t)\equiv 0$，则原点是李雅普诺夫意义下稳定（同③）。

小提示：

• $V(x,t)$ 选取不唯一，但没有通用办法，$V(x,t)$ 选取不当，会导致 $V^{\prime }(x,t)$ 不定的结果。且以上仅仅是充分条件。

4）. 李氏第二法的步骤：

1. 构造一个 $V(x,t)$ 二次型。
2. 求 $V^{\prime }(x,t)$，并代入状态方程。
3. 判断 $V^{\prime }(x,t)$ 的定号性。
4. 判断非零情况下，$V^{\prime }[x(t;x_0,t_0),t]$ 是否为零。

4. 线性定常系统渐进稳定性判别法

设 $x^{\prime }=Ax$；$x_e=0$，$V(x)=x^{T}Px\to V(x)=x^T(A^{T}P+PA)x$，令李雅普诺夫矩阵代数方程 $A^{T}P+PA=-Q$，可得 $V^{\prime }(x)=x^{T}Qx$，由渐进稳定性①，只要 $Q$ 正定（即 $V^{\prime }(x,t)$ 负定），则系统是大范围一致渐进稳定。

1. 定理：系统 $x^{\prime }=Ax$ 大范围渐进稳定的充要条件为：给定一正定实对称矩阵 $Q$，存在唯一的正定实对称矩阵 $P$ 使 $A^{T}P+PA=-Q$ 成立，且 $x^{T}Px=V(x)$ 为系统的一个李氏函数。
2. 方法 1：给定 $P\to Q\to V(x)$ 选取不定 $\to Q$ 不定。给定正定 $Q\to P\to x^{T}Px=V(x)$，$Q$ 单位阵 $\to p$ 的定号性。
3. 方法 2：$Q$ 取正半定（②）即允许矩阵主对角线上部分元素为零 $\to V(x)$ 负半定 $\to$ 解得的 $P$ 仍为正定。
4. 小结：线性系统，求李氏函数 $V(x)$ 的步骤如下：
   1. 选取矩阵 $Q$，正定，正半定，一般 $Q=I$
   2. 连续定常由 $A^{T}P+PA=-Q$ 或离散系统由 ${\Phi }^{T}P\Phi -P=-Q$ 求出 $P$
   3. $V(x)=x^{T}Px$，$V(x(k))=x(k{)}^{T}Px(k)$

总结

历自控的知识好抽象(ಥ_ಥ)，总结起来费了不少劲，复习完自控，大学期间最难理解的科目就算是全部整完了。
感谢大家的支持！

学习附件

链接：学习附件
提取码：osub

---

Ref 1、Ref 3、Ref 4

• 自动控制原理知识点精要梳理 | Ref 1-优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/146926834

• 自动控制原理知识点精要梳理 | Ref 3-优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/146959192

• 自动控制原理知识点精要梳理 | Ref 4-优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/146959205

---

via:

• 【知识点总结】自动控制原理（自控）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/weixin_51130221/article/details/126635710